苏教版高中数学必修五第一章《解三角形》综合测试题教师版

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一、填空题
1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b ＝________.
a ＝
b 得，b ＝ asinB 10sin60 °
6.
56 ＝ ＝5
[分析]由
sinAsinB sinA sin45°
2．在△ABC 中，若 △
1 2＋b 2－c 2
)，那么角C ＝________. S ABC ＝4(a
π 依据三角形面积公式得， 1 1
[分析] S ＝absinC ＝ (a 2＋b 2－c 2)，
4 2 4
∴sinC ＝ a 2＋b 2－c 2
cosC ＝ a 2＋b 2－c 2
2ab .又由余弦定理： 2ab ，
π
∴sinC ＝cosC ，∴C ＝
.
4
3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是________．
93
[分析]由条件易得A ＝B ＝30°，所以b ＝a ＝6，S ＝
1
absinC ＝ 1
×6×6×
2 2
3
＝9 3.
2
4.轮船A 和轮船B 在正午12时同时走开海港
C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航 行速度分别为25nmile/h ，15nmile/h ，则下午
2 时两船之间的距离是________nmile.
70[分析]d 2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝
4900，所以d ＝70，即两船相距70nmile.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是
a ，
b ，
c ，若sinA ＝3sinC ，B ＝30°，b ＝2，
则△ABC 的面积是________．
sinA ＝a ＝
2
2
2
3
?a
3?a ＝
3c ，cosB ＝a
＋c －b
＝
3[分析]由sinA ＝3sinC ，得sinC c
2ac
2
＝2
1
3，c ＝2，所以S △ABC ＝acsinB ＝3.
2
5
，sinB ＝3
，则cosC 的值为________．
6．在△ABC 中，已知cosA ＝13
5
16 [分析]
由已知可得 sinA ＝
12
，sinA>sinB ，因为在△ABC 中，由sinA>sinB?A>B
65
13
知角B 为锐角，故cosB ＝4
，
5
7.在一个塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为 θ，由此点向塔底沿直线行走了30m ，测 得塔顶的仰角为 2θ，再向塔底行进 103 m ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为
________m.
[分析] 如图，依题意有PB ＝BA ＝30，PC ＝BC ＝103，在△BPC 中由余弦定理可得cos2θ
＝ 1032＋302－1032 3
，所以2θ＝30°，4θ＝60°，在△PCD 中，可得PD ＝PCsin60°
＝ 2 2×103×30
＝103×
3
＝15(m)．
2
图8
8．如图8，已知A ，B 两点的距离为 100nmile ，B 在A 的北偏东 30°方向，甲船自 A 以
50nmile/h 的速度向 B 航行，同时乙船自 B 以30nmile/h 的速度沿方向角 150°方向航行，
航行________h ，两船之间的距离最小．
65 49
[分析]设经过xh ，两船之间的距离最小，由余弦定理得
S 2＝(100－50x)2＋(30x)2－2·30x(100－50x)·cos60° ＝ 4900x 2－13000x ＋10000
2 130 ＝ 4900x －
49x ＋10000
＝ 67500
＝ 4900x －49＋49，
65
所以当x ＝65
时，S 2最小，进而两船之间的距离最小． 49
9．从A 处望B 处的仰角为 α，从B 处望A 处的俯角为
β，则α、β的关系为
________．
α＝β[分析]如下图，从A 处望B 处和从B 处望A 处视野均为AB ，而α，β同为AB 与水平线所成的角，所以α＝β.
10．一船自西向东匀速航行，上午10时抵达一座灯塔P 的南偏西 75°距塔68nmile 的M
处，下午2 时抵达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为 nmile/h.
176 [分析]如下图，在△PMN 中，
PM
＝MN ，
2
sin45 °sin120 °
∴ MN ＝68×3＝346，2 ∴v ＝
MN
＝
17 6(nmile/h)．
4
2
图11
11．如下图，要丈量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选用相距
两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则
40m的C、DA、B间
的距离是
________m.
206
[分析]由已知可知△
BDC为等腰直角三角形，
∴DB＝40m.
由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知
A、B、C、D
四点共圆，
所以∠BAD＝∠BCD＝45°.
在△BDA中，
由正弦定理可得
BD·sin60°
AB＝＝20 6.
sin45°
12．某海岛四周
航行30 nmile
“有”或“无”
38 nmile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，
后测得此岛在东北方向．若不改变航向，则此船________触礁的危险(填
)．
无[分析]由题意，在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理
AB
·sin ∠BAC ＝
30 ·sin30＝°
15
＝15( 6＋2)． BC ＝
sin15 6－2sin ∠ACB °
4 在Rt △BDC 中，∠CBD ＝45°，CD ＝BCsin ∠CBD ＝15(3＋1)>38，故无触礁危险．
13．在△ABC 中，若AB ＝AC ，则cosA ＋cosB ＋cosC 的取值范围为________．
3
[分析]因为AB ＝AC ，所以b ＝c ，由余弦定理得 1，2
b 2＋
c 2－a 2 a 2＋c 2－b 2 1a a ＋1＝－ 1a
3
，因为
cosA ＋cosB ＋cosC ＝ ＋2· ＝－ 2b 2＋
2b －12＋
2bc 2ac b
2
b ＋c>a ，即2b>a ，所以0<
a <2，于是1<－ 1 a －12＋3≤3
.
b 2 b 22 14．在三角形ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，内角 A ，B ，C 对边的边长分别是
a ，
b ，
π c ，c ＝2，C ＝3，记m ＝(sinC ＋sin(B －A)，2)，n ＝(sin2A,1)，若m 与n 共线，则△ABC
的面积为________．
2 3
. [分析]∵m 与
n 共线，∴sinC ＋sin(B －A)－2sin2A ＝0，
3 s in(A ＋B)－sin(A －B)＝4sinAcosA ，即sinBcosA ＝2sinAcosA.
当cosA ＝0 π π 43 ，b ＝ 2 3 1
absinC ＝
时，A ＝，B ＝，a ＝ 3 3 ，S ＝ 2 6 2 当cosA ≠0 时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得 b ＝2a.
由c 2
＝a 2
＋b 2
－2abcosC 得4＝a 2
＋b 2
－ab ，
a 2＋
b 2－ab ＝4，
联立方程
b ＝2a. 解得a ＝
23
，b ＝
431
23
3 3.S ＝2absinC ＝3.
2 3
所以△ABC 的面积为S ＝.
3
二、解答题
2
3
3
3.
115．(14分)在△ABC中，C－A＝2，sinB＝3.
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝6，求△ABC的面积．
π
[解答](1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，
2
ππ
得2A＝－B,0<A<.
24
故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝1 3，
3
sinA＝3.
6
(2)由(1)得cosA＝3.
又由正弦定理，得BC＝AC
，
sinA
sinA sinB
BC＝sinB·AC＝32，
11
所以S ABC＝AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA＝32.
△
2
2
16.（14分）如图16，某河段的两岸可视为平行，为了丈量该河段的宽度，在河的一边选用两点A、B，察看对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100m.
(1)求sin75；°
(2)求该河段的宽度．
图16
[解答](1)sin75＝sin(30°＋°45°)＝sin30cos45°°＋cos30°sin45°
＝1×2＋3×
6＋2 2＝
4
.
2222
(2)∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，
∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°，
由正弦定理得：
AB
＝
BC
sin ∠ACB sin ∠CAB
.
∴BC ＝ ABsin75 °
.
sin60°
如图过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为 D ，则BD 的长就是该河段的宽度．
在Rt △BDC 中，∵∠BCD ＝∠CBA ＝45°，sin ∠BCD ＝
BD
， BC
∴BD ＝BCsin45°＝
ABsin75 °
sin60
·sin45
°
256＋23＝503＋3(m)．
33
6＋2
100×
4
× 2， ＝°
3 2
2
17．(15)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角 A 、B 、C 的对边，且 2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c
b)sinC.
(1)求A 的大小；
(2)若sinB ＋sinC ＝1，试判断△ABC 的形状．
[解答](1)由已知，依据正弦定理得
2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c. 即a 2＝b 2＋c 2＋bc.
由余弦定理得 a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.
故cosA ＝－1
，A ＝
120°.2
(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sinBsinC ＝3
.
4
又sinB ＋sinC ＝1，得sinBsinC ＝14，解得sinB ＝sinC ＝1
2.
因为A ＝120°，所以0°＜B ＜60°，0°＜C ＜60°，
故B ＝C ＝30°.
所以△ABC 是等腰钝角三角形．
18．(5分)如图18，在一条海防戒备线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到点A 的距离分别为20km 和50km.某时辰，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，
8s 后
离为 A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的流传速度是
xkm ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；
km/s.设 A 到 P 的距
图18
[解答]依题意，有PA ＝PC ＝x ，
PB ＝x －×8＝x －12.
在△PAB 中，AB ＝20，
cos ∠PAB ＝ PA 2＋AB 2－PB 2 x 2＋202－x －122 3x ＋32
.
2PA ·AB ＝ 2x ·20 ＝ 5x
在△PAC 中，AC ＝50，
2 2 2 2 2 2 25，
cos ∠PAC ＝ PA ＋AC －PC ＝x ＋50 －x ＝
2PA ·AC 2x ·50 x
3x ＋32＝25，解之得x ＝31. 5xx
故PC ＝x ，PB ＝x －＝31.
19．(16分)在△ABC 中，已知角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，
b ，
c ，且(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)
3bc.
(1)求A ；
(2)若B －C ＝90°，c ＝4，求b.(结果用根式表示 )
[解答](1)由条件，得(b ＋c)2－a 2＝3bc ，即b 2
＋c 2－a 2＝bc ，
∴cosA ＝ b 2＋c 2－a 2 1
2bc ＝.
2
0°<A<180°，∴A ＝60°. B ＋C ＝120°，
得B ＝105°，C ＝15°.
(2)由
B －
C ＝90°
由正弦定理得 b
＝ 4 ，即b ＝ 4sin105 °
sin105 sin15 ，
°sin15 ° °
∴b ＝4tan75°，
∵tan75°＝tan(45°＋30°)＝
1＋tan30° 3， ＝2＋ 1－tan30° ∴b ＝8＋4 3.
20．(16分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三内角 A ，B ，C 的对边，且acosC ＋ccosA ＝2bcosB.
(1)求角B 的大小；
(2)求sinA ＋sinC 的取值范围．
[解答](1)方法一：由 acosC ＋ccosA ＝2bcosB 及余弦定理，得
a × a 2＋
b 2－
c 2 ＋c × b 2＋c 2－a 2 a 2＋c 2－b 2 2ab ＝2b × 2ac .
2bc
化简，得a 2＋c 2－b 2＝ac ，
a 2＋c 2－
b 2 1 所以cosB ＝ 2a
c ＝ 2，
π
因为B ∈(0，π)，所
以B ＝3.
方法二：由acosC ＋
ccosA ＝2bcosB 及正
弦定理，得sinAcosC
＋sinCcosA ＝
2sinBcosB ，
即sin(A ＋C)＝
2sinBcosB ，
因为A ＋B ＋C ＝π，
所以sin(A ＋C)＝
sinB ≠0，
1 所以cosB ＝2.
π 因为B ∈(0，π)，所以B ＝3.
2π
(2)sinA ＋sinC ＝sinA ＋sin 3－A
33
＝ 2sinA ＋2cosA
＝3sinA ＋ π
，
6
因为 0<A< 2π π π 5π 3 ，所以 <A ＋< ，
6 6 6
1 π
所以 2<sinA ＋6≤1，
所以sinA ＋sinC 的范围是
3，3. 2。