2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
2．（2分）下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（）A．2，3，6B．4，4，8C．5，9，14D．6，12，13 3．（2分）新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
4．（2分）下列事件中的随机事件是（）
A．在数轴上任取一个点，它表示的数是实数
B．任意画一个三角形，恰好同一边上的高线与中线重合
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．用长度分别是3，3，6的木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形
5．（2分）如果a+b＝2，那么代数式的值是（）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
6．（2分）图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，∠MAC＝50°，∠ACB＝20°，则图2中∠CBA的度数为（）
A．15°B．20°C．30°D．50°
7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（）
A．2B．3C．4D．5
8．（2分）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC边上确定一点P，使P A+PC＝BC．下面四种作图中，正确的是（）
A．以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
B．以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
C．作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
D．作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
二、填空题（本题共8个小题，第16题3分，其余每小题2分，共17分）
9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．
10．（2分）比较大小：7 ．（填“＞”，“＜”或“＝”）
11．（2分）六张卡片的正面分别写有π，，，0，，﹣0.1212212221这六个数，将卡片的正面朝下（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是．
12．（2分）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测量AB的长度即可知道CD的长度，理由是根据可证明△AOB≌△DOC．
13．（2分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为1，正方形ABCM，CDEN，MNPQ的顶点都在格点上，则正方形MNPQ的面积为．
14．（2分）若，则xy的值为．
15．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC+∠BAC＝°（点A，B，C是网格线交点）．
16．（3分）如图，∠B＝45°，BC＝3，点A在射线BM上，连结AC，（1）若AC⊥BM，则AC＝；
（2）设AC＝d，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则d的取值范围是．
三、解答题（本题共67分，第17、18题每题5分；第19-21题每题6分；第22题4分；第23题8分；第24题5分；第25题6分；第26、27题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：（+）×﹣4．
19．（6分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．
20．（6分）化简：（﹣）÷．
21．（6分）解方程：．
22．（4分）如图是4×4正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如
图例），要求所画的四种方案不能重复．
23．（8分）下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段AB
求作：一个直角三角形ABC，使线段AB为斜边．
作法：①过A任意作一条射线l；
②在射线l上任取两点D，E；
③分别以点D，E为圆心，DB，EB长为半径作弧，两弧相交于点P；
④作射线BP交射线l于点C．
则△ABC就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）证明：连结DP，EP
∵DB＝．
∴．点D在线段BP的垂直平分线上（）．（填推理的依据）
同理可证：点E在线段BP的垂直平分线上
根据两点确定一条直线，可知DE是线段BP的垂直平分线．
∴∠ACB＝90°．
（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果∠A＝30°，
猜想：BC与AB满足的数量关系，并证明．
证明：
24．（5分）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平
均每公里的充电费．
25．（6分）阅读下列材料，然后回答问题．
已知a＞0，S1＝，S2＝﹣S1﹣1，S3＝，S4＝﹣S3﹣1，S5＝，…．当n为大于1的奇数时，S n＝；当n为大于1的偶数时，S n＝﹣S n﹣1﹣1．
（1）求S3；（用含a的代数式表示）
（2）直接写出S2023＝；（用含a的代数式表示）
（3）计算：S1+S2+S3+…+S2022．
26．（8分）如图△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC垂足为点C，且AE＝BD，AE交线段BC于点F．
（1）在图1中画出符合题意的图形，并证明CE＝AD；
（2）当∠CFE＝∠ADB时，求证：BD平分∠ABC．
27．（8分）已知：线段AB及过点A的直线l．如果线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使得点E在AC的下方，作射线BE 交直线l于点F，连结CF．
（1）根据题意补全图形；
（2）如图，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°），
①∠ABE＝；（用含有α代数式表示）
②用等式表示线段F A，FE与FC的数量关系，并证明．
2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区八年级（上）期末
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A、＝2，故该选项不符合题意；
B、＝，故该选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故该选项符合题意；
D、＝，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．
【解答】解：A、2+3＜6，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、4+4＝8，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
C、5+9＝14，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
D、6+12＞13，故能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三角形三边关系定理是解题的关键．3．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、在数轴上任取一个点，它表示的数是实数，是必然事件，故此选项不符合题意；
B、任意画一个三角形，恰好同一边上的高线与中线重合，是随机事件，故此选项符合题
意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故此选项不符合题意；
D、用长度分别是3，3，6的木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形，是不可能事件，
故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：∵a+b＝2，
∴
＝•
＝•
＝a+b
＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
6．【分析】直接利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：∵∠MAC＝50°，∠ACB＝20°，∠MAC是△ABC的外角，
∴∠CBA＝∠MAC﹣∠ACB＝30°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
7．【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积＝×4×1＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题的关键．也考查了交平分线的性质．
8．【分析】根据题意得到P A＝PB，根据线段垂直平分线的判定、尺规作图判断即可．【解答】解：∵P A+PC＝BC，PB+PC＝BC，
∴P A＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，第16题3分，其余每小题2分，共17分）
9．【分析】分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．
10．【分析】先求出这两个数的平方，然后再进行比较即可．
【解答】解：∵72＝49，（5）2＝50，
∴49＜50，
∴7＜5，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
11．【分析】让无理数的个数除以数的总数即为所求的概率．
【解答】解：在这六张卡片中，无理数有π，，
所以从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式和无理数的定义．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，无理数是无限不循环小数．
12．【分析】利用三角形全等的SAS定理证明△COD≌△BOA，根据全等三角形的性质可得CD＝AB．
【解答】解：在△COD和△BOA中，
，
∴△COD≌△BOA（SAS），
∴CD＝AB，
即AB的长度等于CD的长度，
故答案为：SAS．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的SAS定理是解题的关键．
13．【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵CM＝3，CN＝6，∠MCN＝90°，
∴MN2＝CM2+CN2＝32+62＝45，
∴正方形MNPQ的面积＝MN2＝45，
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：由题意得，
，
解得，
所以xy＝（﹣2）×2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．15．【分析】延长BC交格点于D，连接AD，根据勾股定理得到AD2＝CD2＝1+22＝5，AC2＝12+32＝10，得出△ACD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质得到结论．
【解答】解：延长BC交格点于D，连接AD，
则AD2＝CD2＝1+22＝5，AC2＝12+32＝10，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是等腰直角三角形，且∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC+∠BAC＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
16．【分析】（1）若AC⊥BM，则△ABC是等腰直角三角形，根据BC＝3即可求出AC；
（2）由题意知，当CA⊥BM或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，分这两种情况求解即可．
【解答】解：（1）∵AC⊥BM，∠B＝45°，BC＝3，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝3，
∴AC＝BC＝×3＝3．
故答案为：3；
（2）由题意知，当CA⊥BM或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC．
①当CA⊥BM于A时，由（1）可知此时AC＝d＝3，根据“HL”可判断△ABC的形状、
大小是唯一确定的；
②当AC＝d≥3时，以C为圆心，CA为半径画弧，此弧与射线BM有唯一公共点，则
△ABC的形状、大小是唯一确定的，
综上所述，d的取值范围为d＝3或d≥3．
故答案为：d＝3或d≥3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
三、解答题（本题共67分，第17、18题每题5分；第19-21题每题6分；第22题4分；第23题8分；第24题5分；第25题6分；第26、27题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．【分析】先根据二次根式的性质、负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣3+4﹣（1﹣）
＝2﹣3+4﹣1+
＝5﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
18．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算得到原式＝4+3﹣2，然后合并即可．
【解答】解：原式＝（2+）×﹣2
＝2×+×﹣2
＝4+3﹣2
＝4+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
19．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（ASA），
∴DE＝BC．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全
等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
21．【分析】观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：
方程两边同乘以（x+1）（x﹣1）
得（x+1）2﹣6＝（x+1）（x﹣1）（2分）
整理，得2x＝4（3分）
x＝2（4分）
检验，把x＝2代入（x+1）（x﹣1）＝3≠0．
所以，原方程的根是x＝2．（5分）
【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
22．【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
23．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）连接DP，EP，由于DB＝DP，则根据线段垂直平分线的性质的逆定理可判断点D 在线段BP的垂直平分线上，同理可证点E在线段BP的垂直平分线上，于是可判断DE 是线段BP的垂直平分线，从而得到∠ACB＝90°；
（3）以C点为圆心，CB为半径画弧交AB于D，如图，则CD＝CB，则可证明△CBD 为等边三角形，所以BD＝CD＝BD，∠BCD＝60°，再证明∠A＝∠ACD得到DA＝DC，所以AD＝BD＝BC，于是得到BC＝AB．
【解答】（1）解：如图，△ABC为所作；
（2）证明：连接DP，EP，
∵DB＝DP，
∴点D在线段BP的垂直平分线上（到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上）．
同理可证：点E在线段BP的垂直平分线上
根据两点确定一条直线，可知DE是线段BP的垂直平分线．
故答案为：DP，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；
（3）解：BC＝AB，
证明：
以C点为圆心，CB为半径画弧交AB于D，如图，则CD＝CB，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BD＝CD＝BD，∠BCD＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝30°，
∴∠A＝∠ACD，
∴DA＝DC，
∴AD＝BD＝BC，
∴BC＝AB．
故答案为：BC＝AB．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
24．【分析】原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费（x+0.6）元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费200元所行驶的路程×4＝电动汽车所需电费200元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，
根据题意，得，
解得x＝0.2，
经检验，x＝0.2是原方程的根，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，设出未知数，列出方程，注意不要忘记检验．
25．【分析】（1）根据题目中的材料，可以计算出S3的值；
（2）根据题目中的材料，可以计算出前几项的值，可以发现数据的变化规律，从而可以求得S2023的值；
（3）根据（2）中发现的规律可以计算出前6项的值，从而可以计算出S1+S2+S3+…+S2022的值．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴S4＝﹣S3﹣1＝﹣1＝，
∴S5＝＝﹣（a+1），
∴S6＝a+1﹣1＝a，
∴S7＝，
…，
∵2023÷6＝337…1，
∴S2023＝，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∴，
∴S4＝﹣S3﹣1＝﹣1＝，
∴S5＝＝﹣（a+1），
∴S6＝a+1﹣1＝a，
∴S7＝，
…，
∴S1+S2+S3+S4+S5+S6＝+（﹣）+（﹣）+（﹣）+[﹣（a+1）]+a＝﹣3，∵2022÷6＝337，
∴S1+S2+S3+…+S2022
＝（﹣3）×337
＝﹣1011．
【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出相应的项的值和所求式子的值．
26．【分析】（1）根据HL证明Rt△ACE≌Rt△BAD，可得结论；
（2）由全等三角形的性质得∠E＝∠ADB，从而有∠CFE＝∠E，再说明AE⊥BD，即可证明结论．
【解答】（1）解：如图，
在Rt△ACE和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△BAD（HL），
∴CE＝AD；
（2）证明：∵Rt△ACE≌Rt△BAD，
∴∠E＝∠ADB，
∵∠CFE＝∠ADB，
∴∠CFE＝∠E，
∵∠ACE+∠DAB＝180°，
∴CE∥AB，
∴∠E＝∠F AB，
∵∠CFE＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∵∠ADB＝∠E＝∠EAB，
∴AE⊥BD，
∴∠EAB+∠ABD＝90°，∠AFB+∠FBD＝90°，
∴∠ABD＝∠FBD，
∴BD平分∠ABC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，证明AE⊥BD是解题的关键．
27．【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）①利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；
②结论：F A＝EF+FC；在F A上截取FG，使得FG＝EF，连接EG，FC；证明△AEG≌
△CEF（SAS），推出AG＝CF，推出F A＝FG+AG＝FG+CF，可得结论．
【解答】解：（1）图形如图1所示：
（2）①∵线段AC与线段AB关于直线l对称，
∴AC＝AB，AD垂直平分线段BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝α，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝CE，∠EAC＝∠AEC＝60°，
∴AB＝AE，∠BAE＝2α﹣60°，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝（180°﹣2α+60°）＝120°﹣α．
故答案是：120°﹣α；
②结论：F A＝EF+FC；
理由：在F A上截取FG，使得FG＝EF，连接EG，FC．
∵∠ABE＝120°﹣α，∠BAD＝α，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAD＝60°，
∵FG＝EF，
∴△EFG是等边三角形，
∴EG＝EF＝FG，∠GEF＝60°，
∴∠AEC＝∠GEF，
∴∠AEC＝∠GEF，
∴∠AEG＝∠CEF，
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF（SAS），
∴AG＝CF，
∴F A＝FG+AG＝FG+CF＝EF+FC，
即F A＝EF+FC．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。