高三数学随机变量的期望与方差试题

高三数学随机变量的期望与方差试题
1.去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空
气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.
(1) 求的值；
(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第组的频率为
，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽
取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）0.03；（2）24.6；（3）分布列详见解析，.
【解析】本题主要考查频率分布直方图、由样本估计总体求平均值、二项分布、离散型随机变量
的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第
一问，利用频率分布直方图中长方形的高=频率/组距，而所有频率之和为1，来计算a的值；第
二问，根据样本数据，估计总体的平均值的计算公式为：频率分布直方图中，每一个长方形的中
点×高×组距，得到的数据之和即为平均值；第三问，利用频率分布直方图先得到内的频率，即“特优等级”的概率值，通过分析题意可知随机变量服从二项分布，利用
计算出每一种情况的概率，再利用计算出数学
期望.
试题解析：(1) 由题意，得， 1分
解得. 2分
（2）个样本中空气质量指数的平均值为
3分
由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. 4分
（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，
且指数达到“特优等级”的概率为，则. 5分
的取值为， 6分
，，
，. 10分
∴的分布列为：
11分
∴. 12分
（或者）
【考点】频率分布直方图、由样本估计总体求平均值、二项分布、离散型随机变量的分布列和数
学期望.
2.某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取
100个进行调研，按成绩分组：第l组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示：
若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：
（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；（2）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有三名学生
接受篮球项目的考核，求暑的分布列和数学期望．
【答案】（1）;（2）详见解析.
【解析】（1）根据频率100=各组人数，然后利用分层抽样取得各组应抽取的人数，第四组的人数共有人，那么学生甲和乙至少有一人被选中复查的事件为，恰有一人或两人都
在，则;
（2）第三组应有3人进入复查，则随机变量可能的取值为0,1,2，3．且
，
列分布列，并求期望.
（1）设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A,
第三组人数为，第四组人数为，第五组人数为，
根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人， 2分
第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，
则: 5分
（2）第三组应有3人进入复查，则随机变量可能的取值为0,1,2，3．
且，则随机变量的分布列为:
. 12分
【考点】1.频率分布直方图的应用；2.离散型随机变量的期望与方差.
3.（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数
学期望E（X）=_________．
【答案】
【解析】由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，
∵P（X=0）=，
∴，
∴p=，
P（X=1）=+=
P（X=2）==，
P（X=3）=1﹣=，
∴E（X）==，
故答案为：
4.某学校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为.
（1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；
（2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球.规定胜一局记2分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列如下，.
【解析】（1）甲获得发球权的概率为，如果甲获发球权，则他取胜的概率为，若他未获
得发球权，则他获胜的概率为.二者相加即得甲获胜的概率.（2）若甲连输两局，则得0分；
若甲胜两局，则得4分；若以1比2告负，则得2分，所以的取值为，据此可得其分布列和期望
试题解析：（1）； 6分
（2）由题知，的取值为，分布列如下：
． 13分
【考点】1、古典概型；2、随机变量的分布列及期望.
5.随机变量X的分布列如下：
X－101
其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则方差V(X)的值是________．
【答案】
【解析】a、b、c成等差数列，有2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，E(X)＝－1×a＋1×c＝c－a＝. 得a＝，b＝，c＝，∴V(X)＝2×＋2×＋2×＝.
6.某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品．
(1)求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；
(2)若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．
【答案】（1）（2）
【解析】(1)设李师傅产品第一天通过检查为事件A；第二天产品通过检查为事件B.
则有P(A)＝＝，P(B)＝＝，
由事件A、B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝.
答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为.
(2)记得分为ξ，则ξ的可能值为0，1，2.
∵P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝1)＝×＋×＝；P(ξ＝2)＝×＝.
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
答：李师傅在这两天内得分的数学期望为.
7.袋中有5只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分ξ的数学期望Eξ＝________．
【答案】
【解析】ξ可取5、6、7、8，P(ξ＝5)＝，(3黑1红);P(ξ＝6)＝(2黑2红)；
P(ξ＝7)＝(3红1黑)；P(ξ＝8)＝(4红)．∴Eξ＝＝6.5.
8.现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、
丙应聘成功的概率均为，（0<t<2），且三个人是否应聘成功是相互独立的.
（1）若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；
（2）记应聘成功的人数为，若当且仅当为=2时概率最大，求E（）的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）乙、丙有且只有一个人应聘成功分为乙成功且丙不成功和乙不成功且丙成功两种
情况，根据相互独立事件有一个发生的概率公式列出关于t的方程，解之即可.
（2）写出随机变量的所有可能取值，然后计算出相应的概率，列出分布列，求出E（）的表
达式，由于=2时概率最大，可得，，
，而0<t<2，解得，即得E（）的取值范围..
试题解析：（1）由题意得，解得. 3分
（2）的所有可能取值为0，1，2，3
；
；
；
.
故的分布列为：
7分
. 8分
由题意得：，，
，又因为
所以解得的取值范围是. 11分
. 12分
【考点】1.相互独立事件的概率；2.随机变量的分布列和数学期望.
9.甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量为两人中能达标的人数，则的数学期望为．
【答案】1.6
【解析】甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8.所以相当与他们是独立性重复
的实验，所以=，即=.
【考点】1.独立性重复试验.2.数学期望的公式.
10.某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备
选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题
即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为
，且相互间没有影响.
(1）求选手甲进入复赛的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.
【答案】(1）；(2)
【解析】(1）选手甲进入复赛分为三类：①回答了三个题且都对，概率为；②回答了四个题答对三个，概率为；③回答了五个题答对三个，概率为，故选手进入复赛的概率为；(2)依题意，的可能取值为3,4,5，每个取值都分为两种情况，即因淘汰而离开初赛，或者进入复赛．
试题解析：(1）设选手甲答对每个题的概率为，则，设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：；或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛
， 4分
或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛
6分
选手甲进入复赛的概率 7分
(2)的可能取值为3,4,5，对应的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率
的分布列为：
13分
【考点】1、n次独立重复试验中事件A发生K次的概率；2、离散型随机变量的分布列和期望.
11.据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，风能风区分类标准如下：
假设投资A项目的资金为（≥0）万元，投资B项目资金为（≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利的可能性为，亏损的可能性为；位于二类风区的B项目获利的可能性为，亏损的可能性是，不赔不赚的可能性是.
（1）记投资A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，；（2）某公司计划用不超过万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A项目的投
资不得低于B项目,根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利
润之和的最大值．
【答案】（1）详见解析；（2）15万元。

【解析】（1）项目有的可能性获利，利润为，有的可能性亏损，亏损额为。

项目有的可能性获，利润为，有的可能性亏损，亏损额为。

有
的可能性不赔不赚。

据此可列出分布列，根据期望公式可求各期望值。

（2）根据已知条件列出
线性约束条件，根据约束条件可求其最值。

试题解析：（1）A项目投资利润的分布列
B项目投资利润的分布列
6分
(2)由题意可知满足的约束条件为 9分
由(1)可知，
当，取得最大值15.
∴对A、B项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元.12分
【考点】1分布列及期望；2线性规划问题。

12.若随机变量X～B(100,p),X的数学期望E(X)=24,则p的值是()
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵X～B(100,p),∴E(X)=100p.
又∵E(X)=24,∴24=100p,p==.
13.甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用
的概率是，乙、丙两人同时能被聘用的概率为，且三人各自能否被聘用相互独立.
（1）求乙、丙两人各自被聘用的概率；
（2）设为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值（数学期望）.
【答案】（1）乙、丙两人各自被聘用的概率分别为、；（2）详见解析.
【解析】（1）分别设乙、丙两人各自被聘用的概率为、，利用事件的独立性列出相应的方
程进行求解，从而得出乙、丙两人各自被聘用的概率；（2）先列举出随机变量的可能取值，并根据事件的独立性求出在相应条件的概率，列出分布列并求出随机变量的均值（即数学期望）. 试题解析：（1）设乙、丙两人各自被聘用的概率分别为、，
则甲、丙两人同时不能被聘用的概率是，解得，
乙、丙两人同时能被聘用的概率为，
因此乙、丙两人各自被聘用的概率分别为、；
（2）的可能取值有、，
则
，
，
因此随机变量的分布列如下表所示
所以随机变量的均值（即数学期望）.
【考点】1.独立事件概率的计算；2.离散型随机变量的概率分布列与数学期望
14.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌甲乙
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X
1
，生产一辆乙品牌轿车的利
润为X
2，分别求X
1
，X
2
的分布列．
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
【答案】（1）（2）X
1
的分布列为
X123
2
的分布列为
）甲品牌轿车
【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X
1
的分布列为
2
的分布列为
(3)由(2)得E(X
1
)＝1×＋2×＋3×＝＝2．86(万元)，
E(X
2
)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
因为E(X
1)>E(X
2
)，所以应生产甲品牌轿车．
15.某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周
一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。

（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学
科讲座各天的满座的概率如下表：
根据上表：
（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（I）；
（II）随机变量的分布列如下：
.
【解析】（I）数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座即为这三个事件同时发生，独立事件同时发生的概率等于这三个事件的概率之积，由此即得公式得数学辅导讲座在周一、周三、周五都
不满座这个事件的概率.（II）首先弄清楚可以取哪此值.因为总共有5科，所以可能取的值最多为5，即可取0、1、2、3、4、5.然后由独立事件同时发生的概率公式一一求出各随机变量的概率，便可得其分布列，进而得其期望.
试题解析：（I）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，
则 4分
（II）的可能值得为0，1，2，3，4，5
10分
所以随机变量的分布列如下：
故 12分
【考点】1、独立事件同时发生的概率；2、随机变量的分布列及其期望.
16.一中食堂有一个面食窗口,假设学生买饭所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往学生买饭所需的时间统计结果如下:
买饭时间（分）12345
（Ⅰ）估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率;
（Ⅱ）表示至第2分钟末已买完饭的人数,求的分布列及数学期望
【答案】（Ⅰ）第2分钟末没有人买晚饭的概率；（Ⅱ）第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率．
【解析】（Ⅰ）估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率，包括①第一个学生买饭所需的时间为1分钟,且第二个学生买饭所需的时间为3分钟;②第一个学生买饭所需的时间为3分钟,且第二个学生买饭所需的时间为1分钟;③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟.这三个事件，根据互斥事件的概率求法，即可求出概率;（Ⅱ）表示至第2分钟末已买完饭的人数,包括三种情况, 第2分钟末没有人买晚饭,第2分钟末有一人买饭,它包括:第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟,或第一个学生买饭所需的时间为2分钟,第2分钟末,有两人买饭,故所有可能的取值为,分别求出概率,从而写出的分布列,求出数学期望.
试题解析：（Ⅰ）设表示学生买饭所需的时间,用频率估计概率,得的分布列如下:
12345
(1)表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”,则事件A对应三种情形:
①第一个学生买饭所需的时间为1分钟,且第二个学生买饭所需的时间为3分钟;②第一个学生买饭所需的时间为3分钟,且第二个学生买饭所需的时间为1分钟;③第一个和第二个学生买饭所需
的时间均为2分钟.
所以
(6分)
（Ⅱ）所有可能的取值为
对应第一个学生买饭所需的时间超过2分钟,
所以
对应第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟,或第一个学生买饭所需的时间为2分钟.
所以
对应两个学生买饭所需时间均为1分钟,
所以
所以的分布列为
012
【考点】互斥事件的概率,分布列及数学期望.
17.某旅游推介活动晚会进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖规则是：抽奖盒中装有个大小相同的小球，分别印有“多彩十艺节”和“美丽泉城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球，若抽到两个球都印有“多彩十艺节”标志即可获奖.
（I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几个“多彩十艺节”球？主持人笑说：我只知道从盒中同时抽两球不都是“美丽泉城行”标志的概率是，求抽奖者获奖的概率；
（Ⅱ）上面条件下，现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用表示获奖的人数，求的分布列及.
【答案】（I）；（Ⅱ）分布列如下解析；.
【解析】（I）本题获奖的标准是抽到两个球都印有“多彩十艺节”标志即可获奖.而所给的条件是两球不都是“美丽泉城行”标志的概率是，不都是是都是的对立面.所以假设有n个标有“美丽泉城行”则都是“美丽泉城行”的概率为.计算出n的值.10-n就是印有“多彩十艺节”球的个数.即可求出
抽奖者获奖的概率.（Ⅱ）本小题是一个超几何概型独立性实验.分布列和数学期望及方差公式.
.本题主要是考查概率知识，由生活背景引出数学知识.数学知识学以致用.
试题解析：（I）设印有“美丽泉城行”标志的球有个，不都是“美丽泉城行”标志为事件，
则都是“美丽泉城行”标志的概率是,由对立事件的概率：,
得，故“多彩十艺节”标志卡共有4张
∴抽奖者获奖的概率为 6分
（Ⅱ）～，的分布列为或
∴
12分
【考点】1.概率的含义.2.对立事件.3.数学期望，数学方差的计算公式.4.独立性检验知识点.
18.（14分）如图所示,机器人海宝按照以下程序运行
1从A出发到达点B或C或D，到达点B、C、D之一就停止；
②每次只向右或向下按路线运行；
③在每个路口向下的概率；
④到达P时只向下，到达Q点只向右．
（1）求海宝过点从A经过M到点B的概率，求海宝过点从A经过N到点C的概率；
（2）记海宝到点B、C、D的事件分别记为X=1，X=2，X=3，求随机变量X的分布列及期望．【答案】（1）从A过M到B概率为；从A过N到C的概率为；(2)；
；；．
【解析】（1）从A过M到B，先有两次向下（概率为），再有一次向下与一次向右组合，由乘法原理可得所求概率；同理从A过N到C，需要经过两次向下和两次向右的组合，由乘法原理可得所求概率为；(2)先分别求出；
；的值，再利用离散型随机变量期望公式求随机变量X的期望．
试题解析：向下概率为，则不向下概率为．
（1）从A过M到B，先有两次向下，和有一次向下与一次向右组合其概率为；从A过M到C，概率为．（7分）
(2)；；
；．（14分）
【考点】1．独立重复试验型事件发生的概率的计算；2．离散型随机变量期望的计算．
19.为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中
某种元素的含量（单位：毫克）.如图是测量数据的茎叶图：
规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品.
（1）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；
（2）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数的分布列
及其数学期望；
（3）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取
3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．
【答案】（1）甲厂抽取的样本中优等品率为，乙厂抽取的样本优等品率为；（2）；（3）．
【解析】（1）由古典概型计算公式可求得甲乙两厂生产的优等品率；（2）首先的取值为0，1，2，3，结合超几何分布及排列组合可求得的值，进而可得的分
布列及其数学期望；（3）首先将所求概率分解为基本事件的和，即A=“抽取的优等品数甲厂
2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”，再利用二项分布求解．
试题解析：（1）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为 1分
乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为 2分
（2）的取值为0，1，2，3. 3分
5分
的分布列为
6分
的数学期望为 8分
(3) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件” 9分
10分
11分
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为 12
分
【考点】1、排列组合；2、茎叶图；3、超几何分布；4、数学期望．
20.一次高中数学期末考试，选择题共有个，每个选择题给出了四个选项，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 评分标准规定：对于每个选择题，不选或多选或错选得分，选
对得分．在这次考试的选择题部分，某考生比较熟悉其中的个题，该考生做对了这个题．其
余个题，有一个题，因全然不理解题意，该考生在给出的四个选项中，随机选了一个；有一个
题给出的四个选项，可判断有一个选项不符合题目要求，该考生在剩下的三个选项中，随机选了
一个；还有两个题，每个题给出的四个选项，可判断有两个选项不符合题目要求，对于这两个题，该考生都是在剩下的两个选项中，随机选了一个选项．请你根据上述信息，解决下列问题：
（Ⅰ）在这次考试中，求该考生选择题部分得分的概率；
（Ⅱ）在这次考试中，设该考生选择题部分的得分为，求的数学期望．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】1.本题以学生熟悉的背景设题，将得分与选择对、选错联系起来，感受随机事件与概率．因此，解题首先是要读懂题意.善于在熟悉的情境中理解题意，这是解概率题的关键．2.概率
问题往往涉及到分类计算，这是由于分布列的特点需要分类进行计算．另由于选择各题时相对独立，独立事件也需要分类计算．3．概率题要求计算要准确，全功尽弃.
试题解析：设选对“全然不理解题意”的试题的选项为事件，选对“可判断有一个选项不符合题目
要求”
试题的选项为事件，选对“可判断有两个选项不符合题目要求”试题的选项为事件，根据题意
，，.
（Ⅰ）在这次考试中，该考生选择题得分的概率；
（Ⅱ）随机变量可能的取值为，，，，，根据题意得
，
，
，
，
.
∴的数学期望.
【考点】概率,随机变量分布列、数学期望的计算.
21.样本中共有5个个体，其值分别为.若该样本的平均值为1，则样本方差为A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，由于样本中共有5个个体，其值分别为.若该样本的平均值为1，则
可知a+0+1+2+3=5,a=-1,那么方差为，故答案为D.
【考点】数据的平均值和方差
点评：主要是考查了数据的特征数，均值和方差的求解，属于基础题。

22.某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；
（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.
【答案】（1）64（2）（3）
【解析】解析：(Ⅰ)每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N= 3分(Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为
7分
(Ⅲ) 设A选修课被这3名学生选择的人数为，则＝0,1,2,3
P(＝0)＝ P(＝1)＝
P(＝2)＝ P(＝3)＝ 9分
的分布列是
0123
10分
12分
【考点】古典概型的概率
点评：主要是考查了分布列和数学期望值的求解，主要是解决运用古典概型的概率公式来求解概
率值，属于基础题。

23.某商场共五层，从五层下到四层有3个出口，从三层下到二层有4个出口，从二层下到一层
有4个出口，从一层走出商场有6个出口。

安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层的安
保工作。

假设每名警员到该层各出口处的时间相等，某罪犯在五楼犯案后，欲逃出商场，各警员
同时接到指令，选择一个出口进行围堵。

逃犯在每层选择出口是等可能的。

已知他被三楼警员抓
获的概率为。

（Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？
（Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网。

设抓到逃犯时，他已下了层楼，写出
的分布列，并求。

【答案】（1）
（2）
【解析】解：（1）设四层下到三层有个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员。