连江尚德中学届高三3月模拟检测(文科)数学试题.docx

连江尚德中学2016届高三3月模拟检测（文科）数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1) 已知集合()(){}{}120,30A x x x B x x =-+<=-<<，则A
B =
（A ）(),2-∞-
（B ）()2,0-
（C ）()0,1
（D ）()1,+∞
(2) 若纯虚数z 满足i 1i z a =+，则实数a =
（A ）0
（B ）1-或1
（C ）1-
（D ）1
(3) 在数列{}n a 中，711
16,02
n n a a a +=-
=，则2a = （A ）
12
（B ）1 （C ）2
（D ）4
(4) 已知双曲线的渐近线方程为12
y x =±，且经过点()4,1，则该双曲线的标准方程为
（A ）22
1312
x y -=
（B ）22
1312
y x -=
（C ）22
1123x y -=
（D ）22
1123
y x -=
(5) 已知函数()y f x x =+是偶函数，且()21f =，则()2f -=
（A ）1-
（B ）1
（C ）5- （D ）5
(6) 已知ππ2
2
α-<<，且2
sin cos 2
αα+=，则α的值为
（A ）π12
-
（B ）π12
（C ）5π12
-
（D ）5π12
(7) 设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
(8) 执行如图程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
x
y
1
54
14
O
1
12
22
4
4
(9) 函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的对称轴为
（A ）1
π,4
x k k =-+∈Z （B ）1
2π,4
x k k =-+∈Z （C ）1
,4
x k k =-+∈Z （D ）1
2,4
x k k =-
+∈Z (10) 设抛物线28y x =的焦点为F ，P 是抛物线上一点，若直线PF 的倾斜角为120︒，则PF =
（A ）
3
8 （B ）3
（C ）883
或
（D ）3或8
(11) 某几何体的三视图如图所示，则下列数据中不是该几何体的棱长的是
（A ）22 （B ）17
（C ）32 （D ）33
(12) 已知函数()1
1,
1,4
ln ,
1,
x x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩…则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是
（A ）10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
（B ）11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
（C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
（D ）1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
(13) 已知()()1,3,1,t -a =b =，若()2-⊥a b a ，则实数t = ．
(14) 若实数,x y 满足约束条件220,30,3,x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪⎩
………则2z x y =+的最大值为 ．
(15) 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为 ． (16) 若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17) （本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且373,28a S ==． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()21
1
1n
n n n n a b a a ++=-⋅，，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
(18) （本小题满分12分）
某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[)[)[)[)[]100,110,110,120,120,130,130,140,140,150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；
（Ⅱ）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，得到数据如下表：请你根据已知条件完成下列2×2列联表：
数学尖子生
非数学尖子生
合计 男生 女生 合计
100
并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？ 参考数据：
2()P K k >
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
（参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
(19) （本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，点D 是
BC 的中点，1BC BB =．
（Ⅰ）求证：1A C ∥平面1AB D ；
（Ⅱ）试在棱1CC 上找一点M ，使得1MB AB ⊥，并说明理由。

(20) （本小题满分12分）
已知直线:43100l x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线与圆C 交于,A B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
(21) （本小题满分12分）
已知函数()ln 1f x ax x x =-+（0a …）。

（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；
（Ⅱ）若()()1,,0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22) （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
A 1
D C 1
B
C
B 1
A
如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作O ，分别交,AC AD 于点,E F ．
（Ⅰ）证明：,,,C D E F 四点共圆；
（Ⅱ）若D 为BC 中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长．
(23) （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系x y O 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C 的极坐标方程为2212
3sin ρθ
=+，定点(0,3)A -，12,F F 是圆锥曲线C 的左、右焦点．直线l 经过点1F 且平行
于直线2AF ．
（Ⅰ）求圆锥曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）若直线l 与圆锥曲线C 交于,M N 两点，求11F M F N ⋅．
(24) （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数()3f x x a x =++-（a ∈R ）． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()8f x x +…的解集；
（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值．
参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合()(){}{}120,30A x x x B x x =-+<=-<<，则A B =
（A ）(),2-∞- （B ）()2,0-
（C ）()0,1
（D ）()1,+∞
【答案】B ．
【解析】因为()()2,1,3,0A B =-=-，所以A
B =()2,0-．应选B ．
（2）若纯虚数z 满足i 1i z a =+，则实数a = （A ）0 （B ）1-或1 （C ）1- （D ）1
【答案】A ． 【解析】因为1i
i i
a z a +=
=-为纯虚数，所以0a =．应选A ． （3）在数列{}n a 中，711
16,02
n n a a a +=-=，则2a = （A ）
12
（B ）1
（C ）2
（D ）4
【答案】A ． 【解析】由已知，
12n n a a +=，所以{}n a 是公比为2的等比数列，所以7251
22
a a ==．应选A ． （4）已知双曲线的渐近线方程为1
2
y x =±，且经过点()4,1，则该双曲线的标准方程为
（A ）22
1312x y -=
（B ）22
1312y x -=
（C ）22
1123x y -=
（D ）22
1123
y x -=
【答案】C ．
【解析】易知221312x y -=，22
1123
y x -=的渐近线方程为2y x =±，淘汰选项A 、D ；将()4,1代入选项B ，不
满足方程，淘汰选项B ．应选C ．
（5）已知函数()y f x x =+是偶函数，且()21f =，则()2f -= （A ）1- （B ）1 （C ）5- （D ）5
【答案】D ．
【解析】因为函数()y f x x =+是偶函数，所以()()f x x f x x --=+，令2x =得，()()2222f f --=+，所以()()2245f f -=+=．应选D ． （6）已知ππ
22
α-
<<，且2sin cos 2αα+=，则α的值为
（A ）π12
-
（B ）
π12
（C ）5π12
-
（D ）
5π12
【答案】A ．
【解析】因为2sin cos 2αα+=，所以π22sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 42α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．又因为ππ3π444α-<+<，
所以ππ46
α+
=，故α=π
12-．应选A ．
（7）设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
【答案】C ．
【解析】因为函数
()22,0,
,0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩
…在
()
,-∞+∞上为增函数，所以
()()a b f a f b >⇔>a a b b ⇔>，即a b >为a a b b >的充要条件．应选C ．
（8）执行如图程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B ．
【解析】已知输入a 的值为4，故可列表如下：
初始值 第1次 第2次 第3次 P Q >，
终止循环，输出n 值为3．
是否满足P Q ≤
01<，满足 13<，满足 57<，满足 P 0 0041+=
1145+=
25421+=
Q
1 2113⨯+= 2317⨯+= 27115⨯+=
n
011+= 112+= 213+=
由上表可知，应选B ．
（9）函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的对称轴为 （A ）1
π,4
x k k =-+∈Z （B ）1
2π,4
x k k =-
+∈Z （C ）1
,4
x k k =-+∈Z
（D ）1
2,4
x k k =-
+∈Z x
y
1
54
14
O
【答案】C ． 【解析】由图可知，
511244T =-=，故1142x =-，即1
4x =-是()f x 的一条对称轴．又因为()f x 每两
相邻的对称轴距离均为
2
T ，所以()f x 的对称轴为1
,4x k k =-+∈Z ．应选C ．
（10）设抛物线28y x =的焦点为F ，P 是抛物线上一点，若直线PF 的倾斜角为120︒，则PF = （A ）
3
8
（B ）3
（C ）883
或
（D ）3或8
【答案】C ．
【解析】法一、设准线为l ，l
x 轴B =，PA l ⊥，A 为垂足，设()00,P x y ．由抛物线定义得，PF PA =，
所以PAF PFA ∠=∠．因为PA x ∥轴，所以AFB PAF ∠=∠，
（1）当点P 在第一象限时，()1
180120302
AFB PFA ∠=∠=⨯︒-︒=︒．在Rt ABF ∆中，4BF =，所以
043
AB y ==
，则
016
83x =，解得023x =．所以28233
PF =+=．
（2）当点P 在第四象限时，1
120602
AFB PFA ∠=∠=⨯︒=︒．
在R t A B F ∆中，4BF =，所以043AB y ==，
则20(43)8x =，解得06x =．所以628PF =+=．应选C ．
法二、设准线为l ，
l x 轴B =，PA l ⊥，A 为垂足，
设()00,P x y ．过点P 作PM x ⊥轴于点M ，则60PFM ∠=︒，所以1
||2
FM PF =
，由抛物线定义得，PF PA = （1）当点P 在第一象限时，13||||||||||22BF BM MF PA PF PF =+=+=，所以38
4||,||.23PF PF ∴=∴=
（2）当点P 在第四象限时，11||||||||||22
BF BM MF PA PF PF =-=-=，所以1
4||,||8.2PF PF ∴=∴=应选
C ．
（11）某几何体的三视图如图所示，则下列数据中不是该几何体的棱长的是 （A ）22 （B ）17 （C ）32
（D ）33
1
12
22
4
4
【答案】C ．
4
4
33
21
2
17
22
22
【解析】由三视图可知，该几何体是高为4，底面是斜边为4的等腰直角三角形的三棱锥（如图粗线部分所示），通过计算可得32不是该几何体的棱长．应选C ．
（12）已知函数()1
1,1,
4ln ,
1,x x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩…则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是
（A ）10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
（B ）11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
（C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
（D ）1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】B ．
【解析】作出()f x 的图像如右所示，易知函数e
x
y =
与ln y x =相切，结合图像可知，当a ∈11,4e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 与直线y ax =有两个交点，即方程()f x ax =恰有
两个不同的实根．应选B ．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）已知()()1,3,1,t -a =b =，若()2-⊥a b a ，则实数t = ． 【答案】2．
【解析】由已知，()23,32t -=--a b ．因为()2-⊥a b a ，所以()2-⋅a b a ()33320t =+-=，解得2t =．应填2．
（14）若实数,x y 满足约束条件220,30,3,x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪⎩
………则2z x y =+的最大值为 ．
【答案】12．
【解析】作出可行域如图所示，由图可知，当2z x y =+经过点()3,6A 时，直线纵截距最大，此时2z x y =+取得最大值23612⨯+=．应填12．
（15）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为 ．
【答案】3π．
【解析】依题意，该四面体是棱长为2的正四面体，将其放置到正方体中考虑（如图所示），其外接球与正方体的外接球相同．易得正方体的棱长为1，其体对角线长即为外接球的直径，则
2R =3，所以该球的表面积为24π3πR =．应填3π．
（16）若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ． 【答案】
62
4
-． 【解析】由正弦定理可得22a b c +=，所以 ()
2
222
2
2
1
24cos 22a b a b a b c
C ab
ab
+-
++-==
223222262262
884
a b ab ab ab ab ab +---==
…，当且仅当32a b =时取等号，所以()min 62
cos 4C -=
．应填624
-．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且373,28a S ==． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()21
1
1n
n n n n a b a a ++=-⋅
，，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则
317123,
76
728,2
a a d S a d =+=⎧⎪
⎨⨯=+=⎪⎩ ························································ 3分 解得11,1a d ==， ······················································································· 4分 所以()111n a n =+-⋅，即n a n =． ·································································· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()21
1
1n
n n n n a b a a ++=-⋅
， ()()
21
11n
n n n +=-⋅
+ ························································································ 7分
()1
111n n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭， ·
·················································································· 9分 当n 为奇数时，
1111
11211223111n n T n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-
-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪
+++⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
； ···························· 10分 当n 为偶数时，
1111
1111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-
++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． ···························· 11分 综上，2,,1
,.
1
n n n n T n n n +⎧-⎪⎪+=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数（或()111n n T n -=-++） ·····································
·· 12分
（18）（本小题满分12分）
某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[)[)[)[)[]100,110,110,120,120,130,130,140,140,150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；
（Ⅱ）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，得到数据如下表：请你根据已知条件完成下列2×2列联表：
数学尖子生
非数学尖子生
合计 男生 女生 合计
100
并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？ 参考数据：
2()P K k >
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
（参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
【解析】由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名；分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3(人)，记为A 1，A 2，A 3；女生有40×0.05=2(人)，记为B 1，B 2． ·········· 2分 从中随机抽取2名学生，所有的可能结果为
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12131112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B
共有10种， ······························································································ 4分 其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果有
{}{}{}{}{}{}111221223132,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B ，
共有6种， ······························································································· 5分 故所求的概率63
105
P =
=． ·
·········································································· 6分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知，
在抽取的100名学生中，数学尖子生男生60×0.25=15(人)，女生40×0.375=15(人) ···· 7分 据此可得2×2列联表如下：
数学尖子生
非数学尖子生
合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计
30
70
100
·············································································································· 9分 假设数学尖子生与性别无关，则
2K 的观测值2
100(15251545)25 1.796040307014
k ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ ····································· 11分
因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”． ········· 12分
（19）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，点D 是BC 的中点，1BC BB =． （Ⅰ）求证：1A C ∥平面1AB D ；
（Ⅱ）试在棱1CC 上找一点M ，使得1MB AB ⊥，并说明理由．
A 1
D C 1
B
C
B 1
A
【解析】（Ⅰ）连结1A B ，交1AB 于点O ，连结OD ． ········································· 1分 在11ABB A Y 中，O 为1A B 中点．
又因为D 为BC 中点，所以1AC OD ∥． ··························································· 2分 因为1A C ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ，
所以1A C ∥平面1AB D ． ··············································································· 4分 （Ⅱ）当M 为棱1CC 中点时，1MB AB ⊥，理由如下： ······································· 5分 因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =， 所以四边形11BCC B 为正方形．
因为M 为棱1CC 中点，D 是BC 的中点，易证1B BD BCM ∆≅∆， ························· 6分 所以1BB D CBM ∠=∠， 又因为11π
2
BB D BDB ∠+∠=， 所以1π
2
CBM BDB ∠+∠=
，故1BM B D ⊥． ····················································· 7分 因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点， 所以AD BC ⊥．
因为平面ABC ⊥平面11,BB C C 平面ABC
平面11,BB C C BC AD =⊂平面ABC ，
所以AD ⊥平面11,BB C C ················································································ 9分 因为BM ⊂平面11,BB C C 所以AD BM ⊥． 因为1AD
B D D =，1,AD B D ⊂平面1AB D ，
所以BM ⊥平面1AB D ， ············································································· 11分 因为1AB ⊂平面1AB D ，所以1MB AB ⊥． ······················································ 12分
（20）（本小题满分12分）
已知直线:43100l x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线与圆C 交于,A B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）设圆心5(,0)()2
C a a >-，
则
4102055
a a a +=⇒==-或（舍去）
． ························································· 2分 所以圆C 的标准方程为224x y +=． ······························································· 4分 （Ⅱ）当直线AB x ⊥轴，在x 轴正半轴上任一点，都可使x 轴平分ANB ∠； ·········· 5分 当直线AB 斜率存在时，
设直线AB 方程为(1)y k x =-，1122(,0),(,),(,),N t A x y B x y ···································· 6分 联立圆C 的方程和直线AB 的方程得，
2222224,
(1)240(1)x y k x k x k y k x ⎧+=⇒+-+-=⎨
=-⎩
， ··················································· 7分 故22121222
24,11
k k x x x x k k -+==++， ···································································· 8分 若x 轴平分ANB ∠，则12121212(1)(1)
00AN BN y y k x k x k k x t x t x t x t
--=-⇒
+=⇒+=----
221212222(4)2(1)
2(1)()2020411
k k t x x t x x t t t k k -+⇒-+++=⇒-+=⇒=++.
当点N 的坐标为(4,0)时，能使得ANM BNM ∠=∠成立． ································· 12分
（21）（本小题满分12分）
已知函数()ln 1f x ax x x =-+（0a …）． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；
（Ⅱ）若()()1,,0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ························································ 1分 当1a =时，()ln 1f x x x x =-+,()ln f x x '=， ··················································· 2分 令'()0f x >，则1x >；令'()0f x <，则1x <，
所以()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增．················································· 4分 所以min ()(1)0f x f ==． ··············································································· 5分 （Ⅱ）()ln 1f x a x a '=+-（1x >）， ······························································ 6分 ①0a =时，()10f x '=-<，()f x 在(1,)+∞单调递减，()(1)0f x f <=恒成立与已知相矛盾． 7分
②当0a >时，由()0f x '>得1e a a
x ->，
所以()f x 的单调减区间是1(0,e
)a a
-，单调增区间是1(e ,)a a
-+∞. ······························· 9分
当1e 1a
a
-…，即1a …时，()f x 在(1,)+∞单调递增，()(1)0f x f >=恒成立； 当1e
1a
a
->，即01a <<时，()f x 在1(1,e
)a a
-单调递减，在1(e
,)a a
-+∞单调递增，存在1(e
)(1)0a a
f f -<=，与已
知相矛盾． ····························································································· 11分 综上，实数a 的取值范围是[1,)+∞． ···························································· 12分
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作O ，分别交,AC AD
于点,E F ．
（Ⅰ）证明：,,,C D E F 四点共圆；
（Ⅱ）若D 为BC 中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长．
【解析】（Ⅰ）连结,BF EF ，则CEF ABF ∠=∠， ············ 1分 因为AB 为直径，所以90AFB ∠=︒， ····························· 2分 因为AB BC ⊥，所以ABF ADB ∠=∠， ·························· 3分 所以ADB CEF ∠=∠， ················································ 4分
F E
O
A
B C D
F
E
O
A
所以,,,C D E F 四点共圆． ··········································· 5分
（Ⅱ）由已知BD 为O 的切线，所以()21134BD DF DA =⋅=⨯+=，故2BD =， 所以22224223AB AD BD =-=-=， ······················································· 7分 因为D 为BC 中点，所以()
2
24,23427BC AC ==
+=． ································ 8分
因为,,,C D E F 四点共圆，所以AE AC AF AD ⋅=⋅， ··········································· 9分 所以3467
727
AF AD AE AC ⋅⨯===
． ······························································· 10分
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系x y O 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C 的极坐标方程为22
12
3sin ρθ
=
+，定点(0,3)A -，12,F F 是圆锥曲线C 的左、右焦点．直线l 经过点1F 且平行于直线2AF ． （Ⅰ）求圆锥曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）若直线l 与圆锥曲线C 交于,M N 两点，求11F M F N ⋅．
【解析】（Ⅰ）圆锥曲线C 的普通方程为22
:143
x y C +=， ·
·································· 2分 其焦点为1(1,0)F -,2(1,0)F ，所以l 的斜率230
301
AF k k --==
=-， ·
······················· 3分 所以直线l 的参数方程为11,232x t y t
⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ··········································· 5分
（Ⅱ）将直线l 的参数方程11,232
x t y t
⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入椭圆方程得：
254120t t --=， ······················································································· 7分 所以，1212
5
t t =-
， ····················································································· 8分 所以，11121212
5
F M F N t t t t ⋅=⋅==． ························································· 10分
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()3f x x a x =++-（a ∈R ）． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()8f x x +…的解集； （Ⅱ）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值．
【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()8f x x +…，即138x x x ++-+…
，等价于。