人教A版高中数学必修五综合质量评估(第一至第三章).docx

高中数学学习材料
唐玲出品
综合质量评估(第一至第三章)
(120分钟150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2015·太原高二检测)两数+1与的等比中项是( )
A.1
B.-1
C.-1或1
D.
【解析】选C.设两数的等比中项为x，则x2==1，解得x=±1，故等比中项为-1或1.
2.在平面直角坐标系中，不等式x2-y2>0表示的平面区域是( )
【解析】选B.由x2-y2>0可得
或两个不等式组对应的平面区域如图B所示.
3.(2015·衡水高二检测)不等式-x2+3x+4<0的解集为( )
A.{x|-1<x<4}
B.{x|x>4或x<-1}
C.{x|x>1或x<-4}
D.{x|-4<x<1}
【解析】选B.一元二次方程-x2+3x+4=0的两个根为x=-1或x=4，由于函数y=-x2+3x+4的图象开口向下，
因此不等式-x2+3x+4<0的解集为{x|x>4或x<-1}.
4.下列不等式中成立的是( )
A.若a>b，则ac2>bc2
B.若a>b，则a2>b2
C.若a>b，c>d，则a-c>b-d
D.若a<b<0，则>
【解析】选D.A选项，若c=0，则ac2=bc2，A不正确；
B选项，若a=1，b=-3，a2=1<b2=9，B不正确；
C选项，若a=2，b=1，c=2，d=-3，则a-c=0，b-d=4，a-c<b-d，C不正确；
D选项，若a<b<0，则>，故选D.
5.(2015·营口高二检测)符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )
A.a=1，b=2，c=3
B.a=1，b=，A=30°
C.a=1，b=2，A=100°
D.b=c=1，B=45°
【解析】选 D.A中三条边长无法构成三角形；B中由正弦定理可得sinB===，由于a<b，因此A<B，B=45°或135°，且两个角度都满足要求，因此符合B条件的三角形有两个；C中由于a<b，因此A<B，而A=100°，所以三角形中有两个角为钝角，因此C中的条件不能构成三角形；而D构成的三角形为等腰直角三角形.
6.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=5x+y的最大值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选 D.求出约束条件对应的三条直线之间的交点坐标依次是，，(1，0)，代入z=5x+y分别计算得最大值为5.
7.(2015·通化高二检测)若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立，
则实数a取值范围( )
A.a≤2
B.-2<a≤2
C.-2<a<2
D.a≤-2
【解析】选B.当a-2=0即a=2时，原不等式变形为-4<0恒成立，符合题意；当a-2≠0时，依题意可得
⇒
⇒-2<a<2.
综上可得-2<a≤2.
【补偿训练】若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C.(1，+∞)
D.∞
【解析】选A.因为x∈，则不等式x2+ax-2>0可化为：a>=-x，
设f=-x，x∈，
由题意得只需a>，
因为函数f为区间[1，5]上的减函数，
所以=f=-5=-.
8.已知函数f(x)=ax2-x-c，且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1}，则函数y=f(-x)的图象为( )
【解析】选B.因为函数f(x)=ax2-x-c，且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1}，所以a<0，方程ax2-x-c=0的两个根为-2和1，
-2+1=，-2×1=-，
所以a=-1，c=-2，
所以f(x)=ax2-x-c=-x2-x+2，
所以f(-x)=-x2+x+2，其图象开口向下，与x交点(-1，0)，(2，0).
9.(2015·大庆高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A=π，a=3，b=4，则=( )
A.3
B.6
C.6
D.18
【解析】选 C.由正弦定理=可得sinB===，所以==6.
10.在△ABC中，∠A=120°，·=-2，则||的最小值是( )
A.2
B.4
C.2
D.12
【解析】选C.因为∠A=120°，·=-2，
所以||·||cos120°=-2，
解得||·||=4，
设||=c，||=b，||=a，则bc=4，
由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos120°=b2+c2+bc.
因为b 2+c 2≥2bc ，当且仅当b=c 时取得最小值， 所以a 2=b 2+c 2+bc ≥3bc=12，可得a 的最小值为2 ， 即|
|的最小值为2 .
11.(2015·济南高二检测)在△ABC 中，若
= =
，则△ABC 是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰或直角三角形
D.等腰直角三角形 【解析】选A.根据题意得 =
=
，
因此sinBcosB=sinAcosA ，即sin2B=sin2A ，
所以B=A 或2B+2A=π，由于 =
，所以2B+2A=π成立，即B+A=π
.
12.等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d ≠0，前n 项和为S n (n ∈N *).有下列命题 ①若S 3=S 11，则必有S 14=0；
②若S 3=S 11，则必有S 7是S n 中最大的项； ③若S 7>S 8，则必有S 8>S 9； ④若S 7>S 8，则必有S 6>S 9. 其中正确的命题的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 【解析】选D.S 11-S 3=a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10+a 11=0，
根据等差数列的性质，S 11-S 3=4(a 7+a 8)=0，所以a 7+a 8=0，S 14=
=
7 =0，根据等差数列前n 项和S n 的图象，S 3=S 11，那么对称轴是n=
=7，
那么S 7是最大值；若S 7>S 8，则a 8<0，那么d<0，所以a 9<0，所以S 9-S 8<0，即S 8>S 9；S 9-S 6=a 7+a 8+a 9 =3a 8<0，即S 6>S 9.
【补偿训练】已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为
( ) A.15 B.17 C.19 D.21
【解析】选B.由已知条件可得S4=1，公比q=2，而
==q4=24=16，所以S8=17.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.设z=x+y，其中x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为________.
【解析】如图，x+y=6过点A(k，k)，k=3，z=x+y在点B处取得最小值，
B点在直线x+2y=0上，所以B(-6，3)，
所以z min=-6+3=-3.
答案：-3
【变式训练】若x，y满足约束条件则x-y的取值范围是________. 【解析】记z=x-y，则y=x-z，所以z为直线y=x-z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示.
结合图形可知，当直线经过点B(1，1)时，x-y取得最大值0，当直线经过点C(0，3)时，x-y取得最小值-3.
答案：[-3，0]
14.(2015·上饶高二检测)等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=__________.
【解析】在等差数列中S19=19a10，T19=19b10，
因此===.
答案：
【补偿训练】正项等比数列{a n}中，若log2=4，则a40a60=__________. 【解析】因为log2=4，所以a2a98=16，
因为数列{a n}为等比数列，所以a40a60=a2a98=16.
答案：16
15.已知x>0，y>0，且+=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围为__________.
【解析】因为x+2y==4++≥8，
当且仅当x=4，y=2时取等号，
由题意得：m2+2m<8，解得-4<m<2.
答案：(-4，2)
16.(2015·福安高二检测)甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向，两
船相距a 海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的 倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ=__________. 【解析】设追上时，乙船走了x 海里，甲船走了 x 海里， 根据余弦定理，( x)2=x 2+a 2-2xacos120°，
解得：x=a ，所以此三角形是等腰三角形，所以底角是30°，并且此时θ=30°. 答案：30°
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足 acosC-csin Α=0.
(1)求角C 的大小.
(2)已知b=4，△ΑΒC 的面积为6 c 的值. 【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理得：
sinAcosC-sinCsinA=0.
因为0<A<π，所以sinA>0， 从而 cosC=sinC ， 又cosC ≠0，所以tanC= 所以C=π
.
(2)在△ABC 中，S △ABC =
×4a ×sin π
=6 ，得a=6，
由余弦定理得：c 2=62+42
-2×6×4cos π
=28，
所以c=2 .
18.(12分)(2015·娄底高二检测)已知公差不为零的等差数列中，a3=7，且a1，a4，a13成等比数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)令b n=(n∈N*)，求数列的前n项和S n.
【解题指南】(1)只需确定首项和公差就能得到答案.根据题目中给的条件，建立关于首项和公差的关系式，解方程就可以求出首项和公差，从而得到的通项公式.
(2)用裂项相消法求数列的前n项和，然后再通过化简就可以得到数列的前n项和.
【解析】(1)设数列的公差为d.
因为
所以
解得：d=2或d=0(舍)，所以a1=3，
所以a n=2n+1(n∈N*).
(2)b n===.
所以S n=
==(n∈N*).
【补偿训练】已知等差数列{a n}中a2=9，a5=21.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)若b n=，求数列{log2b n}的前n项和S n.
【解析】(1)设等差数列的公差为d，
因为a2=9，a5=21，a5-a2=3d，所以d=4，
所以a n=4n+1.
(2)由(1)得b n==24n，
所以log2b n=log224n=4n，
所以是以4为首项，4为公差的等差数列，
所以S n==2n2+2n.
19.(12分)(2015·武汉高二检测)已知函数y=的定义域为R.
(1)求a的取值范围.
(2)若函数的最小值为，解关于x的不等式x2-x-a2-a<0.
【解题指南】(1)定义域为R，指被开方数恒大于等于0，讨论两种情况：a=0，a>0两种情况.(2)先根据函数的最小值，求参数a，然后将参数代入二次不等式，解不等式.
【解析】(1)因为函数y=的定义域为R，所以当a=0时，满足题意；
当a>0时，Δ=4a2-4a≤0，解得0<a≤1；所以a的取值范围是{a|0≤a≤1}. (2)因为函数y的最小值为，
所以≥，a∈[0，1]，
所以ax2+2ax+1≥.
当a=0时，不满足条件；
当0<a≤1时，ax2+2ax+1的最小值是=，所以a=；
所以不等式x2-x-a2-a<0可化为x2-x-<0，解得-<x<.
所以不等式的解集是.
20.(12分)(2015·东胜高二检测)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年的总收入为50万美元.设f(n)表示前n年的纯收入.(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额)
(1)从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案更合算？
【解析】由题意，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列.
f(n)=50n--72
=-2n2+40n-72.
(1)获取纯利润就是要求f(n)>0，
则-2n2+40n-72>0⇒2<n<18.
又n∈N*，
所以从第三年开始获取纯利润.
(2)①年平均利润为=40-2≤16，当且仅当n=6时取等号，
故此方案获利6×16+48=144(万美元)，此时n=6.
②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128，
当n=10时，f(n)max=128.
故此方案获利128+16=144(万美元)，此时n=10.
比较两方案，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案. 21.(12分)已知b 2+c 2=a 2+bc. (1)求角A 的大小. (2)如果cosB=
，b=2，求△ABC 的面积.
【解题指南】(1)利用余弦定理表示出cosA ，将已知等式变形后代入求出cosA 的值，即可确定出A 的大小.
(2)由cosB 的值，求出sinB 的值，利用正弦定理求出a 的值，将a 与b 的值代入已知等式中求出c 的值，由b ，c ，sinA 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积.
【解析】(1)因为b 2+c 2=a 2+bc ， 所以cosA=
=
，
又因为A ∈(0，π)，所以A=π
. (2)因为cosB=
，B ∈(0，π)，所以sinB= =
， 由正弦定理，得 =
，得a=
=3.
因为b 2+c 2=a 2+bc ， 所以c 2-2c-5=0， 解得c=1±
因为c>0，所以c= +1， 故△ABC 的面积
S=
bcsinA=
. 22.(12分)(2015·深圳高二检测)已知数列{a n }满足4a n =a n-1-3(n ≥2，且n ∈N *)，且a 1=-
，设b n +2=3
，n ∈N *，数列 满足c n =(a n +1)b n .
(1)求证：数列{a n+1}是等比数列并求出数列的通项公式.
(2)求数列{c n}的前n项和S n.
(3)对于任意n∈N*，t∈[0，1]，c n≤tm2-m-恒成立，求实数m的取值范围. 【解题指南】(1)等比数列的证明，一般采用定义法或者等比中项法，本题中根据题目所给条件得到a n+1=(a n-1+1)，即可证明{a n+1}是等比数列.然后求出新数列的通项公式，从而求出数列的通项公式.
(2)根据(1)求出的数列的通项公式，求出b n，继而求出的通项公式，然后通过错位相减法求出的前n项和.
(3)根据c n的单调性，求出c n的最大值，然后由含参不等式恒成立，求出参数的取值范围.
【解析】(1)因为4a n=a n-1-3，
所以4a n+4=a n-1+1，a n+1=(a n-1+1)，
所以{a n+1}是等比数列，其中首项是a1+1=，公比为，
所以a n+1=，a n=-1.
(2)b n+2=3lo(a n+1)(n∈N*)，
所以b n=3n-2，
由(1)知，a n+1=，又b n=3n-2，
所以c n=(3n-2)×(n∈N*).
所以S n=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×，
所以S n=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×，两式相减得
S n=+3-(3n-2)×
=-(3n+2)×.
所以S n=-.
(3)c n+1-c n=(3n+1)-(3n-2)
=9(1-n)(n∈N*)，所以当n=1时，c2=c1=，
当n≥2时，c n+1<c n，即c1=c2<c3<c4<…<c n，
所以当n=1或n=2时，c n取最大值是.
只需≤tm2-m-，
即tm2-m-≥0对于任意t∈[0，1]恒成立，即
所以m≤-.
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