【常考题】高三数学下期末一模试卷及答案(1)

【常考题】高三数学下期末一模试卷及答案(1)
一、选择题
1．()22
x x
e e
f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．若复数2
1i
z =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i
B ．1−i
C ．−1+i
D ．−1−i
3．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
5．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =
c =( )
A ．3
B ．2
C 2
D ．1
6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和3
4
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A ．
12
B ．
512
C ．
14
D ．
16
7．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
A ．6500元
B ．7000元
C ．7500元
D ．8000元
8．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3
x π
=对称的函数是（ ）
A ．2sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
C ．2sin 23x y π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
D ．2sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
9．对于不等式2n n +<n+1(n∈N *
),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时,211+<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,即2k k +<k+1. 那么当n=k+1
时,()()
()2
22
2(k 1)k 1k 3k 2k
3k 2k 2(k 2)+++=
++<
++++=+=(k+1)+1,
所以当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确
C ．归纳假设不正确
D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确
10．设集合，，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．在如图的平面图形中，已知
1,2,120OM ON MON ==∠=o ,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v 则·BC OM u u u vu u u u v
的值为
A ．15-
B ．9-
C ．6-
D ．0
12．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
二、填空题
13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23
π
的扇形，则此圆锥的高为________cm .
14．若9
()a x x
-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．
15．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则
ABC V 的面积为______．
16．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在
线段BC 和CD 上,且21,,36
BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r
的值为 ．
17．设函数2
1()ln 2
f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________. 18．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝13
5
，则 2tan ＝α ________. 19．(
)sin 5013tan10
+=o
o
________________.
20．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
三、解答题
21．已知直线352:{1
32
x t l y t
=+
=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点
的直角坐标为3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值.
22．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用
A 和
B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：
(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；
(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
23．选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||1|f x x x =-++.
（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围； （2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围.
24．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，）
，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）
在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
25．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,
3
AC BC B C ACB π
==∠=
（I ）求证：1//QB 平面11A ACC （Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.
26．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单
位：元/千克)满足关系式
，其中
，为常数，已知销售价
格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；
(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】
由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()2
2x x
e e
f x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22
x x
e e
f x x x --=+-为奇函数，排除D 选项
根据解析式分母不为0可知,定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．
2．B
解析：B 【解析】 试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)
z z +=
==+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.
3．A
解析：A
【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x 坐标相同，而y 、z 坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 考点：空间两点间的距离.
4．A
【解析】 【分析】
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】
由题意得x 3的系数为31
4424812C C +=+=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
5．B
解析：B 【解析】
1sin A ===cos A =
,
所以2
22122
c c =
+-，整理得2
320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0
30,60A C B ===不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.
当求出cos A =
00
30,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.
6．B
解析：B 【解析】
记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，
即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况， 则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=2 3×14+13×34=512
故选B.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可． 【详解】
设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ． 【点睛】
本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．
解析：B 【解析】 【分析】
首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的周期为
2412
T π
π==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 【详解】
先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的周期为
2412
T π
π==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值为0,2,3,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B . 【点睛】
本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下： 在（2）中假设n k = 时有21k k k +<+ 成立，即2(1)(1)(1)1k k k +++<++成立，即1n k =+时成立，故选D ． 点睛：数学归纳法证明中需注意的事项
(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．
(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.
10．B
解析：B 【解析】 试题分析：集合
，故选B.
考点：集合的交集运算.
11．C
解析：C 【解析】
分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，
由2,2BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v
可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()
33BC MN ON OM ==-u u u v u u u u v u u u v u u u u v ，
由题意可知：
22
11OM ==u u u u v ，12cos1201OM ON o
u u u u v u u u v ⋅=⨯⨯=-，
结合数量积的运算法则可得：
()
2
333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v .
本题选择C 选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
12．B
解析：B 【解析】
设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（）
，2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,
2a b b a =-⎧⇒⎨
=-⎩ 1b ⇒=- ，故选B. 二、填空题
13．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为 42
【解析】 【分析】
设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r -，即得此圆锥高的值．
【详解】
设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，
因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为2
3
π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=
⨯= ,解之得23
r =， 因此,此圆锥的高2
2
2
2
242cm 332h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
，
故答案为:2
3
． 【点睛】
本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．
14．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二
解析：1 【解析】 【分析】
先求出二项式9
()a x x
-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得
展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】
9()a x x -展开式的的通项为()992199r
r
r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令9233r r -=⇒=，
9()a x x
-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，
故答案为1. 【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考
查二项展开式的通项公式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
15．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定
【解析】 【分析】
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】
2b =Q ，3c =，2C B =，
∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23
sin sin B C
=，可得：
233sin sin22sin cos B B B B
==，
∴可得：3cos 4B =
，可得：sin 4
B ==，
∴可得：sin sin22sin cos C B B B ===，21
cos cos22cos 18C B B ==-=，
()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=+=
，
11sin 2322S bc A ∴=
=⨯⨯=
．
故答案为：16
． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
16．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积 解析：
29
18
【解析】
在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()
AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积.
17．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：
【解析】
试题分析：()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x +∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x
+-=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x
单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a
=-.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a
-
>，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 18．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同
解析：－
34 【解析】
因为
3sin sin αα＝()2sin sin ααα+ ＝22sin cos cos sin sin ααααα
+ ＝()22221sin cos cos sin sin αααα
α+-
＝24sin cos sin sin αααα
- ＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1
＝135，所以cos 2α＝45
. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－
35，tan 2α＝－34. 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
19．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1
【解析】
【分析】
利用弦化切的运算技巧得出()cos10sin 50cos 0sin 5011an10++=⋅o o
o
o o o ，然后利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果.
【详解】 原式
()2sin 1030sin50
cos102sin 40cos 40sin50cos10cos10cos10++=⋅==o o o o o o o o o o o
()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10
-====o o o o
o o o . 故答案为：1.
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.
20．y=sinx （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f （x ）>f （0）且（02］上是减函数详解：令则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（02］都成立但f （x ）在［02］上不
解析：y =sin x （答案不唯一）
【解析】
分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.
详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =⎧=⎨-∈⎩
，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.
又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.
点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.
三、解答题
21．（1）
；（2）.
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）在方程=2cos ρθ两边同乘以极径ρ可得2=2cos ρρθ，再根据222=,cos x y x ρρθ+=，代入整理即得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到MA MB ⋅的值.
试题解析：（1）=2cos ρθ等价于2=2cos ρρθ①
将222
=,cos x y x ρρθ+=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为 2220x y x +-=，②
（2）将352132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入②得253180t t ++=， 设这个方程的两个实根分别为12,,t t
则由参数t 的几何意义既知，1218MA MB t t ⋅==.
考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.
22．（1）
12； （2）40； （3）选B 款订餐软件. 【解析】
【分析】
⑴运用列举法给出所有情况，求出结果
⑵由众数结合题意求出平均数
⑶分别计算出使用A 款订餐、使用B 款订餐的平均数进行比较，从而判定
【详解】
（1）使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e
从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.
{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{}{},,c d c e 甲，甲，,{},d e 甲，,{},,a b c ,{},,a b d ,{},,a b e ,{},,a c d ,{},,a c e ,{},,a d e ,{},,b c d ,{},,b c e ,{},,b d e ,{},,c d e .
甲商家被抽到的情况如下：共10种．
{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{},c d 甲，,{},c e 甲，,{},d e 甲，
记事件A 为甲商家被抽到，则()101202
P A ==. （2）依题意可得，使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为 150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=.
（3）使用B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为
150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<
所以选B 款订餐软件．
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题．
23．（1）min ()3f x =，此时x ∈[]1,2-（2）()1,2-
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值不等式公式进行求解；
（2）集合(){}10x f x ax R +-=表示x R ∀∈，()1f x ax >-+，令()1g x ax =-+， 根据几何意义可得()y f x =的图像恒在()y g x =图像上方，数形结合解决问题.
【详解】
解（1）因为()()21213x x x x -++≥--+=，
当且仅当()()210x x -+≤，即12x -≤≤时，上式“=”成立，
故函数()21f x x x =++-的最小值为3，
且()f x 取最小值时x 的取值范围是[]1,2-.
（2）因为(){}
10x f x ax R +-=，
所以x R ∀∈，()1f x ax >-+. 函数()21f x x x =-++化为()21,13,1221,2x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩
.
令()1g x ax =-+，
其图像为过点()0,1P ，斜率为a -的一条直线.
如图，()2,3A ，()1,3B -.
则直线PA 的斜率131120k -=
=-， 直线PB 的斜率231210
k -==---. 因为()()f x g x >，所以21a -<-<，即12a -<<，
所以a 的范围为()1,2-.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题，不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究，数形结合可以将抽象的问题变得更为直观，解题时应灵活运用.
24．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.
【解析】
【分析】
(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.
【详解】
(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．
(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩
, ∴点A 的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，
∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |()()22
200222-++= ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．
【点睛】
本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.
25．（1）详见解析；（2431. 【解析】
【分析】
（1）连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ，则四边形11A ACC 是正方形，点M 是1AC 的中点，推导出四边形11B C MQ 是平行四边形，从而11B Q C M P ，由此能证明1B Q P 平面11A ACC ．
（2）以C 为原点，CB ，1CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A BB C --的平面角的余弦值．
【详解】
证明：（1）如图所示，连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ．
因为四边形11A ACC 是正方形，所以点M 是1AC 的中点，
又已知点Q 是1A B 的中点，所以MQ BC P ，且1
2
MQ BC =， 又因为11B C BC ∥，且112BC B C =，所以11MQ B C P ，且11MQ B C =，
所以四边形11B C MQ 是平行四边形，故11B Q C M P ，
因1B Q ⊄平面11A ACC ，1C M ⊂平面11A ACC ， 故1B Q P 平面11A ACC ．
（2）如图所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设1122AC BC B C ===，
则)3,1,0A -，)13,1,2A -，()0,2,0B ，()10,1,2B ，
所以()113,2,0B A =-u u u u r ，()10,1,2B B =-u u u r ．
设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z =u r ，
则111·0·0m B A m B B ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u v v u u u v v 即32020x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取4x =，则(4,23,3m =u r 平面1CBB 的一个法向量()1,0,0n =r ，所以431cos ,31m n m n m n ===u r r u r r g u r r g ． 故二面角11A BB C --431．
【点睛】
线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
26．(1)因为时，所以；
(2)由(1)知该商品每日的销售量
，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363
f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x =函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，
所以当
时函数取得最大值 答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 【解析】
(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入
,解关于a 的方程即可求a..
(2)在（1）的基础上，列出利润关于x 的函数关系式，
利润=销售量⨯（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可.。