高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算自我小测新人教B版必

3.1.1 有理指数幂及其运算
自我小测
1．计算(12
2
-
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的值为( )
B C.
2 D ．－2
2．44
等于( )
A.a 16
B ．a 8
C ．a
4
D ．a 2
3．已知a ＋1
a
＝3，则12a ＋1
2a -等于( )
D 4．如果x ＝1＋2b
，y ＝1＋2－b
，那么y 等于( ) A.
11x x -+ B. 1x x - C. 11x x +- D. 1
x
x - 5．有下列结论：
①当a <0时，()
3
22
a
＝a 3|a |；③函数y ＝()12
2x -－(3x －7)0的定义域为(2，
＋∞)；④若100a
＝5,10b
＝2，则 2a ＋b ＝1.其中正确的个数为( ) A.0 B ．1 C ．2 D ．3 6．计算112⎛⎫+ ⎪⎝⎭2112⎛
⎫+ ⎪⎝⎭4112⎛⎫+ ⎪⎝⎭8112⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
的值等于( ) A.1＋
1612 B ．1－1612 C ．2＋1512 D ．2－1512
7．当8<x <10__________.
8．设α，β是方程5x 2
＋10x ＋1＝0的两个根，则2α
·2β
＝__________，(2α)β
＝__________. 9．若2 014x 2
·2 014x ＝2 0142y
，则y 的最小值为________． 10．求下列各式的值：
3
(a >0)．
11．写出使下列等式成立的x 的取值范围：
(1) 3
＝
1
3
x-
(5－x
12．已知
1
2
a＋
1
2
a-＝3.求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)
33
22
11
22
a a
a a
-
-
-
-
.
参考答案
1．答案：C 2．解析：原式＝91
463
a ⨯⨯91436
a
⨯⨯＝a 2a 2＝a
2＋2
＝a 4
.
答案：C
3．解析：∵a 和1a 的符号相同，a ＋1
a ＝3>0，∴a >0.∴12a ＋1
2a ->0.
又∵2
1122a a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＝a ＋1
a ＋2＝3＋2＝5，∴12a ＋12a -
答案：B
4．解析：∵由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，∴2－b
＝11
x -. ∴y ＝1＋2－b
＝1＋11x -＝1
x x -. 答案：D
5．解析：只有④正确，由100a
＝102a
＝5,10b ＝2，得102a ＋b
＝5×2＝10，故2a ＋b ＝1.
而①中，()
3
22
a
应为－a 3
,,a n a n ⎧⎪⎨
⎪⎩为奇数，
为偶数；
③中，函数的定义域由20,370,
x x -≥⎧⎨-≠⎩得x ∈72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪7,3⎛⎫+∝ ⎪⎝⎭.
答案：B 6．解析：∵112⎛
⎫- ⎪⎝⎭ 112⎛⎫+ ⎪⎝⎭2112⎛
⎫+ ⎪⎝⎭4112⎛⎫+ ⎪⎝⎭8112⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ ＝2112⎛
⎫- ⎪⎝⎭2112⎛⎫+ ⎪⎝⎭4112⎛⎫+ ⎪⎝⎭8112⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝4112⎛⎫- ⎪⎝⎭4112⎛⎫+ ⎪⎝⎭8112⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝8112⎛⎫-
⎪⎝
⎭8112⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1－1612，∴原式＝16112⎛
⎫- ⎪⎝⎭
×2＝2－15
12. 答案：D 7．答案：2
8．解析：∵α，β是方程5x 2
＋10x ＋1＝0的两个根， ∴α＋β＝－2，αβ＝
15
.
∴2α·2β＝2α＋β＝2－2＝1
4
，(2α)β＝2αβ＝
1
5
2.
答案：1
4
1
5
2
9．解析：由题意，知x2＋x＝2y，即y＝1
2
(x2＋x)，
故y＝1
2
2
11
24
x
⎡⎤
⎛⎫
+-
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
＝
1
2
2
1
2
x
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
－
1
8
≥－
1
8
.
答案：－1 8
10．解：(1)原式＝(
2
3
5－
3
2
5)÷
1
4
5＝
23
32
1
4
55
5
-
＝
21
34
5-－
31
24
5-＝
5
12
5－
5
4
5.
(2)原式＝
3
3
1
5
2
a
a a
•
＝
13
3
25
a--＝
19
10
a.
11．解：(1)只需
1
3
x-
有意义，即x≠3，
∴x的取值范围是(－∞，3)∪(3，＋∞)．
＝|x－
，
∴|x－
＝(5－x x＋5＝0或
50,
55,
x
x x
+>
⎧⎪
⎨
-=-
⎪⎩
即x＝－5或
5,
50,
x
x
>-
⎧
⎨
-≤
⎩
即
5,
5.
x
x
>-
⎧
⎨
≤
⎩
∴x的取值范围是[－5,5]．
12．解：(1)给
1
2
a＋
1
2
a-＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.
(2)给a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.
(3)由于
33
22
a a-
-＝
3
1
2
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
－
3
1
2
a-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，所以原式＝
1111
1
2222
11
22
a a a a a a
a a
--
-
-
⎛⎫⎛⎫
-++•
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
-
＝a＋a－1＋1＝8.。