2018版高中数学北师大版必修四学案：第一章4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2单

第一童三角函数
§4正弦函数和余弦函数的定义 与诱导公式
4. 1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4. 2单位圆与周期性
【学习目标】1•理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用 .2.掌握同角的正弦、余弦函
数值间的关系 3理解周期函数的定义.
ET 问题导学
知识点一任意角的正弦函数和余弦函数
使锐角a 的顶点与原点0重合，始边与X 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点
P , PM 丄X
若取|0P|= 1时，sin a, cos a 的值怎样表示?
梳理(1)对于任意角 a 使角a 的顶点与原点重合，始边与
X 轴的非负半轴重合，终边与单
位圆交于唯一的点 P(u ,v)，那么点P 的 _______________ 定义为角a 的正弦函数，记作 ___________ 点P 的 _____________ 定义为角a 的余弦函数，记作 __________ .
⑵对于给定的角 a 点P 的纵坐标V 、横坐标U 都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数 都是以角为
轴于 M ，设 P(x , y), |0P|= r.
思考 角a 的正弦、 余弦分别等于什么? Pg/
思考
对确定的锐角 a sin a, cos a 的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变?
THE
思考
L WII H
自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.
知识点二正弦、余弦函数的定义域
思考对于任意角a, sin a COS a都有意义吗？
梳理正弦函数、余弦函数的定义域
知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号
思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗?
梳理正弦、余弦函数在各象限的符号
知识点四周期函数
思考由sin(x+ 2k n )sin x(k€ Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？
两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的
(a , b),则对应角的三角函数值分别
梳理一般地，对于函数 f(x)，如果存在 __________________ ，对定义域内的 ____________ x 值，都 有 _____________ ，我们就把f(x)称为周期函数， ______ 称为这个函数的周期. 特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，
称2k n K € Z , k M 0)为正弦函数、余弦函数的周期，
其中2 n 是正弦函数、余弦函数正周期中 __________ 的一个，称为 _____________ ，简称为周期.
题型探究
类型一正弦函数、余弦函数定义的应用
命题角度1已知角a 终边上一点坐标求三角函数值
例1已知B 终边上一点P(x,3)(x M 0),且cos 9=曾魯，求sin B 的值.
反思与感悟
(1)已知角a 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
① 先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三 角函数值. ② 在a 的终边上任选一点 P(x , y)，设P 到原点的距离为r(r>0)，贝U sin a=十,cos a=*当已 知a 的终
边上一点求 a 的三角函数值时，用该方法更方便. ⑵当角a 的终边上点的坐标以参数形式给出时，
要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 已知角a 的终边过点 P( — 3a,4a)(a M 0)，求2sin a+ cos a 的值.
命题角度2已知角a 终边所在直线求三角函数值
3
例2 已知角a 的终边在直线y =— 3x 上，求10sin a+ —的值.
cos a
反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分
跟踪训练2 已知角a 的终边在直线y ={
3x 上，求sin a, COS a 的值. 类型二 正弦、余弦函数值符号的判断 例3 (1)若a 是第二象限角，则点 P(sin a, COS a 在( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
(2)判断下列各式的符号.
①sin 145 Cos(— 210°;② sin 3 cos 4.
反思与感悟 准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余
弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键.
跟踪训练3 若三角形的两内角 A , B ，满足sin Acos B v 0,则此三角形必为( )
A .锐角三角形
B .钝角三角形
C .直角三角形
D .以上三种情况都有可能 类型三周期性
例4 ⑴已知函数f(x)在其定义域上都满足 f(x + 2) = — f(x),求证：函数f(x)是以4为周期的
周期函数；
1
⑵已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x + 2)=—匚，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函 数.
为sin
a=
,'a 2+『
a
T,对任意定义域内实反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数
数x,都有f(x+ T)= f(x).
1
⑵一般地，如果f(x + a)=—f(x)，那么f(x)的周期为2a(a^ 0);如果f(x+ a)=厂，那么f(x) f(x)
的周期也为2a(a^ 0).
跟踪训练 4 若函数y= f(x)(x € R)满足f(x)= f(x—a) + f(x+ a)(a<0), f(2a) = 1，求f(14a)的值. ET当堂训练 ---------------------------
1 .已知角a的终边经过点(一4,3)，则COS a等于(
2 .当a为第二象限角时,
A. 1
B. 0
C. 2
D. —2
3 .设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x € (—1,0)时，f(x)= 2x+ 1，贝U fg)的值为(
A. 2
B. 0
C.—1
D. —3
4 .点P(sin 2 016 , cos 2 016 )位于第__________ 象限.
5 .已知角a的终边在直线y= 2x上，求sin a+ cos a的值.
厂-规律与育法-------------------------------- )
1.三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函
数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点.
2 .三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的
角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想.
3.正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，角函数值转化为求0〜2n或0°〜360°角的三角函数值.作用是把求任意角的三
4 3
D.
答案精析
问题导学 知识点一
思考 1 sin a=y , COS a=
X
r r'
思考2不会.
思考 3 sin a= y , cos a= x.
梳理 ⑴ 纵坐标v v = sin a 横坐标U U = COS a 知识点二
思考 由三角函数的定义可知，对于任意角 a, sin a cos a 都有意义.
知识点三
思考 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设
a 是一个任意角，它的终边与单位圆
交于点 P(u , v),贝U sin a= v , cos a= u.当 a 为第一象限角时，v>0, u>0,故 sin a >0, cos a >0, 同理可得a 在其他象限时三角函数值的符号. 知识点四
思考 2 n, 4 n, 6 n , — 2 n …等都是函数的周期. 梳理非零实数T 任意一个 f(x + T)= f(x) T 最小最小正周期
题型探究
例1 解 由题意知r =|OP|=」x 2 + 9 ,
x
由三角函数定义得cos 9= r
x
又■/ cos 9=
当 x = 1 时，P(1,3),
此时sin
当x=— 1 时，P(—1,3),
3 .'10
10
此时sin 0=
跟踪训练 1 解r =寸(一3a (4a 2 = 5|a|.
①若a>0,则r = 5a ，角a 在第二象限，
sin a=
y
4a = 4 5a = 5, x COS a= r =
一 3a "5a -
3 5,
••• 2s in a+ cos
83
②若a<0,贝U r =— 5a ，角a 在第四象限,
4a 4 一3a
3 sin a= =—匚，cos a= =~,
—5a
5
— 5a 5
8 3
• 2si n a+ cos a= — -+ -=— 1.
5 5
例2解由题意知，cos a 0. 设角a 的终边上任一点为 P(k ,— 3k)(k M 0)，则
x = k , y =— 3k , r =
k 2+ — 3k 2= 10|k|.
(1)当k>0时，r = 10k , a 是第四象限角,
y 一
3k
3航
sin a
= r = .10k = —市
1 = r = ViPk cos a X k
.10,
• 10sin a+
3
cos a
=10X —甘 + 3 .10
=—3 10+ 3 10 = 0.
⑵当k<0时，r = — .10k , a 是第二象限角,
-3 10— 3 10-0. 3 综上所述，10sin a+ -------- — 0. COS a 跟踪训练2 解因为角a 的终边在直线y - 3x 上，所以可设P(a , ,3a)(a ^ 0)为角a 终边 上任意一点， 则 r -寸a 2+(?/3a 2 - 2|a|(a z 0). 若a>0，贝U a 为第一象限角，r — 2a , 所以sin a-严一专, 2a 2
若a<0，贝U a 为第三象限角，r -— 2a , 3a 3 所以 sin a- -— —2a 2
例 3 (1)D
⑵解 ①•/ 145。

是第二象限角, /• sin 145 > 0, •/ — 210°-— 360° 150° ••• — 210°是第二象限角， ••• cos (— 210°)< 0,
• sin 145 Cos(— 210°)< 0.
sin a= r —3k _ 3y/10 -10k - 10 /• 10sin a+ 3 COS a 10X 3 jo 10 + 3X (—10)
COs a- a -1 2a - 2. cos a__
a-— 2a - 1
2.
1 r COS a - X =-.10,
n 3 n 3 n
②••• 2< 3 <n k 4V -,
-2< 5V 2% sin 3> 0, cos 4< 0, /• sin 3 cos 4<0.
跟踪训练3 B
例 4 证明 (1) •/ f(x + 4) = f[(x + 2) + 2]=— f(x + 2)
=-[—f(x)] = f(x),
•••由周期函数定义知，函数 f(x)是以4为周期的周期函数.
(2) •/ f(x + 4) = f[(x + 2) + 2]
•由周期函数定义知，函数
f(x)是以4为周期的周期函数. 跟踪训练4 解 由f(x)= f(x — a)+ f(x + a),①
得 f(x + a) = f(x) + f(x + 2 a).②
① + ②，得 f(x — a)+ f(x + 2a)= 0,
即 f(x — a) = — f(x + 2a),
• f(x) = — f(x + 3a),
即 f(x + 3a) =— f(x),
• f(x + 6a) =— f(x + 3a) = f(x).
• T = 6a 为函数y = f(x)的一个周期，
• f(14a)= f(6a x 2 + 2a) = f(2a) = 1.
当堂训练
1 . D 2.C 3.B 4•三
5.解 在直线y = 2x 上任取一点 P(X ,2X )(X M 0),
则 r =寸 2+(2x 2=/3|x|.
①若x>0,则r = 5x ,
fx + 2 =f(x),
fx
¥,
• COS a+ Sin a=3 H5 5
②若x<0,则r =—5x,
从而sin a=
2x —.5x
2、5
~5~，COS
a=
…COS a+ Sin a=—3<5 5。