古典命题逻辑与模态命题逻辑的形式系统之比较

2009年第10期
第27卷
(总第111期)
毕节学院学报
J OURNAL OF B IJIE UN I VERS I TY
NO.10,2009
V o.l27
G ene ra lN o.111
收稿日期:2009-08-14
基金项目:2007年湖南科技学院重点科研项目 古典命题逻辑与模态命题逻辑的比较 ,项目编号:07XKYTA011
作者简介:姚从军(1971 ),男,湖北随州人,南开大学哲学系博士生。

研究方向:现代逻辑。

古典命题逻辑与模态命题逻辑的形式系统之比较
姚从军
(南开大学哲学系,天津 300071)
摘 要:LP M与Lp相比:由于 的引入,导致了初始符号与形成规则的扩张;从而引起了LP M 的合式公式、原子公式、元语言变项和常项的取值范围,比Lp中相应部分的取值范围大大扩张;K、D、T、B、S4、S5与P相比:公理数量增多;变形规则增加,且相同变形规则的作用范围扩大;可推出的定理数量大大增加;推理能力大大增强。

首次提出,模态命题逻辑系统的定理(公理)均是在古典命题逻辑系统的定理(公理)的子公式前用不同的方式添加模态词(包括空模态词)而得到。

关键词:古典逻辑;模态逻辑;形式系统
中图分类号:B815.1 文献标识码:A 文章编号:1673-7059(2009)10-0031-06
一、古典命题逻辑与模态命题逻辑的形式语言之间关系
1、古典命题逻辑P的形式语言LP[1]105-113
(1)LP的初始符号
甲类:p,q,r,s,p1,q1,r1,s1,p2 ;
乙类: , ;
丙类:(,)。

(2)L P的形成规则
任一甲类符号是L P的合式公式;
如果A是L P合式公式,则 A是L P合式公式;
如果A与B是L P合式公式,则(A B)是L P合式公式;
只有符合以上三条的符号序列才是L P的合式公式。

(3)L P引入符号的定义
D :(A B)=de f (A B);
D :(A B)=de f( A B);
D :(A B)=de f ((A B) (B A))。

2、模态命题逻辑的形式语言L P M[2]59-85
(1)L PM的初始符号
甲类:p,q,r,s,p1,q1,r1,s1,p2 ;
乙类: , ;
丙类:(,);
丁类: 。

(2)L PM的形成规则
任一甲类符号是L PM的合式公式;
如果A是L P M合式公式,则 A是L P M合式公式;
如果A与B是L P M合式公式,则(A B)是L P M合式公式;
如果A是L P M合式公式,则 A是L P M合式公式;
只有满足以上四条的符号序列才是L PM合式公式。

(3)L PM引入符号的定义
D :(A B)=de f (A B);
D :(A B)=de f( A B);
D :(A B)=de f ((A B) (B A));
D : A=def A;
D :(A B)=de f (A B);
D=:(A=B)=de f(A B) (B A)。

3、形式语言之间的关系
(1)初始符号
形式语言L P M比形式语言L P多一个基本符号,就是说,形式语言L P M除了有L P那些基本符号外,还另外有一个基本符号 。

从直观上来讲, 是在现代模态逻辑中用来表示模态概念必然性的人工语言符号,它指称的对象是事物或认识的必然性这一性质。

由于人们对必然性有不同的理解和看法,也就形成了关于必然性的不同概念。

这说明 在不同的逻辑系统中表示不同的必然性概念。

从逻辑上讲,我们将之看成同 、 一样的命题联结词,它也是逻辑常项。

一个命题经由 的作用形成另一个命题,类似于数学中的运算子,因此它也被称为语句形成算子,但是它直观上含有模态内容,故被称为模态算子,即必然性算子,它是一元联结词。

(2)形成规则
由于L P M比L P多一个基本符号,L PM就比L P多一条形成规则(4):如果A是L P M合式公式,则 A是L P M合式公式。

(3)合式公式
形成规则的增加导致合式公式增加。

L P M合式公式除包含全部L P合式公式外,另外增加了一些含模态词的合式公式,这些公式不为L P具有,故L P M合式公式是L P合式公式的真扩张。

(4)引入符号
我们也要同L P一样,通过D 、D 与D 在L P M中引入 、 与 这些逻辑联结词。

此外,我们还要通过D 、D 与D=在L P M中分别引入一个一元逻辑联结词和两个二元逻辑联结词。

(5)元语言
描述L P时所使用的那些元语言变项和元语言常项,L P M继续使用,但是在L P M中,它们的值域相应地扩大。

例如:A、B、C 在L P中只是表示命题的非模态形式。

所谓命题的非模态形式,就是指古典命题逻辑讨论或处理的命题形式。

在古典命题逻辑下,即使对模态命题,也只能考虑它的非模态的命题形式。

如(1):如果明天可能是晴天,那么明天天晴或开运动会是可能的。

在L P中它的命题形式是(1 ):p q。

在L
中,A、B、C表示命题的模态形式。

所谓命题的模态形式,就是指在
P M
模态命题逻辑里,对任意命题来说,如果考虑到其中的模态并在有这部分内容时,给出相应的形式表达,那么所得的命题形式就是命题的模态形式。

在这一规定和做法下,由模态命题所得到的命题形式当然都是命题的模态形式,如(1)可表示为(1 ): p (p q);并且由非模态命题得到的命题形式也是命题的模态形式,这可以看作一种特殊的模态形式,即空模态形式,这一类命题也是古典命题逻辑形式化的对象,空模态形式实质上与古典命题逻辑刻画的非模态命题的非模态形式是一样的。

这也就是说,在L PM中,A、B、C 的值域大于L P中的A、B、C 的值域,这也导致了元语言常项作用的范围相应地扩大了。

从形式上说,在L P M中,A、B、C 可表示含有 的合式公式, 、 也可作用于这类公式,从而形成新的合式公式。

(6)原子公式
从两者的原子公式看,先给出一个定义:
定义1:设L是任一P-语言,如果 既不是形如 也不是形如 的公式,则称 是L的P-的原子式。

根据此定义,L P的P-原子式就是由L P公式形成规则(1)得到的公式,L P M的P-原子式就是由L P M公式形成规则(1)、(4)得到的公式,即L P M的原子公式除包含L P的原子公式外,还有一些形如 A的原子公式,称为必然式。

总之,形式语言L P的符号和有定义的表达式均是形式语言L P M的符号和有定义的表达式(公式),但反之不成立。

故L P M是L P的真扩张,L P是L PM的真子语言。

二、古典命题逻辑与模态命题逻辑的演绎基础之比较
公理和变形规则对于形式系统来说,有更为直接和具体的意义与作用。

在给定形式语言情况下,形式系统的确定主要取决于公理和推理规则,这两部分形成形式系统的演绎装置,也称它们为系统的基础。

在同一个形式语言下,由于这个基础的不同,形成不同的系统。

形式语言可以独立于系统给出。

往后在固定形式语言L P的情况下,通过显示公理和初始规则来给出古典命题逻辑系统P;在固定形式语言L P M的情况下,通过显示不同的公理和初始规则来给出模态系统K、D、T、S4、S5、B。

所谓一个系统的构造与给出,此时指的是公理和初始规则的设立和选定。

1、古典命题逻辑P的演绎基础[1]105-113
P的公理(模式)
P1:A (B A);
P2:(A (B C)) ((A B) (A C));
P3:( A B) (( A B) A)。

P的推理规则
M P(分离规则):如果 P A和 P A B,则 P B。

由P的公理出发,根据推理规则,我们可进行推导,得出许多定理,构成一个无穷集合。

这个无穷集合的元素有两类,第一类是公理,第二类是由公理根据推理规则演绎出来的新元素,这类元素是系统的定理,实际上,这一集合就是本系统所有重言式的汇集。

2、模态命题逻辑K、D、T、S4、S5、B的演绎基础[2]59-85
(1)模态命题逻辑K的演绎基础
公理(模式)
A0:古典命题演算系统重言式;
K: (A B) ( A B)。

推理规则
M P:如果 K A和 K A B,则 K B;
R :如果 K A,则 K A。

由K的公理出发,根据推理规则,我们可进行推导,得出K的许多定理。

(2)模态命题逻辑D的演绎基础
公理(模式)
A0:经典命题演算系统重言式;
K: (A B) ( A B);
D: A A。

推理规则
M P:如果 D A和 D A B,则 D B;
R :如果 D A,则 D A。

由D的公理出发,根据推理规则,我们可进行推导,得出D的许多定理。

(3)模态命题逻辑T的演绎基础
公理(模式)
A0:经典命题演算系统重言式;
K: (A B) ( A B);
T: A A。

推理规则
M P:如果 T A和 T A B,则 T B;
R :如果 T A,则 T A。

由T的公理出发,根据推理规则,我们可进行推导,得出T的许多定理。

(4)模态命题逻辑S4的演绎基础
公理(模式)
A0:经典命题演算系统重言式;
K: (A B) ( A B);
T: A A;
4: A A。

推理规则
M P:如果 S4A和 S4A B,则 S4B;
R :如果 S4A,则 S4 A。

由S4的公理出发,根据推理规则,我们可进行推导,得出S4的许多定理。

(5)模态命题逻辑S5的演绎基础
公理(模式)
A0:经典命题演算系统重言式;
K: (A B) ( A B);
T: A A;
E: A A。

推理规则
M P:如果 S5A和 S5A B,则 S5B;
R :如果 S5A,则 S5 A。

由S5的公理出发,根据推理规则,我们可进行推导,得出S5的许多定理。

(6)模态逻辑系统B的演绎基础
公理(模式)
A0:经典命题演算系统重言式;
K: (A B) ( A B);
T: A A;
B:A A。

推理规则
M P:如果 B A和 B A C,则 B C;
R :如果 B A,则 B A。

由B的公理出发,根据推理规则,我们可进行推导,得出B的许多定理。

3、古典命题逻辑与模态命题逻辑的演绎基础的关系[3]
(1)公理上的关系
K、D、T、S4、S5、B均以P为基础去扩张,它们的公理都包含P的全部公理甚至全部定理,另外增加了一些非L P合式公式的公理,故它们的公理集是P的公理集的真扩张,可从如下看出: K=P+K,T=K+D=P+K+D,T=K+T=P+K+T,S4=T+4=P+K+T+4,
S5=T+E=P+K+T+E,B=T+B=P+K+T+B。

另外对于同一个公理模式如A (B A),它既是P的公理模式P1,也是模态逻辑的公理模式,但是由于二类逻辑涉及的语言不同,它在L P M语言中所代表的具体公理比它在L P中所代表的公理多。

若用 p代替A,q代替B,则上式成为 p (q p)这样一个公式,它不是古典命题逻辑中的合式公式,但它却是模态命题逻辑的定理(公理)。

(2)推理规则上的关系
K、D、T、S4、S5、B使用相同的初始规则集{MP,R },这个初始规则集比系统P的初始规则集{M P}多一个规则R ,它不是P的推理规则,故K、D、T、S4、S5、B使用的初始规则集也是系统P的初始规则集的真扩张。

另外对于相同的初始规则M P来说,其作用的范围也不同。

若S表示任一系统,M P规则可表示
为:如果
S A且
S
A B,那么
S
B。

由于模态系统K、D、T、S4、S5、B的定理集真包含P的定
理集,故A及A B在这些模态系统中代表的定理所组成的集合真包含A及A B在P中代表的定理所组成的集合,所以M P在模态逻辑中的作用范围是它在P中作用范围的真扩张。

例如:M P在P中不涉及含 的公式,但在模态逻辑中,它有时作用于这类公式。

从定理D29的证明中我们可看到MP 在模态系统中作用范围的扩张: (p p)是A, (p p) (p p)是A B,它们均不是古典命题逻辑的定理,而它们是模态命题逻辑系统D的定理。

在D中,M P对这两个公式施加运算,得到B,即 (p p),它是D、T、S4、B、S5的定理,不是P的定理;在P中,M P不可能作用于这类公式,也得不出这类结果。

其实,由于K、D、T、S4、S5、B之间的定理集不一样,MP和R 在它们之间的作用范围也是不一样的。

(3)定理间的关系
模态逻辑K、D、T、S4、B、S5均包含所有P定理,并且增加了一些在P中推不出的定理。

如K、D、T、B、S4、S5是有形如 A定理的系统,D、T、B、S4、S5是有形如 A定理的系统,而这两类定理不为P具有,故K、D、T、S4、B、S5定理集真包含P的定理集。

实际上,模态命题逻辑系统的定理(公理)均是在古典命题逻辑系统的定理(公理)的子公式前用不同的方式添加模态词(包括空模态词)而得到,例如:(p q) (p q)是P的定理,它包括p q,p,q等子公式。

如果在该定理的前半部分(子公式p q)前加上 ,在后半部分的两分支(子公式p和q)前各加上 ,则得到一新公式: (p q) ( p q),它是模态命题逻辑系统K、D、T、S4、S5、B的公理K。

对同一个古典命题逻辑定理(公理),由于添加模态词的方式不同,得到的公式也可能是不同的模态命题逻辑系统的定理(公理),例如:p p是古典命题逻辑的同一律,它包括p,p p两个子公式。

如果在第一个p前加 ,在第二个p前加 ,则得到公理D: p p,它只是D、T、B、S4、S5的公理(定理),不是K的定理(公理);如果在第一个p前加 ,第二个p前不加模态词,则得到T、B、S4、S5的公理T: p p;如果在第一个p前加 ,第二个p前加 ,则得到S4的公理4: p p,它是S5的定理;如果在第一个p前不加模态词,第二个p前加 ,则得到B的公理B:p p,它也是S5的定理;如果在第一个p前加 ,第二个p前加 ,则得到S5的公理E: p p;如果在第一个p前不加模态词,在第二个p 前添加 ,则得到T、S4、B、S5的定理,它不是D和K的定理;如果在子公式p p前加 或 ,则得到K、D、T、S4、B、S5的定理 (p p)或D、T、S4、B、S5的定理 (p p)。

既然如此,那么我们只需把模态命题逻辑系统定理(公理)中的模态词删除,就得到它们与古典命题逻辑系统共同的定理(公理)。

要证明这一结论,先引入一定义:定义6,设 是任意公式, 的P-变形记为 ,'是删去 中所有模态算子后得到的公式。

再引入一定理:
定理3 任一K-定理的P-变形都是P-定理。

详细证明请参看周北海的论著 模态逻辑导论 (北京大学出版社,1997年版第95页),仿照这一定理的证明,我们可以证明任一D-、T-、S4-、S5-、B-定理的P-变形均是P-定理。

(4)推理能力上的关系
逻辑学研究命题的形式的目的在于得到正确的推理形式,这样的形式又称为永真式或有效式。

由于古典命题逻辑只能考虑命题的非模态形式,而不能分析其模态形式,即不能跨过模态符号 和 继续考察命题的形式结构,因此如:(2)如果该物体受到磨擦,那么它必然发热;(3)如果今天可能下雨,那么今天下雨或刮风是可能的,这两个不同的命题在古典命题逻辑的处理下,形式都是相同的,即(3 ):p q。

这表明古典命题逻辑不能解决模态形式的有效性问题。

例如(3)的模态形式是(3 ): p (p q),它在模态逻辑中是个有效式;而在古典逻辑里,只能考虑它的非模态形式,显然(3 )不是有效式。

一般地说,对任一命题的模态形式,它是否有效,以及为什么有效或非有效,古典逻辑无法回答,这些就是模态逻辑所要解决的主要问题。

当然古典命题逻辑下的有效式均是模态命题逻辑下的有效式。

这从直观上说明模态命题逻辑具有比古典命题逻辑更大的推理能力,通过二者定理集的比较也可得出这一结论。

定理就是刻画系统外有效的非形式论证的,故一个系统推出的定理数量是衡量一个系统推理能力大小的标志。

由两大类定理集之间的关系,我们就可得出一个结论:凡P能刻画的系统外有效的非形式论证,K、D、T、S4、B、S5也能刻画,这说明K、D、T、S4、B、S5的推理能力是强于P的。

一个系统的推理能力与该系统的定理数量是成正比的。

其实K、D、T、S4、B、S5之间的推理能力也不相同。

这些系统连同古典命题逻辑系统P的定理集及推理能力上的关系如下图所示:[4]
这里 表示真包含关系,若S1 S2,则S2的定理集真包含S1的定理集,S2的推理能力大于S1的推理能力。

参考文献:
[1]李娜.现代逻辑的方法[M].开封:河南大学出版社,1997.
[2]周北海.模态逻辑导论[M].北京:北京大学出版社,1997.
[3]弓肇祥.可能世界理论[M].北京:北京大学出版社,2002:14 55.
[4]张家龙.模态逻辑与哲学[M].北京:中国社会出版社,2003:4.
Co m par ison bet ween the C lassical P ropositional and the PropositionalM odal Syste m s
YAO Cong j u n
(Depart m ent of Ph il o sophy of Nanka iU niversity,T ian ji n300071,Chi n a) Abst ract:This co m parison is carried out fro m t w o aspects.The first is the co m parison about for m a l language.The resu lts of co m parison bet w een LP M and LP:the i n troduction of leads to the ex tensi o ns o f pr i m itive sy mbols and for m ation ru les,and i n tur n,leads to t h e m ore expansions o f LP M s w ell for m ed for m ulas,ato m ic for m ulas,t h e variab les and constants o f m eta language than LP s counterparts.The second aspect is the co m parison of deductive bases.The resu lts of co m parison:the num ber of ax io m s and transfor m ation rules increases;and the effective range of t h e sa m e deductive rule beco m es bigger;t h e number of theore m s grea tl y i n creases;deducti v e abiliti e s beco m e stronger.The author concludes that all of the propositionalm oda l log ic theore m s can be obtained by add i n g m oda lities to t h e sub for mu la o f the C lassica l Propositi o na l log ic theore m s.
K ey w ords:C lassical Logic;M odal Logic;For m al Syste m
(责编:彭麟淋 责校:张永光)。