高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第1节 简单几何体的结构及其三视图和直观图学案 理 北师大版

第一节简单几何体的结构及其三视图和直观图
[考纲传真] (教师用书独具)1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
(对应学生用书第106页)
[基础知识填充]
1．简单几何体的结构特征
(1)多面体
①棱柱：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边
都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱．
②棱锥：有一个面是多边形，其余各面是一个公共顶点的三角形，这些面围成的几
何体叫作棱锥．
③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．
(2)旋转体
①圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到．
②圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．
③球可以由半圆或圆绕直径旋转得到的.
2．三视图
(1)三视图的名称
几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图．
(2)三视图的画法
①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
②三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图．
③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．
3．直观图
简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)在已知图形中建立直角坐标系，xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，
两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；
(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段；
(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，
长度为原来的12
. [基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )
(3)菱形的直观图仍是菱形．( )
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．某简单几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A ．圆柱
B ．圆锥
C ．四面体
D ．三棱柱
A [由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其主视图为三角形，而圆柱的主视图不可能为三角形．]
3．(教材改编)如图7­1­1，长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中被截去一部分，其中EH ∥A ′D ′，则剩下的几何体是( )
图7­1­1
A ．棱台
B ．四棱柱
C ．五棱柱
D ．简单组合体
C [由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．]
4．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图7­1­2所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
( )
图7­1­2
A．3 2 B．2 3 C．2 2 D．2
B[在正方体中还原该四棱锥，如图所示，
可知SD为该四棱锥的最长棱．
由三视图可知正方体的棱长为2，
故SD＝22＋22＋22＝2 3.
故选B.]
5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．
2π[由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1，
所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.]
(对应学生用书第107页)
(1)以下命题：
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．
其中不正确的命题为________.
【导学号：79140219】
(1)B(2)①②③[(1)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命
题④，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．
(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三
角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；
④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确．
综上，命题①②③不正确．
]
定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定
反例法：通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只是举出一个反例即可
[跟踪训练
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点．
其中正确命题的序号是________．
②③④[①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一
定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；
③正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形；
④正确，由棱台的概念可知．]
(2017·东北四市联考)如图7­1­3，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥P­A1B1A的左视图为( )
图7­1­3
D[如图，
画出原正方体的左视图，显然对于三棱锥P­A1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均
在，从而其左视图为D.]
◎角度2 已知三视图判定几何体
(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图7­1­4所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
图7­1­4
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
B [观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．
因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为
4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12
×(2＋4)×2＝12.故选B.] 对柱、锥、台、球的三视图要熟悉明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则易错警示：线的不同是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是( )
图7­1­5
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2018·北京东城区综合练习(二)) 日晷是中国古代利用日影测得时刻的一种计
时工具，又称“日规”．通常由铜制的指针和石制的圆盘组成，铜制的指针叫作“晷针”，垂直地穿过圆盘中心，石制的圆盘叫作“晷面”，它放在石台上，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久．下图7－1－6是一位游客在故宫中拍到的一个日晷照片，假设相机镜头正对的方向为主视方向，则根据图片判断此日晷的左视图可能为( )
图7－1－6
(1)C(2)D[由三视图可得该几何体是如图所示的四棱锥P­ABCD，由图易知四个
侧面都是直角三角形，故选C.
(2)因为相机镜头正对的方向为主视方向，所以左视图中圆盘为椭圆，指针上半部分
为实线，下半部分为虚线，可能是D，故选D.]
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.
3
4
a2 B.
3
8
a2 C.
6
8
a2 D.
6
16
a2
D[如图(1)(2)所示的实际图形和直观图，
由(2)可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝
1
2
OC＝
3
4
a，
在图(2)中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，
则C ′D ′＝22O ′C ′＝68
a ， 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616
a 2.]
测直观图是直角梯形(如图7­1­7所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________.
【导学号：79140220】
图7­1­7
2＋22
[如图(1)，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .
(1) (2)
在Rt△ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝
22
. 又四边形AECD 为矩形，AD ＝EC ＝1，
∴BC ＝BE ＋EC ＝22
＋1. 由此还原为原图形如图(2)所示，是直角梯形A ′B ′C ′D ′.
在梯形A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′＝1，B ′C ′＝22
＋1，A ′B ′＝2， ∴这块菜地的面积S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.]。