微分几何 陈维桓 第四章讲稿.

目录
第四章曲面的第二基本形式 (50)
§ 4.1 第二基本形式 (50)
§ 4.2 法曲率 (52)
§ 4.3 Weingarten映射和主曲率 (55)
一、Gauss映射和Weingarten变换 (55)
二、主曲率和主方向 (55)
§ 4.4 主方向和主曲率的计算 (57)
一、Gauss曲率和平均曲率 (57)
二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵 (59)
三、第三基本形式 (61)
§ 4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开 (61)
§ 4.6 某些特殊曲面 (64)
一、Gauss曲率K为常数的旋转曲面 (65)
二、旋转极小曲面 (66)
第四章 曲面的第二基本形式
本章内容：第二基本形式，法曲率，Gauss 映射和Weingarten 变换，主方向与主曲率，Dupin 标形，某些特殊曲面
计划学时：12学时，含习题课3学时.
难点：主方向与主曲率
§ 4.1 第二基本形式
设:(,)S r r u v =为正则曲面，(,)n n u v =是单位法向量. 向量函数(,)r u v 的一阶微分为
u v dr r du r dv =+，
二阶微分为
()222222u v u v uu uv vv d r d r du r dv r d u r d v r du r dudv r dv =+=++++.
由于0dr n ⋅=，再微分一次，得2
d r n dr dn ⋅=-⋅.
定义 二次微分式 222II 2d r n dr dn Ldu Mdudv Ndv =⋅=-⋅=++ (1.6)
称为曲面S 的第二基本形式(second fundamental form)，其中
uu u u L r n r n =⋅=-⋅，uv u v v u M r n r n r n =⋅=-⋅=-⋅，vv v v N r n r n =⋅=-⋅ (1.4-5) 称为曲面S 的第二类基本量. 第二基本形式的几何意义：刻划了曲面偏离切平面的程度，也就是曲面的弯曲程度 由微分的形式不变性可知第二基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，而在改变定向的参数变换下会相差一个符号. 但是，在参数变换下第二类基本量,,L M N 一般都会改变.
第二基本形式与空间坐标系的选取无关.
对曲面:(,)S r r u v =作参数变换
(,),(,)u u u v v v u v == (1.7)
在新的参数下，
(,)n u v (,r u u v +∆(,)
r u v r ∆
u u v u v r r r u u ∂∂=+∂∂，v u v u v r r r v v ∂∂=+∂∂. 因此
(,)(,)u v u v u v u v u v u v r r r r r r u v v u u v ∂∂∂∂∂⎛⎫⨯=-⨯=⨯ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭
. (1.10) 当(,)0(,)u v u v ∂>∂时，n n =，从而II ,,II dr dn dr dn =-=-=；当(,)0(,)
u v u v ∂<∂时，n n =-，从而II ,,II dr dn dr dn =-==-. 在保持定向的参数变换下，第二类基本量有和第一类基本量相同的变化规律. 事实上，记参数变换(1.7)的Jacobi 矩阵为
u v u u u v v v J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则 ()()(),,,u v u u u v v v du dv du dv du dv J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪
⎝⎭
. (1.14) 从而
T II (,)(,)(,)II L M du L M du du L M du dv du dv J J du dv M N dv M N dv dv M N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭， 即有
T L M L M J J M N M N ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. (1.13)
例 求平面(,,0)r u v =和圆柱面()cos ,sin ,u u a a r a a v =的第二基本形式. 解. (1) 对平面，(1,0,0)(0,1,0)dr du dv =+，20d r =，所以II 0=.
(2) 对圆柱面，()sin ,cos ,0u u u a a r =-，()0,0,1v r =，()cos ,sin ,0u u u v a a n r r =⨯=. 因此 ()11sin ,cos ,0u u u a
a
a a dn du r du =-=， ()()211II u v u a a dr dn r du r dv r du du =-⋅=-+⋅=-. □ 定理1.1 正则曲面S 是平面(或平面的一部分)，当且仅当S 的第二基本形式II 0≡.
证明 “⇒”平面S 的单位法向量n 是常向量，故II 0dr dn =-⋅=.
“⇐” 由0u n n ⋅=，0u u n r L ⋅=-=，0u v n r M ⋅=-=得0u n =. 同理有0v n =. 所以0n n =是常向量. 于是0()0dr n d r n ⋅=⋅=. 故0r n C ⋅=. □
定理1.2正则曲面S 是球面(或球面的一部分)，当且仅当S 的第二基本形式是第一基本形式的非零倍数：II I λ≡，其中(,)u v λλ=是非零函数. 证明 “⇒”不妨设球心为原点，半径为a . 则22r a =，0r dr ⋅=，1a n r =. 从而
211II I a a dr dn dr =-⋅=-=-.
“⇐”由条件，L E λ=，M F λ=，N G λ=(因为,du dv 是独立的变量). 所以 ()0u u u n r r L E λλ+⋅=-+=，()0u u v n r r M F λλ+⋅=-+=.
又()0u u n r n λ+⋅=. 故
u u n r λ=-. (1)
同理有
v v n r λ=-. (2)
因为S 是三次以上连续可微的，uv vu n n =. 于是
v u uv uv vu u v vu r r n n r r λλλλ--===--，
即有v u u v r r λλ=. 由于,u v r r 线性无关，0,0u v λλ==. 故λ是非零常数. 由(1)和(2)得
()0u n r λ+=，()0v n r λ+=. 所以110()n r n r r λλλ+=+=是常向量. 从而S 上的点满足球面方程
2210()r r λ-=. □
课外作业：习题1(1,4,5)，2(3)，3，6
§ 4.2 法曲率
设:(),()C u u s v v s ==是曲面:(,)S r r u v =上过点p 的一条正则曲线，s 是C 的弧长参数，00(,)((0),(0))u v u v =为p 点的曲纹坐标. 则C 的单位切向量为 du dv u v ds ds dr
ds r r r α===+. (2.3) 根据Frenet 公式，C 的曲率向量 22222222()2()d r d u
d v
du du dv dv u v uu uv vv ds
ds ds ds ds ds ds r r r r r κβα===++++， (2.4) 其中κ是C 的曲率. 设n 为S 的单位法向量，(,)n θβ=∠，则cos n θβ=⋅. 定义 函数
000000(,,,):(0)cos (0)(0)(,)(0)(,)n n u v du dv n u v r n u v κκκθκβ===⋅=⋅ (2.6) 22000000(,)()2(,)(,)()du du dv dv ds ds ds ds
L u v M u v N u v =++ (2.5) 称为曲面S 在p 点沿着切方向(,)du dv (即dr )的法曲率(normal curvature).
注 曲面上所有在p 点相切的曲线在p 点有相同的法曲率，并且在p 点这些曲线的曲率中心位于垂直于切方向的平面(C 的法平面∏)内的一个直径为1/||n κ的圆周上：曲率中心为 11((0),(0))(0)((0),(0))cos (0)(0)c r u v r u v βθβκκ=+=+. β
α∏
n π
沿着曲线C ，有dr rds =. 由于s 是弧长参数，因此在p 点成立
222000000(,)2(,)(,)ds dr dr E u v du F u v dudv G u v dv =⋅=++.
定义2.1 在曲面S 上对应于参数(,)u v 的点p 处，沿着切方向(,)du dv 的法曲率为
22222II (,,,)2I
n n Ldu Mdudv Ndv u v du dv Edu Fdudv Gdv κκ++===++. (2.8) 注 法曲率除了与点p 有关，还与切方向即比值:du dv 有关. 但是与切向量dr 的大小无关. 上面的定义不要求以dr 为切向量的曲线C 以弧长s 为参数.
定义 曲面S 上过p 点的一个切方向(,)du dv 与p 点的法线确定的平面π称为由切方向(,)du dv 确定的法截面. 法截面π与曲面S 的交线称为该点的一条法截线.
定理2.1 曲面S 在(,)u v 点，沿切方向(,)du dv 的法曲率n κ等于该切方向确定的法截线C 在相应的有向法截面π(以dr n ⨯为平面π的定向)中的相对曲率，即有n r κκ=.
证明 设该点是000(,)r r u v =，沿切方向(,)du dv 的单位切向量为000(,)()|u v u v r du r dv α=+，在00(,)u v 点的单位法向量为000(,)n n u v =. 则法截面的定向是00n α⨯，从而法截线C 的弧长参数方程为
000()()()r s r x s y s n α=++，
其中(0)(0)0x y ==. 因为00(0)(0)(0)r x y n α=+是S 的切向量，0(0)(0)0y r n =⋅=. 从而(0)1x =. 因此0(0)r α=是由(,)du dv 确定的切方向. 由定义，沿切方向(,)du dv 的法曲率
0000(0)[(0)(0)](0)n r n x y n n y κα=⋅=+⋅=.
另一方面，法截线C 在该点的相对曲率
(0)(0)(0)(0)(0)r x y x y y κ=-=.
所以有n r κκ=. □
例 (1) 平面的法曲率.
在平面S 上，II 0≡. 所以在任意点p S ∈，沿任意切方向(,)du dv ，都有法曲率0n κ=.
(2) 圆柱面()cos ,sin ,u u a a r a a v =的法曲率.
对圆柱面，由上一节的例，22I du dv =+，21II a du =-，所以2
22()du n a du dv κ+=-. (3) 球面()2
():cos cos ,cos sin ,sin S a r a u v a u v a u =的法曲率. 由定理1.2，1II I a =-. 所以1n a κ=-是非零常数. □
定理2.2 在曲面S 上任意一点p 处，法曲率必定在两个彼此正交的切方向上分别取到最大值和最小值.
证明 在固定点p ，,,,,,E F G L M N 都是常数，法曲率n κ仅与比值:du dv 有关. 取p 点邻近的正交参数网. 则任意单位切向量p dr T S ∈，可以写成
12cos sin u v dr r du r dv e e θθ=+=+，
其中 1112,u v E G e r e r =
=
，1(,)dr e θ=∠ 即 1
1cos ,sin du dv θθ=
=.
沿着切方向:du dv 的法曲率
22()cos sin sin
n n L N E G κκθθθθθ==
++ ()θ∈ 是上的连续可微周期函数，必定在闭区间[0,2]π上取到最大值和最小值.
如果n κ是常值函数，则n κ在任意两个彼此正交的切方向上分别取到最大值和最小值. 设()n κθ不是常值函数，则它的最大值和最小值不相等. 通过对曲面作参数变换
00cos sin u u v θθ=-，00sin cos v u v θθ=+，
不妨设在0θ=处()n κθ取到最大值(0)/n L E κ=. 由于
()sin 22
n
N L G E κθθθ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，(0)0n κ'==， 并且/(/2)(0)/n n N G L E κπκ=≤=，有 222()cos sin cos n L N N L N N E G G E G G
κθθθθ⎛⎫=
+=+-≥ ⎪⎝⎭. 所以()n κθ在/2θπ=±处取到最小值/N G . □ 定义2.2在曲面S 上一个固定点p 处，法曲率取最大值和最小值的切方向称为曲面S 在该点的主方向(principal direction)，相应的法曲率称为S 在该点的主曲率(principal curvature).
注 由上面的推导过程可知，如果在p 点n κ不是常值函数，()()sin2N L n
G E κθθ'=-在闭区间[0,2]π上只有4个零点，所以在p 点n κ只有两个主曲率1/L E κ=，2/N G κ=. 于是有下面的
Euler 公式： 2212()cos sin n κθκθκθ=+，
其中(,)u dr r θ=∠，12κκ>，并且12()n κκθκ≥≥.
定义 2.3 (1) 在曲面S 上一点，使法曲率为零的切方向(,)du dv 称为该点的一个渐近方向(asymptotic direction).
(2) 设C 是曲面S 上的一条曲线. 若C 上每一点的切向量都是曲面在该点的渐近方向，则称C 是曲面S 上的一条渐近曲线(asymptotic curve).
在一点(,)u v 处，渐近方向(,)du dv 是二次方程
22
20Ldu Mdudv Ndv ++= (2.5)
的解. 当20LN M -<时，有两个实渐近方向
2::du dv M L N M M LN =-±=--
当20LN M -=时，只有一个实渐近方向:::du dv M L N M =-=-；当20LN M ->时，没
有实渐近方向.
让(,)u v 变动，则(2.5)就是渐近曲线的微分方程. 如果在曲面上每一点，2
0LN M -<，则曲面上存在两个处处线性无关的渐近方向向量场. 根据第三章定理4.1，在曲面上有由渐近曲线构成的参数曲线网，称为渐近线网.
定理2.3 参数曲线网是渐近线网的充分必要条件是：0L N ==.
证明 “⇒” 在u -曲线上0,0dv du =≠. 由(2.5)得0L =. 同理可得0N =.
“⇐” (2.5)现在成为0Mdudv =. 因此u -曲线和v -曲线都是渐近曲线. □
定理 2.4 设C 是曲面S 上的一条曲线. 则C 是渐近线，当且仅当C 是直线，或C 的密切平面与曲面的切平面重合.
证明 由公式cos (,)n n κκβ=∠可得. □
课外作业：习题1，4，7.
§ 4.3 Weingarten 映射和主曲率
一、Gauss 映射和Weingarten 变换
设:(,)S r r u v =(2(,)u v ∈Ω⊂)是一个正则曲面，(,)n n u v =是它的单位法向量. 向量
函数(,)n u v 定义了一个映射2::(,)(,)n S u v n u v Ω→，其中2S 是3E 中的单位球面. 因为
空间3E 中的点与它的位置向量是一一对应的，映射n 诱导了映射 12::(,)
((,))(,)g n r S S r u v g r u v n u v -=→=. (3.1) 这个映射2:g S S →称为Gauss 映射. 注意Gauss 映射的象不一定是2S 的一个区域.
Gauss 映射g 的切映射2():p g p g T S T S *→是一个线性映射，满足()g dr dn *=，即
()u v u v g r du r du n du n dv *+=+，p dr T S ∀∈，p S ∀∈. (3.2)
特别有
()u u g r n *=，()v v g r n *=. (3.4)
因为(,)n u v 同时也是2()g p T S 的法向量，S 在(,)p u v 点的切平面与2
S 在()g p 点的切平面是平行的，从而在自由向量的意义下可将2()g p T S 与p T S 等同.
定义 线性映射2
():p p g p W g T S T S T S *=-→≡称为曲面S 在p 点的Weingarten 变换(Weingarten transformation).
事实上，因为0u v n n n n ⋅=⋅=，所以,u u p n n T S ∈. 由定义可知，
()()()u v u v p W dr W r du r dv dn n du n dv T S =+=-=-+∈，p dr T S ∀∈. (3.5)
二、主曲率和主方向
定理3.1 II ()W dr dr =⋅. □
定理3.2 相对于切空间的内积，Weingarten 变换:p p W T S T S →是自共轭(对称)的，即
()()W dr r dr W r δδ⋅=⋅，,p dr r T S δ∀∈.
2⊂(,)n u v (,)
n u v 11(,)n u v 11(,)n u v g r
n
证明 ()()()u v u v W dr r dn r n du n dv r u r v δδδδ⋅=-⋅=-+⋅+
Ldu u Mdu v Mdv u Ndv v δδδδ=+++
()()()()u v u v r du r dv n u n v dr n dr W r δδδδ=-+⋅+=⋅-=⋅. □
根据线性变换理论，Weingarten 变换W 的2个特征值12,λλ都是实的(这2个特征值可能相等).
设12,p X X T S ∈分别是从属于它们的特征向量，即111()W X X λ=，
222()W X X λ=. 当12λλ≠时，12,X X 所确定的切方向:du dv 和:u v δδ是唯一的，且相互正交. 当12λλ=时，p T S 中的任何非零向量都是特征向量. 因此仍然有两个相互正交的特征方向.
定理3.3在曲面S 上任意一点p 处，W 的2个特征值12,λλ正好是曲面S 在p 点的主曲率，对应的特征方向是曲面S 在p 点的主方向.
证明 取p T S 的由W 的特征向量构成的单位正交基{}12,e e ，使得
111()W e e λ=，222()W e e λ=， (3.12)
并设12λλ≥.
对任意一个单位切向量p e T S ∈，可设
12cos sin e e e θθ=+. (3.13)
则有
121122()cos ()sin ()cos sin W e W e W e e e θθλθλθ=+=+. (3.14)
于是沿切方向e 的法曲率为
2211221212II ()()I (cos sin )(cos sin )cos sin .
n n W e e e e
e e e e κκθλθλθθθλθλθ⋅===⋅=+⋅+=+ 由12λλ≥可知
2222121121()cos ()()sin n λλλλθκθλλλθλ≤+-==--≤，
并且()n κθ在0θ=时取最大值1λ，在/2θπ=时取最小值2λ. 所以12,λλ就是曲面S 在p 点的主曲率12,κκ，相应的切方向12,e e 就是主方向. □
注1 由定理可知沿特征方向:du dv 的法曲率n κ就是对应于特征向量dr 的特征值：
II ()()I n W dr dr dr dr dr dr dr dr
λκλ⋅⋅====⋅⋅. 注2 曲面S 在每一点p 有2个主曲率12,κκ. 当12κκ≠时，只有2个主方向，它们相互正交. 此时可取2个单位特征向量12,e e . 当12κκ=时，任何方向都是主方向. 此时可任取2个正交的单位特征向量12,e e .
定理3.4(Euler 公式) 设{}12,e e 是p 点的2个正交的单位特征向量，对应的主曲率为12,κκ.则对任意单位切向量12cos sin p X e e T S θθ=+∈，沿着X 方向的法曲率为
2212()cos sin n κθκθκθ=+. (3.15)
在曲面S 上一点p 处，如果12κκλ==，则由Euler 公式可知沿任何切方向:du dv ，都有
II I
n κλ==， (3.16) 即II I λ=. 这样的点称为脐点(umbilical point). 此时在该点有
:::L E M F N G λ===. (3.17)
当0λ=时，该点称为平点(planar point)；当0λ≠时，该点称为圆点(circle point).
定理1.1和定理1.2的推论 曲面S 是平面(或其一部分)，当且仅当S 上的点都是平点；曲面S 是球面(或其一部分)，当且仅当S 上的点都是圆点.
定义3.1 设C 是曲面S 上的一条曲线. 若C 上每一点的切向量都是曲面在该点的主方向，则称C 是曲面S 上的一条曲率线(curvature line).
定理3.5(Rodriques 定理) 曲面:(,)S r r u v =上一条正则曲线:(),()C u u t v v t ==是曲率线的充分必要条件是：沿着曲线C ，()//()dn t dr t ，即((),())//((),())dn u t v t dr u t v t .
证明. 由定义，C 是曲率线，当且仅当对所有的t ，()dr t 是Weingarten 变换的特征向量，即()()()()W dr t t dr t λ=，也就是()()()()()dn t W dr t t dr t λ=-=-. □
定理3.6 曲面S 上一条曲线C 是曲率线的充分必要条件是：曲面S 的沿着曲线C 的法线构成可展曲面.
证明. 对曲面S 上任意一条曲线C ，曲面S 的沿着曲线C 的法线构成直纹面
1:(,)((),())((),())S X X s t r u s v s t n u s v s ==+，
其中s 是C 的弧长参数. 由于()()r s s α=和()n s 是相互正交的单位向量，从而是线性无关的. 1S 是可展曲面⇔()(),(),()0s n s n s α'≡
⇔()()()()()n s s s s n s λαμ'=+.
上式两边与()n t 作内积可得()0s μ=，从而上式等价于
()()()n s s s λα'=，
这正好是曲线C 是曲率线的充分必要条件. □
例3.1 求旋转面上的曲率线.
解 设旋转面的方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =. 其中()0f v >，并且v 是经
线的弧长参数，221f g ''+=. 则
()sin ,cos ,0u r f u u =-，()cos ,sin ,v r f u f u g '''=，
()cos ,sin ,u v r r f g u g u f '''⨯=-，()cos ,sin ,n g u g u f '''=-.
由于
()sin ,cos ,0u n g u u '=-，()cos ,sin ,v n g u g u f ''''''=-，
并且0f f
g g ''''''+=，有0v v n r ⨯=，0v v n r ⨯=. 所以u -曲线(纬线圆)和v -曲线(经线)都是曲率线. 当0g '=时，这个旋转面是平面，任何曲线都是曲率线. 当0g '≠时，1
g g f f -''''''=-. 如果f g
f g a ''''''-=是常数，即经线是圆弧，则旋转面是球面.此时任何曲线都是曲率线. □ 例3.2 求可展曲面上的曲率线.
解 设可展曲面方程为(,)()()r u v a u vl u =+. 已经知道它的单位法向量()n n u =与v 无关，沿着v -曲线(直母线)有0//v v n r =. 所以v -曲线是它的一族曲率线. 于是v -曲线的正交轨线是它的另一族曲率线. 如果可展曲面是平面，任何曲线都是曲率线. □
课外作业：习题1，4，5
§ 4.4 主方向和主曲率的计算
一、Gauss 曲率和平均曲率
设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，,,E F G 和,,L M N 分别是S 的第一、第二类基本量.
引理 设λ是(,)p u v 点的主曲率，则λ满足
0L E M F
M F N G
λλλλ--=--， (4.4) 即λ是二次方程222()(2)()0EG F LG MF NE LN M λλ---++-=的根，也就是方程
220H K λλ-+= (4.8) 的根，其中222()
LG MF NE H EG F -+=-，22LN M K EG F -=-，分别称为曲面S 的平均曲率(或中曲率) (mean curvature)和Gauss 曲率(或总曲率)(Gaussian curvature). 换句话说，
H λ=± (4.9) 证明. 设:du dv 是对应的主方向. 则有()W dr dr λ=，即
()()u v u u n du n dv r du r dv λ-+=+.
分别用,u v r r 与上式两边作内积，得
()Ldu Mdv Edu Fdv λ+=+，()Mdu Ndv Fdu Gdv λ+=+.
所以主方向:du dv 满足
()()0,()()0.
L E du M F dv M F du N G dv λλλλ-+-=⎧⎨-+-=⎩ (4.3) 由于,du dv 不全为零，可得(4.4)式. □
设12,κκ是(,)p u v 点的两个主曲率. 由根与系数的关系可得
12222LG MF NE H EG F
κκ-++==-，2122LN M K EG F κκ-==-. (4.6-7) 因此
1H κ=+，2H κ=-. (4.9)
p 点是脐点的充分必要条件是在p 点成立20H K ==.
注 方程(4.4)即(4.8)是Weingarten 变换的特征方程，在保持定向的参数变换下保持不变. 事实上，主曲率在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差一个符号. 因此平均曲率12()/2H κκ=+在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差一个符号. 而Gauss 曲率12K κκ=在参数变换下保持不变.
定理4.1 假定曲面S 是3r ≥次连续可微的. 则主曲率函数12,κκ是连续的，且在非脐点邻近是2r -次连续可微的. □
在脐点，
20K H =≥，12H κκ==. 从而由II I H =可知L HE =，M HF =，N HG =，(4.3)中的两个方程成为恒等式. 此时，任何方向都是主方向.
在非脐点，分别用1λκ=和2λκ=代入(4.3)，得到相应的主方向
1111:():()():()du dv M F L E N G M F κκκκ=---=--- (4.10) 和
2222:():()():()u v M F L E N G M F δδκκκκ=---=---. (4.11)
将(4.3)改写成
()()0,()()0.Ldu Mdv Edu Fdv Mdu Ndv Fdu Gdv λλ+-+=⎧⎨+-+=⎩
(4.12) 由于1,λ-不全为零，有
0Ldu Mdv Edu Fdv Mdu Ndv Fdu Gdv
++=++， (4.14)
即
2
2
()()()0FL EM du GL EN dudv GM FN dv -+-+-=. (4.15) 上式可写成
220dv dudv du E F G L
M
N
-=. (4.16) (4.14)或(4.15)或(4.16)就是曲面上曲率线的微分方程.
定理4.2 设p 是曲面:(,)S r r u v =上一个固定点，它的曲纹坐标为00(,)u v . 则在该点参数曲线的切方向是相互正交的主方向，当且仅当在该点有00(,)0F u v =，00(,)0M u v =. 此时，曲面S 在该点的两个主曲率分别为00100(,)(,)L u v E u v κ=
，00200(,)
(,)
N u v G u v κ=.
证明 必要性. 在00(,)p u v 点，u -曲线和v -曲线相互正交，故
000000(,)(,)(,)0u v F u v r u v r u v =⋅=. (1) 又00(,)u r u v ，00(,)v r u v 是W 的特征向量，故
()0000100(,)(,)(,)u u u n u v W r u v r u v κ-==， ()0000200(,)(,)(,)v v v n u v W r u v r u v κ-==. 分别用,u v r r 与上面两式作内积得00(,)0M u v =，并且
00100(,)(,)L u v E u v κ=
，00200(,)
(,)
N u v G u v κ=. (4.17)
充分性. 由条件，0000(,)(,)0u v r u v r u v ⋅=，即00(,)u r u v ，00(,)v r u v 相互正交. 又
00000000(,)(,)(,)(,)0u v v u n u v r u v n u v r u v ⋅=⋅=.
因此()000000(,)(,)//(,)u u u n u v W r u v r u v -=，()000000(,)(,)//(,)v v v n u v W r u v r u v -=，即
00(,)u r u v ，00(,)v r u v 是W 的特征向量. □
下面的两个定理是定理4.2的直接推论.
定理4.3 参数曲线网是正交的曲率线网的充分必要条件是0F M ==，此时
222212I ,II Edu Gdv Edu Gdv κκ=+=+. (4.18) 定理4.4 在非脐点，定理4.3中的参数曲线网局部总是存在的. □
注 若曲面S 上没有脐点，则可取正交的曲率线网作为参数曲线网. 事实上，此时由(4.10)和(4.11)可确定两个相互正交的主方向:du dv 和:u v δδ. 从而有两个相互正交的非零向量场u v dr r du r dv =+和u v r r u r v δδδ=+，它们是连续可微的. 根据第三章定理4.1，这样的参数曲线网是存在的.
若曲面S 上的点都是脐点，则曲面上任意曲线都是曲率线，此时任何正交参数曲线网都是曲率线网. 但是在孤立脐点邻近，未必有正交的曲率线网作为参数曲线网.
二、Weingarten 变换在自然基底下的矩阵
我们知道{},u v r r 是切空间p T S 的基，称为p T S 的自然基. 在这组基下，设Weingarten 变换的矩阵为
11211222a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
即
()()()11
211222,(),(),u v u v u v a a n n W r W r r r a a ⎛⎫
--==
⎪⎝⎭
， (4.19) 也就是
11122122(),().
u u u v v v u v n W r a r a r n W r a r a r -==+⎧⎨
-==+⎩ 分别用,u v r r 与上面二式作内积得
11
2112
22a a L M E F a a M N F G ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
. 因此
1
11
21212
221
a a E F L M G F L M A a a F G M N F E M N EG F --⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2
1
GL FM GM FN EM FL EN FM EG F --⎛⎫
=
⎪---⎝⎭
. (4.21) 代入(4.19)得
()()1,,u v u v E F L M W r r r r F G M N -⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()21
,u v GL FM GM FN r r EM FL EN FM EG F --⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎣
⎦. (4.22) 我们知道Weingarten 变换W 的特征多项式 ()1
0()det 0E F L M f I A F G M N λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
2
1
E F E L F M E L F M F G
F M
G N F M G N
EG F λλλλλλλλ-----=
=-----. 其中I 是单位矩阵. W 的特征值12,κκ是特征多项式()f λ的根，与基的取法无关，从而Gauss
曲率
2
122
det LN M K A EG F κκ-===-
和平均曲率
12
212trace 2
22()
LG MF NE H A EG F κκ+-+=
=
=- 与参数取法无关，是曲面的几何不变量.
Gauss 曲率K 的几何意义：从(4.19)可得
1112212211221221()()()u v u v u v u v u v n n a r a r a r a r a a a a r r Kr r ⨯=+⨯+=-⨯=⨯.
因此曲面S 上一个区域D 在Gauss 映射g 下的像()g D 的面积元素
0||||||||u v u v d n n dudv K r r dudv K d σσ=⨯=⨯=. (4.23)
所以()g D 的面积
()0()
||()g D D
A d K d g D σσ==⎰
⎰.
根据积分中值定理，存在p D ∈使得
()|()|||()()()D
A K p d K p A D g D σ==⎰.
让区域D 收缩到一点p D ∈，取极限得到
(())
|()|lim
()
D p
A g D K p A D →=. (4.25)
这个公式是曲线论中
0||()lim
lim ||s s s s s
θθ
κ∆→∆→∆∆==∆∆ 的一个推广,其中θ∆是曲线上一段由s 到s ∆的弧在切线像α下的弧长.
三、第三基本形式
定义 设(,)n u v 是曲面:(,)S r r u v =的单位法向量. 二次微分式
22III 2dn dn e du f dudv g dv =⋅=++ (4.27)
称为曲面S 的第三基本形式，其中
()()2
2
,
,u u v v e n f n n g n ==⋅=. (4.28)
注 利用Gauss 映射，第三基本形式0III I g *=，其中0I 是单位球面2
S 的第一基本形式.
定理4.5 曲面:(,)S r r u v =上的三个基本形式满足III 2II I 0H K -+=. 证明 因为Weingarten 变换W 的特征多项式为2
()2f H K λλλ=-+，所以 2
20W HW K I -+=. 其中::p p I T S T S X
X →是单位变换. 于是有
()()()()()2()()()(2)()22.
u u u u u u u u u u u e n n W r W r W r r HW KI r r H n K r r HL KE =⋅=⋅=⋅=-⋅=--⋅=-
同理可得2u v f n n HM KF =⋅=-，2u v g n n HN KG =⋅=-. □
课外作业：习题2，4，6
§ 4.5 Dupin 标形和曲面参数方程在一点的标准展开
设(,)p u v 是曲面:(,)S r r u v =上一个固定点，12,e e 是p 点的两个相互正交的单位主向量 (即Weingarten 变换的特征向量)，对应的主曲率为12,κκ. 对单位切向量12cos sin e e e θθ=+
([0,2]θπ∈)，沿该方向的法曲率为22
12()cos sin n κθκθκθ=+. 当()0n κθ≠时，在p 点的
切平面π中取一点q 使得
()12cos sin ||()|
pq e e θθκκθ=
=
+. (5.3)
p 点切平面π中这样的点q 的轨迹称为曲面S 在p 点的Dupin 标形(或标线indicatrix ).
在平面π中取直角标架{}12;,p e e , 现在来导出Dupin 标线的方程. 设轨迹上的点q 在此坐标系中的坐标为(,)x y . 则
()1212cos sin |()|
xe ye pq e e θθκθ+==
+.
因此
cos |()|n x θκθ=
，|()|
n y θκθ=. (5.4)
由Euler 公式得到
22
12sgn(())n x y κκκθ+=.
(5.5)
这就是Dupin 标线的直角坐标方程，它是平面π中的二次曲线. 如果在平面π中取极坐标系，那么Dupin 标线的极坐标方程可由(5.3)立即得到：
()ρρθ==
. (5.5)’
当p 点的Gauss 曲率120K κκ=>时，()n κθ，1κ，2κ同号，Dupin 标线(5.5)是一个椭圆
22
12||||1x y κκ+=. (5.6)
当120K κκ=<时，1κ，2κ异号，Dupin 标线(5.5)是两对共轭双曲线
22
12||||1x y κκ-=±. (5.7)
它们的公共渐近线的方向正是曲面S 在p 点的渐近方向00:cos :sin du dv θθ=.
当120K κκ==时，若1κ，2κ不全为零，Dupin 标线(5.5)是两条平行直线
x = (20κ=) 或 y =±
(10κ=). (5.8)
当p 点为平点，即
0κκ==时，Dupin 标线不存在.
定义. 设p S ∈，若()0K p >，则称p 点为曲面S 上的椭圆点；若()0K p <，则称p 点为曲面S 上的双曲点；若()0K p =，则称p 点为曲面S 上的抛物点.
下面考察曲面S 在一点p 邻近的形状. 在p 点邻近取正交参数曲线网(,)u v ，使得p 点对应的参数为(0,0)，且(0,0)u r ，(0,0)v r 是p 点的两个单位主向量. 则(0,0)(0,0)(0,0)u v n r r =⨯，
且在p 点有
(0,0)(0,0)1E G ==，(0,0)(0,0)0F M ==，1(0,0)L κ=，2(0,0)N κ=. (5.9) 以标架{}123;(0,0),(0,0),(0,0)u v p e r e r e n ===建立3E 的坐标系. 根据Taylor 公式， (,)(0,0)(0,0)(0,0)u v r u v r r u r v =++
222
12(0,0)2(0,0)(0,0)()uu uv vv r u r uv r v o ρ⎡⎤++++⎣⎦
, (5.10) 其中2v ρ=+. 由于
(0,0)0r pp ==， 31(0,0)(0,0)uu r e L κ⋅==，
3(0,0)(0,0)0uv r e M ⋅==， 32(0,0)(0,0)vv r e N κ⋅==， (5.11)
(5.10)可化为
()()()2
221
121
232(,)()()()r u v u o e v o e u
v o e ρρκκρ=++++++. (5.12)
(5.12)称为曲面S 在p 点的标准展开. 当22u v ρ=
+充分小时，我们得到S 的近似曲面S *，在
标架{}123;,,p e e e 下，S *
的参数方程为()
22
1122(,),,()r u v u v u v κκ*=+，显式方程为
22
1122()z x y κκ=+. (5.14)
直接计算可知近似曲面S *
与原曲面S 在p 点相切(即它们的切平面相同). 并且沿着p 点切
空间的任何相同的切方向，两者有相同的法曲率，即在p 点具有公共切方向的法截线有相同的曲率和相同的弯曲方向.
在椭圆点p ，近似曲面S *
是椭圆抛物面. S *
在p 点是凸的.
在双曲点p ，S *是双曲抛物面. S *在p 点不是凸的，且p 点的切平面与S *
相交成两条直线，它们是S *
上过p 点的两条渐近曲线.
在非平点的抛物点p ，S *
是抛物柱面，p 点的切平面与S *
相交成一条直线，是S *
上过p 点的渐近曲线.
在平点p ，S *
是平面. 此时，要考察曲面S 的近似形状，需要将Taylor 展式(5.10)展开到更高阶的项. 见例 5.2.
用平面1
2z =±去截近似曲面S *
，再投影到p 点的切平面上，就得到p 点的Dupin 标线.
例5.1 考察圆环面
()(cos )cos ,(cos )sin ,sin r a r u v a r u v r u =++，2
(,)u v ∈
上各种类型点的分布，其中常数,a r 满足0a r >>.
解 ()sin cos ,sin sin ,cos u r r u v u v u =--，()(cos )sin ,cos ,0v r a r u v v =+-，
()(cos )cos cos ,cos sin ,sin u v r r r a r u u v u v u ⨯=-+，()cos cos ,cos sin ,sin n u v u v u =-.
r r -cos r a r u
-+cos r a r u
+1212(cos )22(cos )
r a r u r a r u ++.
当2u π=±时，0
K =，这些点是抛物点，但不是平点
. 它们构成圆环面的上下两个圆.
将平面上一条曲线()z f x =绕着z 轴旋转，得到旋转曲面S . 它的参数方程为
()cos ,sin ,()r u v u v f u =，(,)(,)(0,2)u v a b π∈⨯， (6.1)
其中0a ≥. 它的母线是xOz 平面上的曲线：()z f x =. 则由
()cos ,sin ,()u r v v f u '=，()sin ,cos ,0v r u v u v =-.
(()()cos ,()sin ,11n f u v f u v f ''=--+，
()0,0,()uu r f u ''=，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,0vv r u v u v =--.
可得
()2
1E f '=+， 0F =，2
G u =， (6.2)
2
f L ''=
，0M =，uf N '=
(6.3)
因此参数曲线网是正交的曲率线网. 由定理4.2，主曲率为
()13/221L f E f κ''=
='+， ()2
1/2
21N f G u f κ'
=='+. 于是Gauss 曲率和平均曲率分别为 ()
2
21f f K u f '''=
'
+， ()
23/2
2(1)21f f uf H u f ''''++=
'
+. (6.4)
一、Gauss 曲率K 为常数的旋转曲面
如果K 是常数，则函数()f u 应满足
()2
211Ku f '⎡⎤'
=-⎢⎥'+⎣⎦
. (6.5)
积分得到
22
1
1C Ku f =-'
+， (6.6) 其中C 为积分常数. 即有
2
2
2
1C Ku f C Ku -+'=-.
于是
()f u =±
⎰
. (6.7)
1.若0K =，则()f u Au B =+，
其中A =，B 为积分常数. 当0A =时，S 是平面；
当0A ≠时，S 是圆锥面. 另一个0K =的旋转曲面是圆柱面()cos ,sin ,r a v a v u =，它不能写
成(6.1)的形式.
2.若0K >，令2
1
a K =
(0a >). 则由(6.6)可知0C >. 设2
C b =(0b >). (6.7)化为
()f u du =±. (6.9)
若2
1b =，则
22()f u a u c =±=
-+. (6.10)
于是S 是由xOz 平面上的半圆弧222
()x z c a +-=(0x u =>)绕z 轴旋转而成的球面.
当2
1b >或2
01b <<时，由(6.9)定义的函数()f u 仍然存在，但旋转曲面S 不是球面，虽然
S 的Gauss 曲率也是常数2
1
a K =
.
3.若0K <，令21a K =-(0a >).则由(6.6)可知1C <
.设2
1C b =-(0b >). (6.7)可化为
()f u =±. (6.11) 若2
1b =，则
[]()ln(sec tan )sin f u a c ϕϕϕ=±=±+-+⎰， 其中arccos u a ϕ=. 不妨设积分常数0c =. 则旋转曲面S 的母线是xOz 平面上的两条曳物线
[]cos ,ln(sec tan )sin .x u a z a ϕϕϕϕ==⎧⎨=±+-⎩
(6.13)
其中0z >的一支绕z 轴旋转而得的旋转曲面S 称为伪球面，它的参数方程为 []()cos cos ,cos sin ,ln(sec tan )sin r a a a ϕθϕθϕϕϕ=+-，
(,)(0,/2)(0,2)ϕθππ∈⨯. (6.14)
当2
1b >或201b <<时，由(6.11)定义的函数()f u 给出Gauss 曲率为负常数的旋转曲面的
其他例子.
二、旋转极小曲面
平均曲率0H ≡的曲面称为极小曲面. 现在我们来研究有哪些旋转极小曲面. 由(6.4)可知函数()f u 应满足
2(1)0f f uf ''''++=. (6.16)
也就是
()
2
1
1f u f f ''=-''+. 则
()
()22
22
22
ln()ln(1)2ln 1f f f f u u f f ''''
'''⎡⎤-+=
=-=-⎣⎦''+. 积分得
222
1f C
f u '='+， (6.17)
其中积分常数0C ≥.
如果0C =，则()f u A =是常数，从而S 是平面z A =.
如果2
C a =，0a >. 则2
2211u C f u -='+，即f '=± 故
(
()ln f u a u c ⎡⎤=±=±++⎢⎥⎣⎦⎰. (6.19)
不妨设积分常数ln c a =-. 令(
ln u a
t =+. 则cosh u a t =，S 的参数方程可改
写为
()cosh cos ,cosh sin ,r a t v a t v at =，(,)(0,2)t v π∈
⨯.
这个旋转极小曲面S 称为悬链面.
用变分法可以证明，如果在所有以给定曲线C 为边界的曲面中，S 的面积达到最小值，则S 一定是极小曲面.
极小曲面是微分几何研究的重要课题之一. 一百多年来，数学家们在关于以已知曲线为边界的极小曲面的存在性的Plateau 问题，大范围极小曲面的性质，极小曲面在高维的推广方面作了大量的工作，取得了丰富的成果.
在极小曲面上，Gauss 曲率2
1210K κκκ==-≤，只有平点或双曲点. 在双曲点，2个渐进
方向是正交的. 事实上，根据Euler 公式，渐近方向与主方向的夹角θ满足cos20θ=.
著名的Bernstein 定理是说：极小图只能是平面，即习题6中的二阶偏微分方程
22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=
的定义在全平面上的解只能是线性函数.
平均曲率H为非零常数的曲面，即常平均曲率曲面，也是微分几何研究的一个重要课题.
课外作业：习题2，4，6。