现代电路理论12讲

放大器放大倍数k是分歧参数，当k >29时 出现周期振荡，振荡的周期 T2RC/ 6。式中 的 6 为特征方程式在k=29时的纯虚根的模值。
整理ppt
41
1-3 非线性电路中的拟周期现象
非线性动态电路的解除了平衡点、周期解 外，还有一种可以用解析函数表达的解，即拟 周期振荡。
系数矩阵的特征方程为
3 5 2 6 k 1 0
（1-7）
当k=29时，15,2,3j 6，有一对实部为零的共扼
复特征值。即k=29时，平衡点为非双曲平衡点；当
k<29时，1 0 ,2 ,3 a (k)jw (k)，且a(k)<0，
w(k)>0，此时平衡点为渐近稳定双曲平衡点；
整理ppt
40
当k>29时，10 ,2,3a(k)jw (k)，但a（k）＞0, 即平衡点为不稳定双曲平衡点。显然k＝29是 一个分歧点，当k从k<29增加经过k=29到k >29 时，相图的定性性质发生了质的变化。除平衡 点的移定性质变化外，还从平衡点分歧出极限 环，即产生周期振荡，这种分歧称为Hopf分歧。
9. 拓扑等价与拓扑共轭
10. 计算机模拟和电路实验
整理ppt
6
1.1 引言
非线性动态电路的稳态解有四种形式，除 了前面介绍的平衡点、周期解两种形式，另外 两种形式分别是拟周期解与混沌解。电路中的 拟周期解早已为人们所了解，但非线性电路中 的混沌解只是在近20年才为人们所认识。
整理ppt
7
长期以来，人们认为一个确定的电路中， 其解也是确定的，即在两组相近的初始条件下， 其解也是相近的。这里所谓确定的电路，是指 电路中的所有元件参数全是确定的，不包含任 何随机因素。
整理ppt
21
图1-3 静态工作点及求解电路
整理ppt
22
这种分歧称为鞍结分歧的原因如下：对
<0时，无平衡点；对 ＝0时，有一个在原 点处称为鞍结点的平衡点；对 >0时，有两个 平衡点，这两个平衡点一个是稳定结点，一个 是鞍点。
整理ppt
23
为了能清楚地表明鞍结分歧相图的变化， 考虑图1-4所示二阶电路。此电路是图1-1所示 一阶电路增加了一个RL电路，仍设非线性电阻 的伏安特性为i＝v2，以电容电压和电感电流为 状态变量列出状态方程：
点x1 = 0和x2= 。容易判定，x1=0的平衡点是稳 定的。x2= 的平衡点是不稳定的；当 ＝0时， 仅有一个稳定平衡点；当 >0时，与 <0时相
同，有两个平衡点。但平衡点的稳定性质发生
了转换，x1=0变成了不稳定平衡点，x2＝是稳 定的平衡点。在 =0的邻域内 发生变化时，
会导致平衡点的个数和稳定性发生变化，因此，
整理ppt
11
1.2 非线性电路的分岔
当电路参数发生改变，特别是微小的改 变时，就能引起电路的解或相图发生质的变化。 这种现象在非线性动力学理论中称为分歧。能 引起解发生质的变化的参数称为分歧参数，产 生质的变化的参数值称之为分歧点。
在特定的非线性电路中，电阻、电容、电 感、放大器的放大倍数等都可能是分歧参数。
1. 非线性电路中的混沌现象
引言 非线性电路的分岔 非线性电路中的拟周期现象 非线性电路中的混沌现象
2. 混沌及其特征
引言 混沌的定义 李亚普诺夫指数 混沌产生的机理与条件
3. Lorenz系统
梅利尼科夫方法 RLC串联电路中的混沌
整理ppt
4
5. 席尼尔科夫定理及其应用
席尼尔科夫定理 席尼尔科夫意义下的混沌电路——考毕兹振荡器
整理ppt
13
静态分歧又可以分为平衡点的鞍结分歧、 跨临界分歧、叉式分歧等等。
动态分歧可以分为霍普夫分歧、闭轨分歧、 环面分歧、同宿或异宿分歧等等。
下面以几个典型的例子来讨论分歧现象。
整理ppt
14
首先应注意的是，无论是静态分歧或者是 动态分歧中的霍普夫(Hopf )分歧，只有平衡点 是非双曲平衡点时，才会有分歧现象发生。
出状态方程
dv 1 dt
1 RC
(2v1
v2
v0
)
dv 2 dt
1 RC
(v1 2v2 v3 )
dv 3 dt
1 RC
(v2
整v理3p)pt
（1-5）
37
图1-11 滞后移相振荡电路
整理ppt
38
将放大器的转移特性代入上式，并令 t 将 RC
时间归一化后，有
dv 1 d
2v1
v2
(2) 高金峰. 非线性电路与混沌. 北京：科学出版社. 2005 (3) 韩茂安 顾圣士. 非线性系统的理论和方法. 北京：科学出
版社. 2001 (4) 刘秉正 彭建华. 非线性动力学. 北京：高等教育出版社.
2004 (5) 邱关源 现代电路理论. 北京：高等教育出版社. 2004
整理ppt
3
整理ppt
30
图1-8 静态工作点
整理ppt
31
讨论叉形分歧的电路仍如图1-6所示，但 非线性电阻的伏安特性为i＝v3；以电容电压为 状态变量时，状态方程为
Cdvvv3
dt
同时令 C1,xv，有如下方程
dx x x3
dt
（1-4）
整理ppt
32
可以验证点（x，）=（0,0)是具有零特征 值的非双曲平衡点。当 0时电路的平衡点随 参数 变化，由式 xx3 0给出，如图1-9所示。 当 ＜0时，电路有一个平衡点，x＝0，且是稳 定平衡点；当 ＝0时，x＝0也是一个平衡点， 仍是稳定的；当 >0时，电路有3个平衡点， 这3个平衡点分别是 x0 0和 x1,2 ；
整理ppt
17
图1-2 鞍结分歧
整理ppt
18
由图1-2可见，当 <0时，电路没有平衡 点，即电路不存在工作点；当 ＝0时，有一 个平衡点，而当 >0时，有二个平衡点，分别 为 x1,2 。容易判断 x1 是稳定的，x2 是 不稳定的。这表示参数 产在 =0的附近变化 时，电路平衡点的个数和轨道都发生了定性的 变化，即发生了分歧，分歧点是（x，）=（0， 0）。这种分歧称为鞍结分歧。
dt C
令 C1,xv，则有
dx x x2
dt
整理ppt
（1-3）
图1-6 过临界分歧 一阶电路
27
式（1-3）在 ＝0时，x=0的点是一个具有 零特征值的非双曲平衡点。平衡点随参数变化， 由式 xx给2 出0，如图1-7所示。
图1-7 过临界分歧
整理ppt
28
从图中可见，当 <0时，电路有两个平衡
整理ppt
8
但在近20年中发现，确定的非线性电路中 存在着一种特殊的稳态解，该种形式的解既不 是周期的，也不是拟周期的，而是在一定区域 内永不重复类似随机的振荡。这种振荡对初始 值极端敏感，不能从任一点预测未来的振荡行 为，这种非线性电路的解就称为混沌。
整理ppt
9
一个非线性电路产生周期、拟周期或混沌 振荡，必须满足一定的电路参数条件。
整理ppt
12
非线性电路中的分歧问题可以分为静态分 歧、动态分歧，也可以按局部分歧和全局分歧 分类。 静态分歧：是指系统的平衡点数目和稳定性的 变化。 动态分歧：是指在相平面上轨道定性性质的变 化。 局部分歧：是讨论平衡点或轨道附近相图的拓 扑结构 的变化。 全局分歧：是研究大范围内拓扑结构的变化。
放大器的电压放大倍数k>29时，该电路中将产
生稳定的正弦振荡，振荡频率
f0
6 2RC
，荡幅度
大小由放大器的饱和特性决定。
整理ppt
36
为用分歧理论分析该电路，设放大器的转
移特性为
v0g(v3)k3vm33v
显然m＝0时，放大器是线性的，且是反相的，放
大倍数为k。式中引人的非线性项是为了使放大器
具有饱和特性。分别以3个电容电压为状态变量列
kv 3
mv
3
3
dv 2 d
v1 2v2
v3
dv 3 d
v2
v3
（1-6）
点（v1,v2,v3）=(0,0,0)是该电路的唯一平衡点。在平 衡点处的线性化方程为
整理ppt
39
dv1
d
2
dv 2 d
1
1 2
k v1
1
v
2
dv
3
0
1 1 v3
d
同一个非线性电路不同的参数，其解也不 会一样。当非线性电路的参数发生变化，引起 电路解的性质发生质的变化，例如由平衡点解 变为周期振荡解,这种解的质的变化就称为分 歧(bifurcation)或分岔，引起变化的参数称为分 歧参数。
整理ppt
10
由于非线性电路中的分歧现象与非线性电 路中产生拟周期解与混沌有密切的关系，本章 将非线性电路中的分歧现象与拟周期解及混沌 一并介绍。
整理ppt
24
C dv C dt
IS
vC 2
L di L dt
Ri L
取归一化值，设 C 1 ,L 1 ,R 1 ,I S ,x v C ,y i L ，则有：
dx dt
x
2
dy y dt
(1-2)
当 ＝0时，式（1-2）有非双曲平衡点。由于式（1-2）
的第二式特征值实部不为零，因此其分歧由式（1-2)
点（x， ）=(0,0)就是分歧点，这种分歧称为
过临界分歧。
整理ppt
29
与鞍结分歧相同，分歧过程也可以用电路 静态工作点的概念解释。当电容用开路代替后， 受控源和非线性电路的伏安关系分别画于图18。当 ＝0时，仅有工作点Q0，当 >0时 ，有 工作点Q0和Ql，且Ql处的动态电阻为正值；当 ＜0时，有工作点Q2和Q0，且Q2处的动态电阻 为负值。这说明了平衡点稳定性质转变的本质。
非双曲平衡点意味着非线性电路对应的线 性化方程系数矩阵至少有一个具有零实部的特 征值。
整理ppt
15
为了说明上述不同的分歧情 况，考虑一阶电路如图1-1所示， 非线性电阻的伏安特性为压控的， 且i=v2，以电容电压（vc=v）为状 态变量的电路方程为
Cdv dt
Is
v2
即
dv dt
1 C(Is
v2)
整理ppt
19
鞍结分歧过程可以从电路的工作点的变化 过程来解释。按照工作点的求解方法，将图11中电容开路，有图1-3(a）所示电路及图1-3(b) 求工作点的示意图。Fra bibliotek整理ppt
20
从图1-3(b)可以看出，当电流源电流IS<0时， 电路工作点不存在；当IS＝0时，有一个工作点； 当IS>0时，有两个工作点。且工作点Q1处的动 态电阻为正值，所以，该工作点是稳定的；工 作点Q2处的动态电阻为负值，该工作点是不稳 定的。
整理ppt
33
此时，不仅平衡点的个数发生了变化，而且稳 定性也发生了变化， 0时的x=0的平衡点在过 分歧点后，由稳定变成了不稳定，并产生了两 个新平衡点；新产生的两个平衡点是稳定的。
由于随的变化，稳定的平衡点在x- 平面上
描出的曲线像一把叉子，因此称为叉形分歧。 对应叉形分歧的电路的静态工作点随产的变化 求解过程如图1-10所示。
令 C1,xv,Is时，有
x x2
整理ppt （7-1）
图1-1 具有鞍结分歧 的电路
16
可见该电路的平衡点随参数的变化而变 化。特别当＝0时，x=0是该电路的一个非双 曲平衡点。平衡点随参数变化，由式 x2 0
给出，可以用平衡点随分歧参数变化的图1-2 表示。这种平衡点或方程的解随分歧参数变化
的图称为分歧图。
的第一式决定。但相平面上的鞍结点变化过程可以清
楚地表示出来，如图1-5所示。
整理ppt
25
图1-4 鞍结分歧
图1-5 鞍结整分理pp歧t 相图
26
过临界分歧可以用图1-6所示 一阶电路来说明，电路的非线性电 阻的伏安特性为压控且 i＝v2，以 电容电压为状态变量的方程为
Cdvvv2
dt
即
dv 1(vv2)
现代电路理论
——非线性电路与混沌
整理ppt
1
任课教师 黄丽莲 哈尔滨工程大学21号楼210 Email: huanglilian@ Tel: 82519803-603
13946083155
整理ppt
2
参考书目：
(1) 杨晓松 李清都. 混沌系统与混沌电路. 北京：科学出版社. 2007
6. 常用数值方法
引言 牛顿—拉弗森方法 解轨线（轨道）积分算法 频谱分析及相关数据处理 李亚普诺夫指数计算
7. 典型混沌电路分析示例
电路模型与方程 平衡点及其稳定性 Hopf 分岔与中心流形
整理ppt
5
8. 席尼尔科夫意义下的混沌
特征值和特征空间 同宿轨道及其计算 席尼尔科夫意义下的混沌
整理ppt
34
图1-9 叉形分歧图
图1-10 叉形分歧静态工作点
整理ppt
35
当 0 时，仅有工作点Q0；当 >0时，有3 个工作点，即Q0，Ql和Q2。由于Q1和Q2处的动 态电阻都为正值，所以工作点是稳定的。
Hopf分歧可以用RC正弦振荡器说明。图1-
11所示为移相式RC振荡电路，当电路中反相