2018-2019学年河北省衡水市武邑中学高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

2018-2019学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数
学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）
A. {x|2<x<5}
B. {x|x<4或x>5}
C. {x|2<x<3}
D. {x|x<2或x>5}
2.已知等差数列{a n}中，a2+a6=8，则2a3+2a4+2a5=（）
A. 8
B. 16
C. 24
D. 48
3.椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆上的点到左焦点F1的距离的最
大值为8，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为20，则椭圆C 的方程为（）
A. y2
25+x2
16
=1 B. x2
25
+y2
16
=1 C. x2
25
+y2
9
=1 D. x2
16
+y2
9
=1
4.“1＜m＜4”是“方程x2
m−1+y2
4−m
=1表示椭圆”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离
水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足
够深），水面宽（）米．
A. 22
B. 4
C. 43
D. 2
6.平面向量a与b的夹角为2π
3
，a=(2，0)，|a+2b|=23，则a⋅b=（）
A. 2
B. −2
C. −2
D. 2
7.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0相内切，则a的值为（）
A. 1
B. −1
C. ±1
D. 0
8.已知a，b均为正实数，且直线ax+y-6=0与直线（b-1）x-y+5=0互相平行，则ab
的最大值为（）
A. 1
B. 1
2C. 1
4
D. 1
8
9.设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA⋅OB等于（）
A. 3
4B. −3
4
C. 3
D. −3
10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F分别在A1D、AC上，且A1E=2
3
A1D，
AF=1
3
AC，则（）
A. EF至多与A1D、AC之一垂直
B. EF是A1D、AC的公垂线
C. EF与BD1相交
D. EF与BD1异面
11.在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件：“2x2-3x≤0”发生的概率为（）
A. 2
3B. 3
4
C. 1
3
D. 1
4
12.如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为
45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于
（）
A. 100米
B. 503米
C. 502米
D. 50(3+1)米
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数y=sin（2x+π
4
）的最小正周期是______．
14.若k进制数132（k）与二进制数11110（2）相等，则k=______．
15.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取______名学生．
16.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n，记数列{a n}的前n项和为S n，若∃n∈N*使得（S n+3
2
）k≥3n-6成立，则实数k的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知圆C的圆心在直线x-2y-3=0上，并且经过A（2，-3）和B（-2，-5），求圆C
的标准方程．
18.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），
[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos（B-C）+1=4cos B cos C．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=27，△ABC的面积为23，求b+c．
20.已知数列{a n}是首项为a1=1
4，公比q=1
4
的等比数列．设b n+2=3log1
4
a n（n∈N*），
数列{c n}满足c n=a n•b n．（1）求证：数列{b n}成等差数列；
（2）求数列{c n}的前n项和S n；
（3）若c n≤1
4
m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
21.已知函数f（x）=23sin(x+π
4)cos(x+π
4
)+sin2x+a的最大值为1．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
22.已知点A（-1，0），B（1，0），动点P满足|PA|+|PB|=23，记动点P的轨迹为曲
线T，
（1）求动点P的轨迹T的方程；
（2）直线y=kx+1与曲线T交于不同的两点C，D，若存在点M（m，0），使得|CM|=|DM|成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，
∴A∩B={x|2＜x＜3}．
故选：C．
由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．
本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合
理运用．
2.【答案】C
【解析】
解：∵等差数列{a n}中，a2+a6=8，
∴a2+a6=2a4=8，解得a4=4，
∴2a3+2a4+2a5=2（a3+a4+a5）=6a4=24．
故选：C．
由等差数列{a n}中，a2+a6=8，求出a4=4，由此利用2a3+2a4+2a5=2（a3+a4+a5）=6a4，能求出结果．
本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】
解：依题意设椭圆方程为：（a＞b＞0），
∵椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为8，∴a+c=8，
∵△ABF2的周长为20，∴4a=20，∴a=5，c=3，b=4，
∴椭圆C的方程为，故选：B．
依题意设椭圆方程为：（a＞b＞0，由a+c=8，△ABF2的周长为
4a=20．求得a、b，即可得到所求椭圆方程．
本题考查了椭圆的方程及性质，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】
解：方程表示椭圆的充要分条件是，解得即1＜m＜4，且m≠由题意可
故“1＜m＜4”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B．
由条件根据椭圆的标准方程，求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m的范围，再根据充分必要条件的定义判断即可
本题主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件，要条件的定义，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】
解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，
将A（2，-2）代入x2=my，
得m=-2
∴x2=-2y，代入B（x0，-4）得x0=2，
故水面宽为4m．
故选：B．
先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=-4代入抛物线方程求得x0进而得到答案．得到答案．
本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．
6.【答案】C
【解析】
解：平面向量与的夹角为，，，
则
||=2，•=2||•cos=-||，
（+2）2=12，即为2+4+42=4-4||+4||2=12，
解得||=2（-1舍去），
则=-2．
故选：C．
运用向量数量积的定义和向量的平方即为模的平方，解方程计算即可得到所求值．
本题考查向量数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及运算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】
解：由圆x2+y2-2ax+a2-1=0得（x-a）2+y2=1，得圆心为（a，0）半径为1，
又由于两圆内切，所以圆心距等于两圆半径之差，
即=2-1，
解得：a=±1，
故选：C．
先求出两圆圆心和半径，再根据两圆内切等价于圆心距等于半径之差列式可解得．
本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属基础题．
8.【答案】C
【解析】
解：a，b均为正实数，且直线ax+y-6=0与直线（b-1）x-y+5=0互相平行，
则-a=b-1，
即a+b=1，
∴ab≤（）2=，当且仅当a=b=时取等号，
故选：C．
利用两条直线平行，列出a、b的方程，然后利用基本不等式求解即可．
本题考查直线的平行的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．
9.【答案】B
【解析】
解：抛物线y2=2x的焦点F（，0 ），
当AB的斜率不存在时，可得A（，1），B（，-1），
∴=（，1）•（，-1）=-1=-，
另解：设过焦点的直线为x=my+，
代入抛物线的方程可得y2-2my-1=0，
可得y1y2=-1，
=x1x2+y1y2=+y1y2=-1=-，
故选：B．
根据抛物线的标准方程，求出焦点F（，0），当AB的斜率不存在时，可得A
（，1），B（，-1），求得的值，结合填空题的特点，得出结论．
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式，通过给变量取特殊值，检验所给的选项，是一种简单有效的方法．
10.【答案】B
【解析】
解：如图所示
设AC∩BD=O，AD1∩A1D=O1，作EG⊥AD于G，FK⊥AD于K，由平几知识，GF∥DO，DO⊥AC，∴GF⊥AC，
∵EG⊥面ABCD，∴由三垂线逆定理EF⊥AC．
同理EF⊥A1D，
∴EF是A1D、AC公垂线
故选：B．
设AC∩BD=O，AD1∩A1D=O1，作EG⊥AD于G，FK⊥AD于K，证明EF⊥AC，EF⊥A1D，即可求得结论．
本题考查线面垂直，考查线线位置关系，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】
解：解不等式2x2-3x≤0，得0≤x≤；
∴区间[0，2]上随机地取一个数x，
则事件：“2x2-3x≤0”发生的概率为
P==．
故选：B．
解不等式2x2-3x≤0，利用区间长度比计算所求的概率值．
本题考查了解不等式以及几何概型的概率计算问题，是基础题．
12.【答案】D
【解析】
解：设AB=xm，则由题意，∠D=30°，∠ACB=45°，
在Rt△ABC中，BC=AB=x，
在Rt△ADB中，DB=CD+BC=100+x，
∴DB=AB，即100+x=x，解得x=50（+1）m．
∴山AB的高度为50（+1）米．
故选：D．
设AB=xm，根据俯角的定义得到∠MAC=45°，∠MAD=30°，由平行线的性质得到∠D=30°，∠ACB=45°，再根据等腰三角形的性质得BC=AB=x，根据含30
度的直角三角形三边的关系得DB=AB，即100+x=x，解出x即可．
此题考查了仰角的知识．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想与方程思想的应用．
13.【答案】π
【解析】
解：函数y=sin（2x+）的最小正周期是=π，
故答案为：π．
由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】
解：将这两个数都化为十进制数，可得：
132
=k2+3k+2，
（k）
=24+23+22+21=30．
11110
（2）
∴k2+3k+2=30，
解得k=-7（舍去）或k=4．
故答案为：4．
将这两个数都化为十进制数，由题意可得k2+3k+2=30，进而解得k的值．
本题主要考察了进制数之间的互化，属于基本知识的考查．
15.【答案】60
【解析】
解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为
=，
故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，
故答案为：60．
先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．
本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．
16.【答案】[−2
，+∞)
3
【解析】
解：∵数列{a n }的通项公式为a n =3n
，
∴数列{a n }是等比数列，公比为3，首项为3．
∴S n =
=
-，
∴（S n +）k≥3n -6化为：k≥
，
∵∃n ∈N *
使得（S n +）k≥3n -6成立，∴k≥
． 令b n =，则b n+1-b n =
-=
，
n≤2时，b n+1>b n ；n≥3时，b n+1＜b n ． ∴b 1＜b 2=0，b 3＞b 4＞b 5＞ 0
∴=b 1=
．
∴
．
故答案为：
．
利用等比数列的求和公式可得S n ，代入（S n +）k≥3n -6，化简利用数列的单调性即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、不等式的化简、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由已知，线段AB 的中垂线所在直线与直线x -2y -3=0的交点即为圆C
的圆心．
线段AB 的斜率为：K AB =−3+52−(−2)=12，∴线段AB 的中垂线所在直线的斜率为-1
K AB
=-2，
又∵线段AB 的中点为（0，-4），∴线段AB 的中垂线所在直线方程为：y +4=-2x ，即2x +y +4=0． 由 2x +y +4=0x−2y−3=0，求得 y =−2x =−1
，
∴圆C 的圆心坐标为（-1，-2） ∴圆C 的半径r 满足：r 2=（2+1）2+（-3+2）2
=10，
∴圆C 的标准方程为（x +1）2+（y +2）2
=10． 【解析】
线段AB 的中垂线所在直线与直线x-2y-3=0的交点即为圆C 的圆心，再求出半径CA 的值，即可求得圆的标准方程．
本题主要考查求圆的标准方程，直线的斜率公式，两条直线垂直的性质，求出圆心坐标及半径，是解题的关键，属于基础题．
18.【答案】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；
（2）月平均用电量的众数是220+240
2
=230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得a=224，
∴月平均用电量的中位数为224；
（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，
月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，
∴抽取比例为11
25+15+10+5=1 5，
∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×1
5
=5户．
【解析】
（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）
×20=1，解方程可得；
（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．
19.【答案】解：（Ⅰ）∵2cos（B-C）+1=4cos B cos C，
∴2（cos B cos C+sin B sin C）+1=4cos B cos C，
即2（cos B cos C-sin B sin C）=1，可得2cos（B+C）=1，
∴cos（B+C）=1
2
．
∵0＜B+C＜π，可得B+C=π
3
．
∴A=π-（B+C）=2π
3
．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得A=2π
3
．
∵S△ABC=23，∴1
2bc sin2π
3
=23，解得bc=8．①
由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，得
（27）2=b2+c2-2bc cos2π
3
，即b2+c2+bc=28，∴（b+c）2-bc=28．②
将①代入②，得（b+c）2-8=28，
∴（b+c）2=36，可得b+c=6．…（12分）
【解析】
（I）利用三角恒等变换，化简已知等式可得cos（B+C）=，结合三角形内角的
范围算出B+C=，再利用三角形内角和即可得到A的大小；
（II）根据三角形面积公式，结合△ABC的面积为2算出bc=8．再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，代入数据化简可得（b+c）2-bc=28，两式联解即可算出
b+c的值．
本题给出三角形的角满足的条件，求A的大小，并在已知三角形面积的情况
下求边长．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于中档题．
20.【答案】（1）证明：由已知可得，a n=1
4×(1
4
)n−1=(1
4
)n，b n+2=3log1
4
(1
4
)n=3n，
∴b n=3n-2，b n+1-b n=3，
∴数列{b n}为等差数列，其中b1=1，d=3．（2）解：c n=a n•b n=(3n−2)⋅(1
4
)n，
∴S n=1×1
4+4×(1
4
)2+…+(3n−2)⋅(1
4
)n，
1 4S n=1×(1
4
)2+4×(1
4
)3+…+(3n−5)⋅(1
4
)n+(3n−2)⋅(1
4
)n+1，
两式相减可得：3
4S n=1
4
+3[(1
4
)2+(1
4
)3+…+(1
4
)n]-(3n−2)⋅(1
4
)n+1=1
2
+3×
1
4
(1
4n
−1)
1−1
-(3n−
2)×(1
4)n+1=1
2
−(3n+2)⋅(1
4
)n+1，
∴S n=2
3−12n+8
3
×(1
4
)n+1．
（3）解：c n=a n•b n=(3n−2)⋅(1
4
)n，
∴c n+1-c n=(3n+1)⋅(1
4)n+1−(3n−2)⋅(1
4
)n=-9(1
4
)n+1(n−1)．
当n=1时，c2=c1；当n≥2时，c n+1＜c n，
∴（c n）max=c1=c2=1
4．∵c n≤1
4
m2+m-1对一切正整数n恒成立，∴1
4
m2+m-1≥1
4
，化为m2+4m-5≥0，
解得m≤-5或m≥1．
∴实数m的取值范围是m≤-5或m≥1．
【解析】
（1）由等比数列的通项公式可得，=，b n+2=3=3n，
即可得出b n ，进而证明{b n }为等差数列． （2）c n =a n •b n =，利用“错位相减法”即可得出；
（3）c n =a n •b n =，可得c n+1-c n =-9
．即可得出（c n ）max ，由
于c n ≤
+m-1对一切正整数n 恒成立，可得
+m-1≥（c n ）max ，解出即可．
本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21.【答案】解：（Ⅰ）∵f (x )= 3sin (2x +π
2)+sin 2x +a = 3cos 2x +sin 2x +
a =2sin (2x +π
3)+a ≤1， ∴2+a =1， ∴a =-1．
（Ⅱ）由−π
2+2kπ≤2x +π
3≤π
2+2kπ，解得−5π
12+kπ≤x ≤π
12+kπ， 所以函数的单调递增区间[−5π
12+kπ，π
12+kπ]，k ∈Z ． 【解析】
（Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式化简可得：f （x ）=，利用
正弦函数的性质即可得解a 的值． （Ⅱ）由
，即可解得函数的单调递增区间．
本题主要考查了两角和的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
22.【答案】解：（1）|AB |=2，|PA |+|PB |=2 3＞2，
∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 且c =1，a = 3， ∴b 2
=2，
曲线T 的方程是x 23
+y 2
2=1．
（2）设C ，D 两点坐标分别为C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），C ，D 中点为N （x 0，y 0）．
由 2x 2+3y 2=6y =kx +1
，得 （3k 2+2）x 2
+6kx -3=0． ∵△=36k 2+12（3k 2
+2）＞0
∴x 1+x 2=−6k 2+3k 2，x 1x 2=−3
2+3k ， ∴y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2=
−6k 22+3k
+2=4
2+3k ，
∴x0=1
2（x1+x2）=−3k
2+3k2
，y0=1
2
（y1+y2）=2
2+3k2
∴N（−3k
2+3k2，2
2+3k
），
∵|CM|=|DM|，∴MN⊥CD，
∴y0 x0−m =-1
k
（k≠0），韦达定理代入，化简得3mk2+k+2m=0，
∵△=21-24m2＞0，解得-6
12＜m＜6
12
且m≠0，
当m=0时，k=0也满足题意．
综上所述，m的取值范围是（-6
12，6
12
）
【解析】
（1）依题意，点P到两定点A、B的距离之和为定值2，且此值大于两定点间的距离2，由椭圆定义可知动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为2
的椭圆，从而写出T的标准方程
（2）先将直线方程与曲线W的方程联立，得关于x的一元二次方程，利用韦达定理，写出交点C、D的横坐标的和与积，求出中点坐标，再根据|CM|=|DM|成立可得3mk2+k+2m=0，根据判别式即可求出
本题考查了椭圆的定义及椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，特别是直线与椭圆相交时，利用韦达定理设而不求的技巧解决几何问题，是本题考查的重点，属于难题。