人教版高中数学选修2-2归纳法练习

【成才之路】2015-2016 学年高中数学 2.3 数学概括法练习
新人教 A
版选修 2-2
一、
1．(2015 海·南市文昌中学高二期中
)用数学 法 明 1 ＋
1
＋⋯＋
1
n ＋ 1 n ＋2 3n ＋ 1>1(n ∈N
＋ )，在 n ＝ 1 ，左 的代数式
(
)
A. 1＋ 1＋ 1
B.1
＋ 1
2 3
4
2 3
1
C.2
D ． 1
[答案 ] A
[分析 ]
1 ＋
1
＋⋯＋
1
＋
)中，
在
n ＋ 1 n ＋ 2 3n ＋ 1>1( n ∈ N
当 n ＝1 ， 3n ＋ 1＝ 4，
故 n ＝1 ，等式左 的 ：
1
2＋13＋ 1
4，故 A.
n ＋2
2．(2015 ·州市登封高二期中
)用数学 法 明 2
n ＋ 1
1－ a
*
，
1＋ a ＋a ＋ ⋯ ＋ a
＝ 1－ a (n ∈ N
a ≠ 1)，在 n ＝ 1 ，左 所得的
( )
A ． 1
B ． 1＋ a ＋ a 2
C ．1＋ a
D ． 1＋ a ＋ a 2＋ a 3
[答案 ] B
[分析 ]
因 当 n ＝ 1 ， a n ＋
1＝a 2，因此此 式子左 ＝ 1＋ a ＋a 2.故 B.
3． (2015 承·德市存瑞中学高二期中
)用数学 法 明
12
＋ 32
＋ 52
＋ ⋯ ＋ (2n － 1)2
＝
1
3
n(4n 2－ 1) 程中，由 n ＝ k 推到 n ＝ k ＋1
，不等式左 增添的 (
)
2
2
A ． (2k)
B ． (2k ＋ 3)
C ．(2k ＋ 2)2
D ． (2k ＋ 1)2
[答案 ] D
[分析 ]
用数学 法 明
12
＋ 32
＋ 52
＋ ⋯ ＋ (2n － 1)2
＝
1
n(4n 2－ 1)的 程中，
3 第二步，假 n ＝ k 等式建立，即
12＋ 32＋ 52＋ ⋯ ＋ (2k － 1)2
＝
1
k(4k 2－ 1)，
3
2
2
2
2 ＋ (2k ＋ 1) 2
1 2 1)＋ (2k ＋ 1) 2
那么，当 n ＝ k ＋1 ， 1 ＋ 3 ＋ 5
＋⋯ ＋ (2k － 1) ＝ k(4k － ，
3
等式左增添的是(2k＋ 1)2，故 D.
4．于不等式n2＋ n≤n＋ 1(n∈N＋ )，某学生的明程以下：
(1)当 n＝ 1 ，12＋ 1≤1＋ 1，不等式建立．
(2)假n ＝ k(k ∈N＋ ) ，不等式成立，即k2＋ k <k ＋ 1，n ＝ k ＋ 1，
k＋2＋ k＋＝ k2＋3k＋ 2<k2＋ 3k＋＋ k＋＝k＋2＝ ( k＋ 1) ＋1，
∴当 n＝ k＋ 1 ，不等式建立，上述法()
A．程全都正确
B．n＝ 1 不正确
C．假不正确
D．从 n＝ k 到 n＝ k＋ 1 的推理不正确
[答案] D
[分析 ]n＝ 1 的及假都正确，但从n＝ k 到 n＝ k＋ 1 的推理中没有使用
假，而通不等式的放法直接明，不切合数学法的要求．故 D.
nn
5．用数学法明命“当 n 是正奇数， x ＋ y 能被 x＋ y 整除”，在第二步的明
，正确的法是 ()
A ．假 n＝k( k∈N* )命建立，明 n＝ k＋ 1 命也建立
B．假 n＝ k(k 是正奇数 )命建立，明n＝ k＋1 命也建立
C．假 n＝ k(k 是正奇数 )命建立，明n＝ k＋2 命也建立
D．假 n＝2k＋ 1(k∈N)命建立，明n＝ k＋ 1 命也建立
[答案 ]C
[分析 ]∵ n 正奇数，当 n＝ k ， k 下边第一个正奇数k＋ 2，而非 k＋ 1.故
C.
6．凸 n 形有f(n)条角，凸n＋ 1 形角的条数f(n＋ 1) ()
A ． f(n)＋ n＋1B． f( n)＋n
C．f(n)＋ n－ 1D． f(n) ＋n－ 2
[答案 ]C
[分析 ]增添一个点，就增添n＋ 1－ 3 条角，此外本来的一也成了角，
故 f(n＋ 1)＝f(n)＋ 1＋ n＋ 1－ 3＝ f(n)＋ n－ 1.故 C.
7． (2014 ～2015 ·湖北要点中学高二期中考)用数学法明(n＋ 1)(n＋ 2) ⋯(n＋ n)＝2n· 1· 3⋯n－(21)(n∈N* )，从“n＝k 到n＝ k＋1”左需增乘的代数式()
A ． 2k＋ 1B． 2(2k＋ 1)
2k＋ 12k＋ 3
C. k＋ 1D．k＋ 1
[答案 ] B
[分析 ]
n ＝ k ，等式 (k ＋ 1)(k ＋2)
⋯(k ＋ k)＝ 2 k
· 1· 3·⋯·k －1)(2，
n ＝ k ＋ 1 ，等式左 (k ＋ 1＋ 1)(k ＋ 1＋ 2) ⋯(k ＋ 1＋ k ＋ 1)＝ (k ＋ 2)(k ＋ 3) ⋯ (2k) ·(2k ＋
1) ·(2k ＋ 2)，右 2
k ＋
1
· 1· 3·⋯·k －1)(2k ＋1)．左 需增乘 2(2k ＋ 1)，故 B.
二、填空
8 ． (2015 · 春外国 学校高二期中
) 察以下等式，照此 律，第
n 个等式
________________________ ．
1＝ 1
2＋3＋4＝9
3＋ 4＋5＋ 6＋ 7＝ 25
4＋ 5＋ 6＋7＋ 8＋ 9＋ 10＝ 49
⋯
[答案 ] n ＋ (n ＋1) ＋(n ＋ 2)＋ ⋯ ＋ (3n －2)＝ (2n － 1)2 [分析 ]
将原等式 形以下：
1＝ 1＝ 12
2＋ 3＋4＝ 9＝ 3
2
3＋ 4＋ 5＋ 6＋ 7＝ 25＝ 52
4＋ 5＋6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10＝49＝ 72
⋯
由 知，第
n 个等式的左 有
2n － 1 ，第一个数是
n ，是 2n － 1 个 整数的和，
最后一个数 n ＋ (2n － 1)－ 1＝ 3n － 2，右 是左 数 2n － 1 的平方，故有 n ＋
(n ＋ 1)＋ (n ＋ 2)＋ ⋯(3n －2)＝ (2n － 1)2.
9．用数学 法 明： 1－
1＋ 1－ 1＋⋯ ＋
1 － 1 ＝ 1 ＋
1
＋⋯＋
1 ，第一步
2 3
4
2n － 1 2n n ＋1 n ＋ 2
2n
的等式是 ________________ ．
[答案 ]
1－1
＝ 1
2 2
[分析 ]
当 n ＝ 1 ，等式的左
1－1＝ 1
，右 ＝
1
，∴左 ＝右 ．
2 2
2
三、解答
10．数列 { a n } 足 S n ＝ 2n － a n ( n ∈N * )．
(1) 算 a 1、 a 2、 a 3，并猜想
a n 的通 公式；
(2)用数学 法 明
(1)中的猜想．
[ 明 ]
(1)当 n ＝ 1 ， a 1＝ S 1＝ 2－ a 1，∴ a 1＝ 1；
3
当 n ＝2 ， a 1＋ a 2＝ S 2＝2×2－ a 2，∴ a 2＝2；
7当 n＝3 ， a1＋ a2＋ a3＝S3＝ 2×3－ a3，∴ a3＝4.
由此猜想 a n＝2n－ 1*
) 2n－1(n∈N
(2)明：①当n＝ 1 ， a1＝ 1 建立，
②假 n＝ k(k≥1，且 k∈N* )建立，
2k－ 1
即 a k＝2k－1，
当 n＝k＋ 1 ， a k＋1＝ S k＋1－ S k＝2(k＋ 1)－ a k＋1－ 2k＋a k＝ 2＋ a k－ a k＋1，∴ 2a k＋1＝ 2＋ a k
k ＋
1－1
∴ a k＋1＝2＋a k
＝
2
k，
22
∴当 n＝ k＋ 1 建立，于是于全部的自然数n∈N*， a n＝2n－ 1
n －1 建立．2
一、
11． (2015 ·林市中学高二期中吉) 当 n＝ 1,2,3,4,5,6，比2n和 n2的大小并猜想()
A ． n≥1 ， 2n>n2B． n≥3 ， 2n>n2
C．n≥4 ， 2n>n2D． n≥5 ，2n>n2
[答案 ]D
[分析 ]
1 2
，即 2
n2
；当 n＝ 1 ， 2 >1>n
当 n＝2 ， 22＝ 22，即 2n＝ n2；当 n＝3 ， 23<32，即 2n<n2；
当 n＝4 ， 24＝ 42，即 2n＝ n2；
当 n＝5 ， 252n 2
；>5，即 2>n
当 n＝6 ， 26>62，即 2n>n2；
⋯
猜想当 n≥5 ， 2n>n2；
下边我用数学法明猜建立，(1)当 n＝ 5 ，由以上可知猜想建立，
(2) n＝ k(k≥ 5)，命建立，即
k 2
2 >k ，
当 n＝k＋ 1 ，2k＋1＝ 2·2k>2k2＝ k2＋ k2>k2＋ (2k＋ 1)＝ (k＋ 1)2，即 n＝k＋ 1 ，命建立，由 (1)和 (2) 可得 n≥5 ， 2n>n2；
故当 n＝ 2 或 4 ，2n＝ n2；n＝ 3 ，2n<n2；n＝ 1 及 n 取大于 4 的正整数，都有 2n >n2.
故 D.
[点 ]此考的知点是整数的合用，解答此的关是从特例下手猜
研究，而后用数学 法 明猜 建立．
12． 凸 k 形的内角和 f( k)， 凸 k ＋ 1 形的内角和 f(k ＋1)＝ f(k)＋ ________.(
)
A ． 2π
B ． π
π π
C.2
D ． 3
[答案 ] B
[分析 ]
将 k ＋ 1 形 A 1A 2⋯A k A k ＋1 的 点 A 1 与 A k 相 ， 原多
形被切割 k 形 A 1 A 2 ⋯A k 与三角形 A 1A k A k ＋ 1，其内角和 f(k ＋ 1)是 k 形的内角和 f(k)与△ A 1A k A k ＋ 1 的内角和 π的和，故 B.
13． (2014～ 2015 ·揭阳一中高二期中 )用数学 法 明
3
3
3
*
“n ＋ (n ＋ 1) ＋ (n ＋ 2) (n ∈ N ) 能
被 9 整除 ”，要利用 假 n ＝ k ＋ 1
的状况，只要睁开
(
)
A ． (k ＋ 3)3
B ． (k ＋ 2)3
C ．( k ＋ 1) 3
D ． (k ＋ 1)3＋ (k ＋ 2)3
[答案 ]
A
[分析 ]
因 从 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 的 渡，增添了 (k ＋ 1)3，减少了 k 3，故利用 假 ，
只要将 (k ＋ 3)3 睁开， 明余下的 9k 2＋27k ＋ 27 能被 9 整除．
14． (2014 合·肥一六八中高二期中 ) 察以下各式：已知
a ＋
b ＝ 1， a 2＋ b 2＝3， a 3＋ b 3＝
4， a 4＋ b 4＝ 7， a 5＋ b 5＝11， ⋯ ， 猜
a 7 ＋
b 7＝ ( )
A ．26
B ． 27
C ．28
D ． 29
[答案 ] D
[分析 ] 察 ， 1＋3＝ 4,3＋ 4＝ 7,4＋ 7＝ 11,7＋ 11＝ 18,11＋18＝ 29，∴ a 7＋ b 7＝ 29.
二、填空
n ＋
12
*
) ” ，第一步的 __________ ．
15．用数学 法 明 “2 ≥n ＋ n ＋2(n ∈ N [答案 ] 当 n ＝ 1 ，左 ＝ 4，右 ＝ 4，左 ≥右，不等式建立 [分析 ]
当 n ＝ 1 ，左 ≥右，不等式建立，
∵ n ∈N * ，∴第一步的 n ＝1 的情况．
16． 随意 n ∈N *, 34 n ＋ 2＋ a 2n ＋
1 都能被 14
整除， 最小的自然数 a ＝ ________________.
[答案 ]
5
[分析 ]
当 n ＝ 1 ， 36＋a 3 能被 14 整除的数 a ＝3 或 5，当 a ＝ 3 且 n ＝3 ， 310
＋ 35 不可以被 14 整除，故 a ＝ 5.
三、解答
17．在平面内有 n 条直 ， 此中每两条直 订交于一点，
而且每三条直 都不订交于同
一点．
n2＋ n＋2
求： n 条直将它所在的平面分红个地区．
2
[明 ] (1)n＝ 2 ，两条直订交把平面分红 4 个地区，命建立．
k2＋ k＋ 2
(2)假当 n＝k(k≥ 2)， k 条直将平面分红2不一样的地区，命建立．
当 n＝ k＋ 1 ，此中的一条直l ，其他 k 条直将平面分红k2＋ k＋ 2
地区，直2
l 与其他 k 条直订交，获得k 个不一样的交点，k 个点将 l 分红 k＋1 段，每段都将它所在的地区分红两部分，故新增地区k＋ 1 ．
进而 k＋1 条直将平面分红k2＋ k＋ 2k＋2＋ k＋＋ 2 2＋ k＋ 1＝2地区．
因此 n＝ k＋ 1 命也建立．由 (1)(2) 可知，原命建立．18． (1)用数学法明：
2222
(－ 1)n
－
1 2n
－
1 n n＋*
)．
1－ 2＋3 －4＋⋯＋n＝(－1)·2(n∈N
(2)求： 12－ 22＋ 32－ 42＋⋯＋ (2n－ 1)2－ (2n)2＝－ n(2n＋1)(n∈N* )．[分析 ](1)①当 n＝1，左＝ 12＝ 1，
右＝ (－ 1)0×＋
2＝ 1，
左＝右，等式建立．
②假 n＝ k(k∈N* )，等式建立，即
2222
(－ 1)k
－
1 2
＝( －1)
k－1 k k＋
.
1－ 2＋3 －4＋⋯＋k·2当 n＝ k＋ 1 ，
2222
(－ 1)k
－
1 2
＋( －1)
k2
＝(－1)
k－1 k k＋
＋(－ 1)
k
(k＋1)
2
1－ 2＋3 －4＋⋯＋k(k＋ 1)·2
＝ (－ 1)k(k＋ 1) · k＋－k
＝ (－ 1)k·
k＋
k＋＋1]. 22
∴当 n＝ k＋ 1 ，等式也建立，
依据①、②可知，于任何n∈N*等式建立．
(2)① n＝ 1 ，左＝ 12－22＝－ 3，右＝－ 3，等式建立．
②假 n＝ k ，等式建立，即
2222222 1 － 2＋3 －4＋⋯＋ (2k－ 1) － (2k)＝－ k(2k＋ 1) .
当 n＝ k＋ 1 ， 12－ 22＋32－ 42＋⋯＋ (2k－ 1)2－ (2k)2＋ (2k＋ 1)2－ (2k＋ 2)2＝－ k(2k＋ 1)＋(2k＋1) 2－ (2k＋2)2＝－ k(2k＋ 1)－ (4k＋ 3)＝－ (2k2＋5k＋ 3)＝－ (k＋ 1)[2( k＋ 1)＋ 1]，因此 n ＝k＋ 1 ，等式也建立．
由①②得，等式任何 n∈N*都建立．。