全国高中数学竞赛二试模拟训练题(25)(1)

加试模拟训练题（25）
1．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△
ABC 的内心依次记
为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.
2. 设z y x ,,都是正数,而且12
2
2
=++z y x ,求
证:
y
zx
x yz z xy +
+3≥ 3. 正五边形的每一个极点对应一个整数使得这五个整数
的和为正．假设其中
三个相连极点相应的整数依次为x 、y 、z ，而中间的y ＜0，那么要进行如下的操作：整数x 、y 、z 别离换为x ＋y 、－y 、z ＋y ．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是不是如此的操作进行有限次后必然终止？
4、试证：当112<<n 时，不存在n 个持续自然数，使得它们的平方和是完全平方数. 加试模拟训练题（25）
1．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩
形.
分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易患
∠AI C B =90°+
21∠ADB =90°+2
1
∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点 共圆.
同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.现在 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21
∠ABC ， ∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21
∠ADC ，
∴∠AI C I D +∠AI C I B =360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-2
1
×180°=270°.
故∠I B I C I D =90°.
一样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形.
2. 设z y x ,,都是正数,而且12
2
2
=++z y x ,求证:
A B
C
D
I C
I D
A
I I B
A B
C
D
I C
I D
A
I I B
y
zx
x yz z xy +
+3≥ (依照前苏联第22届数学竞赛试题改编) 分析与证明: 以)(33222z y x ++=
代入原不等式可得齐次不等式:
y
zx x yz z xy ++)(3222z y x ++≥. 因为 =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++2
y zx x yz z xy )(22
22222222222z y x y x z x z y z y x +++++ 而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2
2
22222222y x z x z y z y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222222x z y z y x +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+222222y x z x z y +⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+222222y x z z y x )(2222z y x ++≥. 从而原不等式得证. 3. 正五边形的每一个极点对应一个整数使得这五个整数的和为正．假设其中三个相连极点相应的整数依次为x 、y 、z ，而中间的y ＜0，那么要进行如下的操作：整数x 、y 、z 别离换为x ＋y 、－y 、z ＋y ．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是不是如此的操作进行有限次后必然终止？第二十七届(1986年)国际数学奥林匹克题
【解】为方便计，把五个数写成一列：v 、w 、x 、y 、z ，并注意v 与z 是相邻的．不妨设y ＜0．操作后，便得v 、w 、x ＋y 、－y 、y ＋z ．它们的和未变．
考虑操作前后各项平方及每相邻两项和的平方之和(称为双平方和)的差． [v 2＋w 2＋(x ＋y)2＋(－y)2＋(y ＋z)2＋(v ＋w)2 ＋(w ＋x ＋y)2＋x 2＋z 2＋(y ＋z ＋v)2－[v 2＋w 2 ＋x 2＋y 2＋z 2＋(v ＋w)2＋(w ＋x)2＋(x ＋y)2 ＋(y ＋z)2＋(z ＋v)2] ＝2y(v ＋w ＋x ＋y ＋z)
因为y ＜0，v ＋w ＋x ＋y ＋z ＞0，故上述差为负数．这确实是说，每操作一次后，各数双平方和变小．但原先5个数的双平方和为必然值，因此这种操作进行有限次后即行停止，即5个数最后都变成正数．
另解：必然终止。

变换前后三个数和尽管不变，可是平方和变小，假设不终止，整数的平方和为0，即各整数均为零，还得终止。

注：操作进程中的不变性质和转变的性质是解决问题的关键。

4、试证：当112<<n 时，不存在n 个持续自然数，使得它们的平方和是完全平方数. 解析：设x 是非负整数.假假设结论不成立,即存在N y ∈使 ,)()2()1(2222y n x x x =++++++ 即
22)12)(1(6
1
)1(y n n n x n n nx =+++++ ①
记).12)(1(6
1
++=n n n A 那么).(mod 2n A y ≡
当9,4,3=n 时，别离由① 和.|y n 令nz y =，代入①得
即.)1(12
1)21(22
2nz n n x =-+++
把7,5=n 代入后将别离取得).7(mod 03)4(),5(mod 02)3(2
2
≡++≡++x x 但这是不可能的，故
7,5≠n .
当10,8,6=n 时,由①得222)]12(6
1
)[1(y x n n nx x n +=++
++ ② 若,6=n 那么由②知,)7(mod 022≡+y x ，由于x 的任意性，因此只能有)7(mod 40,2,1,02
≡x 因此要使
)7(mod 022≡+y x 成立,只能)7(mod 0,0≡≡y x ,于是由③知有137)12)(1(6
1
|72⨯=++n n n ,这是不可能的,
故.6≠n 同理可证.10≠n
若8=n ,那么由②可得)9(mod 620417986
1
989222≡≡⨯⨯⨯+
⨯+=+x x y x ,这是不可能的,故.8≠n 综上,命题得证.。