2021-2022学年甘肃省天水一中高三(上)第一次考试数学试卷(文科)(8月份)(解析版)

2021-2022学年甘肃省天水一中高三（上）第一次考试数学试卷
（文科）（8月份）
一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B＝（）A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}
2．函数f（x）＝+的定义域为（）
A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]
C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]
3．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x ﹣2）≤1的x的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]
4．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0
B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0
C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0
D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0
5．已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
6．下列函数中，满足“f（xy）＝f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）＝x3B．C．f（x）＝log3x D．f（x）＝3x
7．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y＝log2|x|，x∈R且x≠0B．y＝cos2x，x∈R
C．，x∈R D．y＝x3+1，x∈R
8．函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）
A．0B．1C．2D．3
9．已知x＝lnπ，y＝log52，，则（）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
10．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
11．函数f（x）＝（x﹣）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．
C．D．
12．已知函数，当a＜b＜c＜d时，有f（a）＝f（b）＝f（c）＝f （d），则b+c+d的取值范围是（）
A．（4，5）B．（2，3）C．（4，+∞）D．[4，5]
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．若“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为．
14．若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．
15．若函数（其中a＜0）为偶函数，则a＝．
16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝．
三、解答题（共5小题，70分）（一）必考题：每题12分，共60分.
17．设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n＝log2a n（n≥1），求数列{b n}的前n项和T n．
18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0．（1）求角A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．
19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（1）证明：DC1⊥BC；
（2）若AA1＝4，求B1到平面BCD的距离．
20．成都市海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
地区A B C
数量50150100
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件中商品至少有一件来自C地区的概率．
21．已知函数f（x）＝x+xlnx．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若m∈Z，且m（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求m的最大值．
选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．[选修4-5]
23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
参考答案
一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B＝（）A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}
解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，
所以∁U B＝{1，5，6}，
故A∩∁U B＝{1，6}．
故选：B．
2．函数f（x）＝+的定义域为（）
A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]
C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]
解：要使函数有意义，
必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．
所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．
故选：B．
3．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x ﹣2）≤1的x的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]
解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D．
4．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）
A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0
B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0
C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0
D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0
解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，
故￢p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．
故选：C．
5．已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；
取a＝﹣1，b＝﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．
∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．
故选：B．
6．下列函数中，满足“f（xy）＝f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）＝x3B．C．f（x）＝log3x D．f（x）＝3x
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对于f（x）＝x3，有（xy）3＝x3×y3，满足f（xy）＝f（x）f（y），且f（x）＝x3为增函数，符合题意；
对于B，f（x）＝为减函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝log3x为对数函数，不满足f（xy）＝f（x）f（y），不符合题意；
对于D，f（x）＝3x，为指数函数，不满足f（xy）＝f（x）f（y），不符合题意；
故选：A．
7．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y＝log2|x|，x∈R且x≠0B．y＝cos2x，x∈R
C．，x∈R D．y＝x3+1，x∈R
解：对于A，令f（x）＝log2|x|，x∈R且x≠0，则f（x）为偶函数，当x∈（1，2）时，函数f（x）＝log2x为单调递增函数，故选项A正确；
对于B，令f（x）＝cos2x，则f（x）为偶函数，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，故选项B错误；
对于C，函数f（x）＝，x∈R，则f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故选项C错误；
对于D，函数y＝x3+1为非奇非偶函数，故选项D错误．
故选：A．
8．函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）
A．0B．1C．2D．3
解：由于函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0，
所以f（0）f（1）＜0，
故函数f（x）＝2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，
故选：B．
9．已知x＝lnπ，y＝log52，，则（）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
解：∵x＝lnπ＞lne＝1，
0＜log52＜log5＝，即y∈（0，）；
1＝e0＞＝＞＝，即z∈（，1），
∴y＜z＜x．
故选：D．
10．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
解：a、b都是不等于1的正数，
∵3a＞3b＞3，
∴a＞b＞1，
∵log a3＜log b3，
∴，
即＜0，
或
求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1
根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的充分条不必要件，故选：B．
11．函数f（x）＝（x﹣）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．
C．D．
解：对于函数f（x）＝（﹣x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，
且满足f（﹣x）＝（﹣+x）cos x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．
故排除A、B．
当x＝π，f（x）＜0，故排除C，
但是当x趋向于0时，f（x）＜0，
故选：D．
12．已知函数，当a＜b＜c＜d时，有f（a）＝f（b）＝f（c）＝f （d），则b+c+d的取值范围是（）
A．（4，5）B．（2，3）C．（4，+∞）D．[4，5]
解：函数，作出f（x）的图象，
当a＜b＜c＜d时，有f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），
通过图象不难看出，c与d关于x＝2对称，
∴c+d＝4，
要使f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），
那么0＜b＜1，
∴b+c+d的取值范围（4，5），
故选：A．
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．若“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．解：“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，
可得tan x≤1，所以，m≥1，
实数m的最小值为：1．
故答案为：1．
14．若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2]．
解：由于函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），
故当x≤2时，满足f（x）＝6﹣x≥4．
①若a＞1，f（x）＝3+log a x在它的定义域上单调递增，
当x＞2时，由f（x）＝3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．
②若0＜a＜1，f（x）＝3+log a x在它的定义域上单调递减，
f（x）＝3+log a x＜3+log a2＜3，不满足f（x）的值域是[4，+∞）．
综上可得，1＜a≤2，
故答案为：（1，2]．
15．若函数（其中a＜0）为偶函数，则a＝﹣3．解：因为函数为偶函数，
又f（﹣x）＝，
则f（﹣x）＝f（x）恒成立，
所以＝恒成立，
即ax+＝恒成立，
即x2（9﹣a2）+1＝1恒成立，
所以9﹣a2＝0，又a＜0，
所以a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝﹣8．
解：∵f（x）是奇函数，
∴f（x﹣4）＝﹣f（x）＝f（﹣x），
∴f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，
又f（x﹣4）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+4），
∴f（x﹣4）＝f（x+4），∴f（x）周期为8，
作出f（x）的大致函数图象如图：
由图象可知f（x）＝m的4个根中，两个关于直线x＝﹣6对称，两个关于直线x＝2对称，
∴x1+x2+x3+x4＝﹣6×2+2×2＝﹣8．
故答案为：﹣8．
三、解答题（共5小题，70分）（一）必考题：每题12分，共60分.
17．设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n＝log2a n（n≥1），求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解；（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），由a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，得6a2＝a1+3+a3+4，即a1+a3＝6a2﹣7，
又S3＝7，得a1+a2+a3＝7，所以6a2﹣7+a2＝7，解得a2＝2．所以a1+a3＝5，则+2q＝5，即2q2﹣5q+2＝0，解得q＝2或q＝（舍去），
所以a1＝＝＝1，因此a n＝1×2n﹣1＝2n﹣1．
（2）由（1）可知a n＝2n﹣1，所以b n＝log2a n＝n﹣1，所以T n＝b1+b2+…+b n＝0+1+2+…
+n﹣1＝．
18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0．（1）求角A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．
解：（1）△ABC中，∵a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0，
利用正弦定理可得sin A cos C+sin A sin C＝sin B+sin C＝sin（A+C）+sin C，
化简可得sin A﹣cos A＝1，∴sin（A﹣30°）＝，
∴A﹣30°＝30°，∴A＝60°．
（2）若a＝2，△ABC的面积为bc•sin A＝bc＝，∴bc＝4 ①．
再利用余弦定理可得a2＝4＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3•4，∴b+c＝4 ②．
结合①②求得b＝c＝2．
19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（1）证明：DC1⊥BC；
（2）若AA1＝4，求B1到平面BCD的距离．
【解答】（1）证明：∵，D是棱AA1的中点，
∴AD＝AC，∴在Rt△DAC中，∠ADC＝45°，
同理：∠A1DC1＝45°，∴∠CDC1＝90°，
∴DC1⊥DC，DC1⊥BD，
∵DC∩BD＝D，
∴DC1⊥平面BCD，
∵BC⊂平面BCD，
∴DC1⊥BC．
（2）解：取AB的中点E，连接CE，∵AC＝BC，
∴CE⊥AB，因为平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，CE⊂平面ABC，∴CE⊥平面ABB1A1，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，
∴CC1⊥BC，又DC1⊥BC，CC1∩DC1＝C1，
∴BC⊥平面ACC1A1，又AC⊂平面ACC1A1，CD⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥AC，BC⊥CD，
∵AA1＝4，∴AD＝AC＝BC＝2，
∴CD＝2，CE＝AB＝×2＝，
∴S△BCD＝BC•CD＝2，＝BB1•AB＝4，
设B1到平面BCD的距离为h，
由＝可得S△BCD•h＝•CE，
即×2×h＝×4×，
解得h＝2，
即B1到平面BCD的距离为2．
20．成都市海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
地区A B C
数量50150100
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件中商品至少有一件来自C地区的概率．
解：（1）由分层抽样得：
这6件样品中来自A地区商品的数量为：
6×＝1件，
来自B地区商品的数量为：6×＝3件，
来自C地区商品的数量为：6×＝2件．
（2）在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，
基本事件总数n＝＝15，
这2件中商品至少有一件来自C地区包含的基本事件个数m＝＝9．∴这2件中商品至少有一件来自C地区的概率P＝＝＝．
21．已知函数f（x）＝x+xlnx．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若m∈Z，且m（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求m的最大值．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx+2，
当x∈（0，e﹣2），f′（x）＜0，当x∈（e﹣2，+∞），f′（x）＞0，
因此，函数f（x）在（0，e﹣2）单调递减，在（e﹣2，+∞）单调递增，
所以f（x）的极小值是f（e﹣2）＝﹣e﹣2，无极大值．
所以函数f（x）的极小值是﹣e﹣2．
（2）因为m（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，
即对任意x＞1恒成立，
令，则，
令h（x）＝x﹣lnx﹣2（x＞1），则，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，
∴方程h（x）＝0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，
当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，
所以函数在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∴，
∴m＜[g（x）]min＝x0∈（3，4），故整数m的最大值是3．
选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
∴ρ2＝2，化为x2+y2＝，
配方为＝3．
（II）设P，又C．
∴|PC|＝＝≥2，
因此当t＝0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．
[选修4-5]
23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解：（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，
即①，或②，
或③．
解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
综上可得，原不等式的解集为（，2）．
（Ⅱ）函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|＝，
由此求得f（x）的图象与x轴的交点A（，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，
可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a的范围为（2，+∞）．。