广东东莞2009届高三理科数学模拟试题二2009410

广东省东莞市2009届高三理科数学模拟试题(二)
命题人：东莞高级中学 黄云秀 2009.4.10
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则 A ．M ∩N = { 4，6 }
B ．M ∪N = U
C ．(C u N )∪M = U
D ．(C u M )∩N = N
2．已知复数122,34,z m i z i =+=-若
1
2
z z 为实数，则实数m 的值为 A ．83 B ．32 C ．83- D ． 3
2
-
3．已知等差数列}{n a 的前13项之和为39，则876a a a ++等于
A ．6
B ．9
C ． 12
D ．18
4．设函数()cos f x x =，把()f x 的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为函数'()y f x =- 的图象，则m 的值可以为
A ．4π
B ．2
π
C ．34π
D ．π
5．已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，有下列命题： ①若,//m n αα⊂，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若,m m n α⊥⊥，则αn ； ④若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；
其中真命题的个数是
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 6．设命题23
:|23|1,:
12
x p x q x --<≤-，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 7．5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1人，则不同站法有 A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种
8．如图，已知(4,0)A ，(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是
A ．210
B ．6
C ．33
D ．25
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~12题）
9. 由曲线1,1,===y x e y x
所围成的图形面积是 . 10. 与圆2
2
(2)x y +-=1 相切，且在两坐标轴上截距相等
的直线共有_____________条．
11．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图
如下图所示，则它的体积的最小值为 ，最大 值为 .
俯视图
主视图
12.2008年1号台风"浣熊"(NEOGURI)于4月19日下午减弱为热带低压后登陆阳江.如图，位于港口
O 正东向20海里B 处的渔船回港避风时出现故障.位于港口南偏西30o ，距港口10海里C 处的
拖轮接到海事部门营救信息后以
30海里/小时的速度沿直线CB 去营救渔船，则
拖轮到达B 处需要__________小时.
（二）选做题（13-15题，考生只能从中选做二题）
13. （坐标系与参数方程选做题）.在直角坐标系xoy 中，已知点C )3,3(--，若以o 为极点，x 轴
的正半轴为极轴，则点C 的极坐标)0,0)(,(<<->θπρθρ可写为______.
14.（不等式选讲选做题）已知关于x 的不等式|||1|2009x a x a ++-+>（a 是常数）的解是非空集合，则a 的取值范围是 ．
15.（几何证明选讲选做题）如图，已知PA 、PB 是 圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上
不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB = 120°， 则∠APB = ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
在锐角ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b
、c ，向量 2
(2sin(cos 2,2cos 12B m A C n B ⎛⎫
=+=-⎪ ⎭
⎝，且向量m ,n 共线． （1）求角B 的大小；
（2）如果1b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值．
17．（本小题满分12分）
东莞市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员接到老市政府，已知从新市政府到老市政府有
两条公路，汽车走公路①堵车的概率为
14，不堵车的概率为3
4
；汽车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1p -．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆
车是否堵车相互之间没有影响．
（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为
7
16
，求走公路②堵车的概率； （2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．
B
C
O
18．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P-ABC 中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，F 为PC 上的一点，且PF:FC=3:1． （1）求证：PA ⊥BC ；
（2）试在PC 上确定一点G ，使平面ABG ∥平面DEF ； （3）在满足（2）的情况下，求二面角G-AB-C 的平面 角的正切值．
19．（本小题满分14分）
已知x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1()()2
f x
g x >+
； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 20．（本小题满分14分）
A
P
B
C
D
E
F
已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x m 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC
过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==•． （1）求椭圆m 的方程；
（2）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负
半轴的交点，且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．
21．（本题满分14分）
已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()
*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若函数(),2,1
111)(321≥∈++
++++++=
n N n a n a n a n a n n f n
且Λ求函数)(n f 的最小值； （3）设n n
n S a b ,1
=
表示数列{}n b 的前项和．试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得 ()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321Λ对于一切不小于2的自然数n 恒成立？ 若存在，写出()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
东莞市2009届高三理科数学模拟试题(二)
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.B
2. D
3.B
4.B
5.A
6.A
7.C
8. A . 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9.1-e 10. 4 11. 10（2分），16（3分） 12.
37 13. )6
5,32(π
- 14.)1004,(-∞ 15. 60o 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16.（本题满分10分）
解：（1）由向量,m n →→
共线有： 2
2sin()2cos 12,2B A C B ⎛
⎫
+-= ⎪⎝
⎭
即tan 2B = 4分 又02
B π
<<，所以02B π<<，
则2B =
3
π
，即6B π= 6分
（2）由余弦定理得2
2
2
2cos ,b a c ac B =+-
则22
1(2a c ac =+≥，
所以2ac ≤+当且仅当a c =时等号成立 10分
所以11
sin (224
ABC S ac B ∆=
≤． 12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）由已知条件得
2
12
1337(1)44416C p p ⎛⎫
⋅⋅⋅-+⋅= ⎪⎝⎭
2分
即31p =，则1
3p = 6分
答：p 的值为1
3
．
（2）解：ξ可能的取值为0，1，2，3 5分
3323
(0)4438P ξ==⋅⋅= 6分
7
(1)16
P ξ==
121121311(2)4434436P C ξ==⋅⋅+⋅⋅⋅= 7分 1111
(3)44348
P ξ==⋅⋅= 8分
ξ的分布列为：
10分
所以E ξ37115
01238166486
=⋅+⋅+⋅+⋅= 12分 答：数学期望为
56
． 18．（本小题满分14分）
解：(1) 在△PAC 中，∵PA=3，AC=4，PC=5，
∴2
2
2
PC AC PA =+，∴AC PA ⊥；……1分 又AB=4，PB=5，∴在△PAB 中，
同理可得 AB PA ⊥ …………………………2分 ∵A AB AC =I ，∴ABC PA 平面⊥……3分 ∵⊂BC 平面ABC ，∴PA ⊥BC. …………4分
(2) 如图所示取PC 的中点G ，…………………5分 连结AG ，BG ，∵PF:FC=3:1,∴F 为GC 的中点 又D 、E 分别为BC 、AC 的中点，
∴AG ∥EF ，BG ∥FD ，又AG∩GB=G ，EF∩FD=F ，……………7分 ∴面ABG ∥面DEF ．
即PC 上的中点G 为所求的点． …………… 9分
(3)由(2)知G 这PC 的中点，连结GE ，∴GE ⊥平面ABC ，过E 作EH ⊥AB 于H ，连结GH ，则GH ⊥AB ，∴∠EHG 为二面角G-AB-C 的平面角． …………… 11分 ∵839521==
∆∆ABC ABE S S 又EH AB S ABE ⋅=∆2
1
∴16
39
54439
52=
==
∆AB
S EH ABE
又2321==PA GE …………… 13分 ∴65
39
83951623tan =
⨯==
∠EH EG EHG ξ
0 1 2 3
P 38
716
16
148
∴二面角G-AB-C 的平面角的正切值为65
39
8． …………… 14分 19．（本小题满分14分）
（1）Θx x x f ln )(-=，x
x x x f 1
11)(-=
-
=' ……1分 ∴当10<<x 时，/
()0f x <，此时()f x 单调递减
当e x <<1时，/
()0f x >，此时()f x 单调递增 ……3分 ∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分
（2）Θ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分 令21ln 21)()(+=+
=x x x g x h ，x
x
x h ln 1)(-=
'， ……6分 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ……7分 ∴min max |)(|12
1
21211)()(x f e e h x h ==+<+=
= ∴在（1）的条件下，1
()()2
f x
g x >+
……9分 （3）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1
-=
…9分
① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4
=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ……10分 ②当e a <<
10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1
(e a
上单调递增 3ln 1)1
()(min =+==a a
f x f ，2e a =，满足条件. ……11分
③ 当
e a ≥1时，)(x
f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4
=（舍去）
，所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2
e a =，使得当],0(e x ∈时()
f x 有最小值3.……14分
20．解（1）∵BC AC BC 且||2||=过（0，0）
则0||||=⋅=BC AC AC OC Θ又
∴∠OCA=90°， 即)3,3(C …………2分
又∵11212:,3222
2=-+=c
y x m a 设 将C 点坐标代入得 11231232
=-+C 解得 c 2=8，b 2=4
∴椭圆m ：14
122
2=+y x …………5分 （2）由条件D （0，－2） ∵M （0，t ）
1°当k=0时，显然－2<t<2 …………6分 2°当k≠0时，设t kx y l +=:
⎪⎩
⎪⎨⎧+==+
t kx y y x 14
122
2 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k …………8分
由△>0 可得 22124k t +< ①………………9分 设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点 则22103132k kt x x x +=+= 2
031k t
t kx y +=+= ∴)31,313(2
2k
t
k kt H ++-
…………11分 由k
k PQ
OH DQ DP DH 1
||||-=⊥∴=即
∴
22
23110313231k t k k kt k t
+=-=-+-++化简得 ②
∴t>1 将①代入②得 1<t<4
∴t 的范围是（1，4）………………13分 综上t ∈（－2，4） ………………14分 21．（本小题满分14分）
解：（1）由点P ),(1+n n a a 在直线01=+-y x 上，
即11=-+n n a a ，-----------------------------------------------2分 且11=a ，数列{n a }是以1为首项，1为公差的等差数列
)2(1)1(1≥=⋅++=n n n a n ，11=a 同样满足，所以n a n =---------------4分
（2）n
n n n f 21
2111)(+
++++=
Λ 2
21
121413121)1(++
+++++++=+n n n n n n f Λ---------------------6分 01
1
22122111221121)()1(=+-++>+-+++=-+n n n n n n n f n f
所以)(n f 是单调递增，故)(n f 的最小值是12
7
)2(=f ----------------------8分
（3）n b n 1=，可得n S n 131211++++=Λ，)2(1
1≥=--n n
S S n n -------10分
1)1(11+=----n n n S S n nS ，
1)2()1(221+=------n n n S S n S n
……
1112+=-S S S
113211-+++++=--n S S S S S nS n n Λ
)1(1321-=-=++++-n n n S n n nS S S S S Λ，n ≥2------------------12分
n n g =)(．
故存在关于n 的整式g （x ）=n,使得对于一切不小于2的自然数n 恒成立．----14分。