核按钮(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式习题理

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第七章不等式7.1
不等关系与不等式习题理
1．两个实数大小的比较
(1)a＞b⇔a－b________；
(2)a＝b⇔a－b________；
(3)a＜b⇔a－b________.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔__________；
(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；
(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；
(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，
不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；
(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；
※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d；
(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；
※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒a
c
＞
b
d
；
※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1
a
＜
1
b
；
(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；
(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．
※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；
2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．
自查自纠
1．＞0 ＝0 ＜0
2．(1)b<a(2)a>c(3)> (4)ac>bc ac<bc
(5)a＋c>b＋d(7)ac>bd
(10)a n>b n(n∈N且n≥2)
(11)n
a>
n
b(n∈N且n≥2)
(2014·山东)已知实数x，y满足a x＜a y(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A.
1x 2＋1＞1y 2＋1
B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2
＋1) C ．sin x ＞sin y
D ．x 3
＞y 3
解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2
，y 2
的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．故选D .
(2015·烟台模拟)设a ，b ∈(－∞，0)，则“a >b ”是“a －1a >b －1
b
”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1ab ，又1＋1ab
>0，若a >b ，则(a －b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1ab >0，∴
a －1a >
b －1
b 成立；反之，若(a －b )⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1＋1ab >0，则a >b 成立．故选C .
(2015·上海)记方程①：x 2
＋a 1x ＋1＝0，方程②：x 2
＋a 2x ＋2＝0，方程③：x 2
＋a 3x ＋4＝0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是( )
A ．方程①有实根，且②有实根
B ．方程①有实根，且②无实根
C ．方程①无实根，且②有实根
D ．方程①无实根，且②无实根
解：当方程①有实根，且②无实根时，Δ1＝a 2
1－4≥0，Δ2＝a 2
2－8＜0⇒a 2
1≥4，a 2
2＜8，
又a 1，a 2，a 3成等比数列，∴a 22＝a 1a 3，即a 3＝a 22a 1，∴a 2
3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 12＝a 42a 21＜824＝16，恰好满足方程
③中判别式Δ3＝a 2
3－16＜0，此时方程③无实根．故选B .
已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a b .
解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2
－b 2
＝28－14－83＝14－83＝
8⎝ ⎛⎭
⎪⎫74－3＞0，从而a ＞b .故填＞.
(2015·济南模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b
c
＜0；
③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的是________(填序号)．
解：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．
∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )， ∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝
ac ＋bd
cd
＜0，故②正确．
∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，
∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③正确． ∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确． 故填②③④.
类型一 建立不等关系
(2015·湖北)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]
＝1，[t 2
]＝2，…，[t n
]＝n 同时成立．．．．
，则正整数n 的最大值是( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1得1≤t <2，由[t 2
]＝2得2≤t 2
<3，由[t 4
]＝4得4≤t 4
<5，所以2≤t 2
<5，由[t 3
]＝3得3≤t 3
<4，所以6≤t 5
<45，由[t 5
]＝5得5≤t 5
<6，与6≤t 5
<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.故选B .
【点拨】解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例[x ]表示不超过x 的最大整数，故由[x ]＝k ，可得k ≤x <k ＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n 的最大值．
用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越
来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k
(k ∈N *
)，已知一个铁钉受击3次后全部
进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的4
7，试从中提炼出一个不等式
组．(钉帽厚度不计)
解：假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是4
7
；第二次受击后，该
次铁钉进入木板部分的长度为47k ，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k ，有47＋4
7k
＜1；
第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为47k 2，此时应有47＋47k ＋47k 2，有47＋47k ＋4
7k 2≥1.
所以可从中提炼出一个不等式组：⎩
⎪⎨⎪⎧47＋4
7k
＜1，47＋47k ＋4
7k
2≥1.
类型二 不等式的性质
已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a ＞d
b
；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下
一个作结论，则可组成几个正确命题？
解：(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc －ad
ab
＞0，由ab ＞0，bc ＞ad 得②成立，∴①③⇒②.
(2)若ab ＞0，
bc －ad
ab ＞0，则bc ＞ad ，∴①②⇒③. (3)若bc ＞ad ，bc －ad
ab
＞0，则ab ＞0，∴②③⇒①.
综上所述可组成3个正确命题．
【点拨】运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac 与bc 的大小关系应注意从c ＞0，c ＝0，c ＜0三个方面讨论．
(2014·四川)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )
A.a c ＞b d
B.a c ＜b d
C.a d ＞b c
D.a d ＜b c 解：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1c
＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得－a d ＞－b c ＞0，所以
a
d
＜b c
.故选D .
类型三 不等式性质的应用
(1)若1<α<3，－4<β<2，则α
2
－β的取值范围是________．
解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以α
2
－β的取值范围
是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.故填⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，112. 【点拨】①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜
α
2
＜32和－4＜β＜2两式相减来得到α
2
－β的范围．②此类题目用线性规划也可解．
(2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________． 解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，
x －y ＝3，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝52，
y ＝－12
.
∴－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－1
2(a －b )＜－1.
∴－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，
即－92＜2a ＋3b ＜132.故填⎝ ⎛⎭
⎪⎫－92，132. 【点拨】由于a ＋b ，a －b 的范围已知，所以要求2a ＋3b 的取值范围，只需将2a ＋3b 用已知量a ＋b ，a －b 表示出来，可设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，用待定系数法求出x ，y ，
再利用同向不等式的可加性求解．
(1)若角α，β满足－π2<α<β<π
2
，则2α－β的取值范围是________．
解：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，－π2＜－β＜π
2
，而α
＜β，∴－π＜α－β＜0，∴2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2
，π2.
(2)设f (x )＝ax 2
＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围为________．
解法一：由已知⎩
⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4.①
②
f (－2)＝4a －2b .
设4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )(m ，n 为待定系数)， 即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b ，
于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. 由①×3＋②×1得5≤4a －2b ≤10， 即5≤f (－2)≤10.
解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），
a ＋
b ＝f （1）
得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1
2
[f （1）＋f （－1）]，b ＝1
2
[f （1）－f （－1）].
∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)，后面同解法一． 故填[5，10]．
类型四 比较大小
实数b ＞a ＞0，实数m ＞0，比较
a ＋m
b ＋m 与a b 的大小，则a ＋m b ＋m ________a
b
. 解法一：(作差比较)：
a ＋m
b ＋m －a b ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b －a ）
b （b ＋m ）， ∵b ＞a ＞0，m ＞0， ∴m （b －a ）b （b ＋m ）＞0，∴a ＋m b ＋m ＞a b
. 解法二(作商比较)：∵b ＞a ＞0，m ＞0， ∴bm ＞am ⇒ab ＋bm ＞ab ＋am ＞0， ∴ab ＋bm ab ＋am ＞1，即a ＋m b ＋m ·b a ＞1⇒a ＋m b ＋m ＞a b
.故填＞.
【点拨】本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．
(2015·福建月考)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2
，当n ∈N ，n >2时，比较
c n 与a n ＋b n 的大小，则a n ＋b n ________c n .
解：∵a ，b ，c ∈R ＋
，∴a n ，b n ，c n
>0，而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2
，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫b c 2＝1，∴0<a c <1，0<b c <1.当n ∈N ，n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，
∴a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c n <a 2＋b 2c 2＝1，∴a n ＋b n <c n
.故填＜.
1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．
2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．
5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．
6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．
1．(2015·宁夏模拟)若a ，b 为实数，则“a >b >0”是“a 2
>b 2
”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：由a ＞b ＞0⇒a 2
＞b 2
，充分性成立；由a 2
＞b 2
⇒|a |＞|b |a ＞b ＞0，必要性不成
立．∴“a ＞b ＞0”是“a 2＞b 2
”的充分不必要条件．故选A .
2．已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a n
b ＋ab n
－a n ＋1
－b
n ＋1
的正负情况为 ( )
A ．恒为正
B ．恒为负
C ．与n 的奇偶性有关
D ．与a ，b 的大小有关 解：a n
b ＋ab n
－a
n ＋1－b
n ＋1
＝a n (b －a )＋b n
(a －b )
＝－(a －b )(a n
－b n
)，
因为(a －b )与(a n
－b n
)同号，所以a n
b ＋ab n
－a n ＋1
－b
n ＋1
<0恒成立．故选B .
3．(2015·云南模拟)若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )
A ．a ＋c ≥b －c
B ．(a －b )c 2
≥0 C ．ac >bc
D.
c 2
a －b
>0
解：A 项：当c <0时，不等式a ＋c <b －c 可能成立；B 项：a >b ⇒a －b >0，c 2
≥0，故(a －b )c 2
≥0；C 项：当c ＝0时，ac ＝bc ；D 项：当c ＝0时，
c 2
a －b
＝0.故选B .
4．(2014·湖南)已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2
＞y 2
.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
解：当x ＞y 时，两边乘以－1可得－x ＜－y ，∴命题p 为真命题；当x ＝1，y ＝－2时，显然x 2
＜y 2
，∴命题q 为假命题，∴②③为真命题．故选C .
5．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )
A ．c ≤3
B ．3＜c ≤6
C ．6＜c ≤9
D ．c ＞9
解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b
＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C . 6．如果0＜m ＜b ＜a ，则( ) A ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －m
B ．cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋m
C ．cos b －m a －m ＜cos b a ＜cos b ＋m a ＋m
D ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b －m a －m ＜cos b a
解：作商比较：b ＋m a ＋m ÷b a ＝ab ＋am ab ＋bm ＞1，所以1＞b ＋m a ＋m ＞b a ＞0，同理，0＜b －m a －m ＜b
a
＜1，
∴1＞b ＋m a ＋m ＞b a ＞b －m a －m ＞0.而y ＝cos x 在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos
b －m a －m
(也可取特殊值判断)．故选A .
7．(2015·江西模拟)设a ＝lge ，b ＝(lge)2
，c ＝lg e ，则a ，b ，c 的大小关系为________．
解：∵e ＜10，∴lge ＜lg 10＝12，∴(lge)2
＜12·lge ＝lg e ，即b ＜c .又∵e ＜e ，
∴lg e ＜lge ，即c ＜a .故填b ＜c ＜a.
8．若a <0，－1<b <0，则下列不等式成立的是________． ①log 0.5(－a )<log 0.5(－ab 2
)； ②(－a )2
<(－ab 2)2
； ③(－a )－1
>(－ab 2)－1
； ④0.5－a
>0.5－ab 2
.
解法一：对于①，∵a ＜0，－1＜b ＜0，可知－a ＞0，0＜b 2
＜1，∴－a ＞－ab 2
＞0，结合对数函数的性质容易得到log 0.5(－a )＜log 0.5(－ab 2
)，①成立；对于②，由①知－a ＞－
ab 2＞0，故(－a )2＞(－ab 2)2，②不成立；对于③，由－a ＞0知，－1a ＞－1ab 2⇔1＞1
b
2⇔b 2＞1，
与－1＜b ＜0矛盾，③不成立；对于④，由①知④不成立．
解法二：用作差或作商法解本题也是可行的，如对于①，有log 0.5(－a )－log 0.5(－ab 2
)＝log 0.51
b
2＜0，从而①正确，其余类似可解．故填①.
9．设实数a ，b ，c 满足 ①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2
， ②c －b ＝4－4a ＋a 2.
试确定a ，b ，c 的大小关系． 解：∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ， 又2b ＝2＋2a 2
，∴b ＝1＋a 2
，
∴b －a ＝a 2
－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，
∴b ＞a ，从而c ≥b ＞a .
10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a 人．
(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？ (2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？ 解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．
则y ＝1 000＋30x 800＋ax
(a ∈N *
，1≤x ≤10)．
假设会超过1.5万元，则当a ＝10时有1 000＋30x 800＋10x ＞1.5，解得x ＞40
3＞10.
所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元．
(2)设1≤x 1＜x 2≤10，y ＝f (x )＝1 000＋30x
800＋ax
，
则f (x 2)－f (x 1)＝1 000＋30x 2800＋ax 2－1 000＋30x 1
800＋ax 1
＝
（30×800－1 000a ）（x 2－x 1）
（800＋ax 2）（800＋ax 1）
＞0，
所以30×800－1 000a ＞0，得a ＜24.
所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人． 11．(2015·云南模拟改编)已知a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，求c
a
的取值范围． 解：∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ， ∴a >－(a ＋c )>c ，且3a ＞a ＋b ＋c ＝0＞3c ，
则a >0，c <0，∴1>－a ＋c a ＞c
a
，
即1＞－1－c a ＞c a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，c
a ＞－2， 解得－2＜c a ＜－1
2.
故c a 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫－2，－12. 设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：
①c a >c
b
；②a c
<b c
；③log b ()a －c >log a ()b －c .
其中所有正确结论的序号是( ) A ．①
B ．①②
C ．②③
D ．①②③ 解：①∵a >b >1，∴0<1a <1b <1，又c <0，∴c a >c b
，①正确；②由于a >b >1，可设f (x )＝a x
，g (x )
＝b x ，当x ＝c ＜0时，根据指数函数的性质，得a c <b c
，②正确；③∵a ＞b ＞1，c ＜0，即a －c ＞b －c ＞1，∴log a (a －c )＞log a (b －c )，又由对数函数的性质知log b (a －c )＞log a (a －c )，∴log b (a －c )＞log a (b －c )，③正确．故选D .。