14 第15讲无穷小的概念与性质

例15.2 已知当 → 时, ( )是与 ( )等价的且都不为零的无穷小, ( )是
2 ( )− ( )
比 ( )高阶的无穷小, 求 lim
.
→ 3 ( )+ ( )
【解】由题设条件可知
()
()
()
lim
= lim
= 1, lim
= 0.
→ () → ()
→ ()
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ因此
()
2 ( )− ( )
2− ( )
2、无穷小的性质
无穷小与极限的关系
lim ( ) = 的充分必要条件是 ( ) = + ( ) , 其中 ( )为同一极 限过程中的无穷小.
无穷小的运算法则 在同一极限过程中，有限个无穷小之和仍为无穷小； 有限个无穷小之积仍为无穷小； 无穷小与有界量之积仍为无穷小.
3、无穷小的比较 设 ( ), ( )为同一极限过程中的无穷小,
| ( )| ≥ ( ( ) ≥ / ( ) ≤ − ).
记作 lim ( ) = ∞ ( lim ( ) = +∞/ lim
→
→
→
= −∞).
无穷大和无穷小的关系
1
在同一极限过程中，若 ( )为无穷大，则
为无穷小；
()
1 若 ( )为无穷小， 且 ( ) ≠ 0，则 ( ) 为无穷大.
无穷大与无界量的关系
是无穷大.
1
【证明】取 =
, = 1,2, ⋯ , lim
2 +2
→
1
= lim
= 0.
→ 2 +2
lim ( ) = lim 2 + sin 2 + = lim 2 + = +∞.
→
→
2
2→
2
因此函数 ( )在区间 0,1 上无界.
1
取 = , = 1,2, ⋯ , lim ′ = lim = 0.
2−0 2
lim →3
( )+
= lim () →
3⋅
() ( )+
( )= 3+0 = 3. ()
例15.3 用等价无穷小代换计算下列极限：
tan − sin
1 lim
;
→ sin
−
2 lim
.
→
ln(1 + )
1
tan
【解】(1) lim
− sin
tan
= lim
⋅ (1 − cos )
【分析】 ( )为 → 过程中的无界量 ⇔ ∃{ } ( ≠ , = 1,2, ⋯ ) ,
满足 lim = , 使得 lim ( ) = ∞.
→
→
只需找到一个数列 { } (0 < < 1, = 1,2, ⋯ ) , 满足 lim = 0,
→
使得 lim ( ) = ∞ 即可.
→
11 例15.5 证明函数 ( ) = sin 在区间 0,1 上无界, 但当 → 0 时, ( )不
高等数学典型例题与解法（一）
第15讲 无穷小的概念与性质
理学院 周 敏 教授
1、无穷小的概念 如果 lim ( ) = 0，则称 ( )为该极限过程中的无穷小量.
例如： ( )是 → 过程中的无穷小量 是指 lim ( ) = 0，
→
即∀ > 0, ∃ > 0，当 0 < | − | < 时，恒有| ( )| < .
→
−1 →
= 0, 从而 + 1 > 2, 即 > 1.
因此可得正整数 的值为2 .
例15.4 设当 → 0时, 1 − cos )ln(1 + 是比 sin 高阶的无穷小,
而 sin 是比 − 1高阶的无穷小, 求正整数 的值.
【解2】由于当 → 0时, 1
( ) = (1 − cos )ln(1 + ) ∼ , 2
()
()
若 lim
= ≠ 0 > 0 , 则称 ( )是 ( )的 阶无穷小.
()
4、等价无穷小代换 设 ( ), ( )为同一极限过程中的无穷小,
()
( ) ∼ ( ), ( ) ∼ ( )，且 lim
= ,则
()
()
()
lim = lim
=.
()
()
常见的等价无穷小： 当 → 0时，
sin ∼
tan ∼
arcsin ∼ arctan ∼
1 1 − cos ∼
2 1 + − 1∼
− 1∼ ( ≠ 0)
ln(1 + )∼
− 1 ∼ ln ( > 0, ≠ 1)
5、无穷大
无穷大的概念
( )是 → 过程中的无穷大量(正无穷大/负无穷大)是指：
∀ > 0，∃ > 0，当 0 < | − | < 时，恒有
()
若 lim = 0, 则称
( )是比 ( ) 高阶的无穷小,
( )=
( ( ));
()
()
若 lim = ∞, 则称 ( )是比 ( )低阶的无穷小；
()
()
若lim = ≠ 0, 则称 ( )是 ( )的同阶无穷小；
()
()
若 lim = 1, 则称 ( )是 ( )的等价无穷小, ( ) ∼ ( ) ;
某极限过程中的无穷大量一定是该过程中的无界量，反之不真.
例15.1 试确定常数 , 的值 , 使 lim
→
【解1】根据无穷小量与极限的关系 ,
++ = 3.
−1
lim
→
从而
++
+ ( − 3) + ( + 3)
− 3 = lim
= 0,
−1
→
−1
+ ( − 3) + ( + 3) = − 1 = − 2 + 1,
比较系数得 − 3 = −2, + 3 = 1，故 = 1, = −2.
例15.1 试确定常数 , 的值 , 使 lim
→
【解2】 令 = − 1, 则
++ = 3.
−1
++
+ ( + 2) + ( + + 1)
lim
= lim
= 3.
→
−1
→
因此 + 2 = 3, + + 1 = 0, 解得 = 1, = −2.
例15.4 设当 → 0时, 1 − cos )ln(1 + 是比 sin 高阶的无穷小,
而 sin 是比 − 1高阶的无穷小, 求正整数 的值.
1 − cos )ln(1 +
【解1】lim
→
sin
1
= lim 2
⋅
1 = lim
→
2→
=0,
从而 + 1 < 4, 即 < 3.
sin
lim
= lim
→
( ) −1∼
−,
( )−
故 lim
= lim
→
−
→
( ) −1
( )−
= lim
=.
−
→−
(充分性) 由题设可知 lim ( ) − = 0, 因此
→
( )−
( )−
( )−
lim
= lim
→−
→
−
⋅ ( )−
=
lim
→
( )−
()
=. −1
2
→
→
lim ( ′ )= lim 2 sin 2 = 0 ≠ ∞
→
→
因此当 → 0 时, ( )不是无穷大.
( )−
例15.6 设 , , 是均不为零的有限数，证明 lim
= 的充分必要
( )−
→−
条件是 lim
=.
→
−
【证明】(必要性) 由题设可知 lim ( ) − = 0, 所以当 → 时,
满足 lim = , 使得 lim ( ) = ∞.
→
→
( )为 → 过程中的无穷大量 ⇔ ∀{ } ( ≠ , = 1,2, ⋯ ) ,
满足 lim = , 都有 lim ( ) = ∞.
→
→
11 例15.5 证明函数 ( ) = sin 在区间 0,1 上无界, 但当 → 0 时, ( )不
是无穷大.
( ) = sin ∼ ,
ℎ( ) = − 1 ∼ ,
( ) = ( ( )), ( ) = (ℎ( )),
2< +1<4 1< <3
因此可得正整数 的值为2 .
11 例15.5 证明函数 ( ) = sin 在区间 0,1 上无界, 但当 → 0 时, ( )不
是无穷大.
【分析】 ( )为 → 过程中的无界量 ⇔ ∃{ } ( ≠ , = 1,2, ⋯ ) ,
是无穷大.
【分析】 ( )为 → 过程中的无穷大量 ⇔ ∀{ } ( ≠ , = 1,2, ⋯ ) ,
满足 lim = , 都有 lim ( ) = ∞.
→
→
只需找到一个数列 { } (0 < < 1, = 1,2, ⋯ ) ,满足 lim = 0,
→
使得 lim ( ) ≠ ∞.
→
11 例15.5 证明函数 ( ) = sin 在区间 0,1 上无界, 但当 → 0 时, ( )不
.
→
ln(1 + )
1
tan
【解】(1) lim
− sin
tan
= lim
⋅ (1 − cos )
= lim
⋅2
1 =.
→ sin
→
sin
→
2
−
(2) lim
= lim
→
ln(1 + ) →
−1 ln(1 + )
1
sin2
= lim
− 2sin
−2sin
= lim
(1 − cos )
−2
= lim
⋅2
1 =.
→ sin
→
sin
→
2
−
(2) lim
= lim
→
ln(1 + ) →
−1 ln(1 + )
= lim
→
⋅ lim
→
=
− 1 , ∼ sin2 − 2sin ln(1 + )
∼
例15.33 用等价无穷小代换计算下列极限：
tan − sin
1 lim
;
→ sin
−
2 lim
= lim
⋅2
= −1.
→
→
→
例15.3 用等价无穷小代换计算下列极限：
tan − sin
1 lim
;
→ sin
2 lim
→
− .
ln(1 + )
【注】(1) 熟记常见的等价无穷小，利用等价无穷小代换可以简化极限计算； (2) 通常只能在乘除形式中利用等价无穷小代换, 否则容易出现错误.
如计算(1) 中极限时，直接将分子中的 tan 和 sin 替换为 ， 则会得 到错误结果. 通常的解决办法是将加、减形式变形为乘积形式后再利用等 价无穷小代换.