高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数教案 必修1

第3章指数函数、对数函数和幂函数
3．1指数函数
3．1.1 分数指数幂
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解根式、分数指数幂的概念；
(2)掌握分数指数幂和根式之间的互化；
(2)掌握分数指数幂的运算性质．
2．过程与方法
(1)通过与初中所学的知识(平方根、立方根)进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质．
(2)通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念和指数幂的性质．
3．情感、态度与价值观
(1)培养学生观察、分析、抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
(2)通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
(3)让学生体验数学的简洁美和统一美．
●重点、难点
重点：根式、分数指数幂的概念及运算性质．
难点：运用分数指数幂运算性质化简求值．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于分数指数幂概念的引入的教学
建议教师由初中学习的a，3
a入手引入．
2．分数指数、无理数指数是指数概念的又一次扩充，也是学生学习的重点所在．
建议教师在教学中要让学生反复理解有理数指数幂的意义，分数指数不同于因式的乘积，而是根式的一种新写法，教学中可以通过根式和分数指数的互化来巩固加深对这一概念的理解．关于负分数指数幂和有理数指数幂的意义可以在正分数指数幂的基础上引导学生自己得出．
对于无理数指数幂的理解是个难点，可以充分借助科学计算器等计算工具初步理解无限
趋近这一重要数学思想．
3．正分数指数幂、负分数指数幂以及根式定义
(1)必须抓好定义中的底数a >0，并解释清楚a 为什么必须大于0，并不是所有的a <0都无意义，不要使学生进入一个误区，误认为a <0时以上定义均无意义．
(2)根式的概念是教学的难点，在教材的基础上，可以再举几个实例加深理解，n 次方根的性质实质是平方根、立方根性质的推广，教学时可以以平方根、立方根为基础加以说明．
(3)使学生明确三个概念之间的联系，分数指数幂与根式只是形式不同，它们之间是可
以互化的，a －m n ＝1a m
n
＝1n a m
(a >0，m ，n 均为正整数)．
(4)关于有理数指数幂的运算性质的教学
建议教师先复习幂的推广过程，同时要强调限制条件的变化，建议让学生用自己的语言叙述指数运算的三条性质．
●教学流程
错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒
完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的
互化(重点)．
2．掌握有理指数幂的运算法则(重点)．
3．了解实数指数幂的意义.
根式的有关概念
1．4的平方根是什么？8的立方根是什么？ 【提示】 ±2,2
2．我们知道x 2
＝a ，那么x 叫做a 的平方根，试想x 3
＝a ，x 4
＝a ，x 5
＝a …，x 如何定义？ 【提示】 x 分别叫做a 的立方根，四次方根、五次方根…
3．因(±2)4
＝16，则±2都是16的四次方根吗？16的平方根是多少？正数偶次方根都是两个吗？
【提示】 是，±4，是． 4．一个数的奇次方根有几个？ 【提示】 一个． 1．n 次实数方根
一般地，如果一个实数x 满足x n ＝a (n >1，n ∈N *
)，那么称x 为a 的n 次实数方根．需要注意的是，0的n 次实数方根等于0.
2．根式的定义
式子n
a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
分数指数幂的意义
【问题导思】
1．计算a 4
和5a 10(a >0)． 【提示】 a 4＝a 2
2
＝a 2
＝a 42
；
5
a 10＝
5
a 2
5
＝a 2
＝a 105
.
2．根据a －n
＝1a n ，计算m －43.
【提示】 m －43＝1
m 43.
一般地，我们规定
(1)a m n
＝n
a m
(a >0，m ，n 均为正整数)．
(2)a －m n ＝1
a m n
(a >0，m ，n 均为正整数)．
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．
有理数指数幂的运算性质
1．计算33
×3－5
和3
3＋(－5)
，它们之间有什么关系？
【提示】 33×3－5
＝19，33＋(－5)＝19，相等．
2．计算(22)1
2和22×12，它们之间有什么关系？
【提示】 (22)1
2＝412＝2,22×12＝21，相等．
有理数指数幂的运算性质 (1)a s a t
＝a
s ＋t
，
(2)(a s )t ＝a st
，
(3)(ab )t ＝a t b t
，其中s ，t ∈Q ，a >0，b >0.
利用根式的性质化简根式
求下列各式的值． (1)
5
－3
5
；(2)
4
－3
2
；(3)
4
π－4
2
；(4)a －b
2
.
【思路探究】 根据根式的定义，注意偶次根式与奇次根式的不同，用根式的性质解题． 【自主解答】 (1)5
－3
5
＝－3；
(2)4－32
＝432
＝3；
(3)
4
π－4
2
＝4－π；
(4)
a －
b 2＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
b a >b ，0 a ＝b ，
b －a a <b .
1．求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个．
2．根式运算中，经常会遇到开方与乘方并存情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对m
a n
仅当a ≥0时，恒有m
a n
＝(m
a )n
，若a <0，则不一定．
3．根式的性质，n 为奇数时n
a n
＝a ，n 为偶数时，n
a n
＝|a |＝⎩⎪⎨
⎪⎧
a
a ≥0，－a
a <0.
计算下列各式的值 (1)3－83
＝________；(2)
－10
2
＝________；
(3)
4
3－π
4
＝________；(4)
m －n
2
(m >n )＝________.
【解析】 3
－83
＝－8；－10
2
＝102
＝10；
4
3－π
4
＝|3－π|＝π－3；m －n 2
＝m －n .
【答案】 (1)－8 (2)10 (3)π－3 (4)m －n
根式与分数指数幂的互化
将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)
1
3
x
5
x 2
2
；
(2)(
4b －23)－23
(b >0)；
(3) a 3
a 4
a (a >0)．
【思路探究】 各小题中均含有根式，可将根式化为分数指数幂形式，根据分数指数幂的运算性质求解．
【自主解答】 (1)原式＝
1
3
x x 25
2
＝13xx 45
＝1
3
x
95
＝
1x 9513＝1x 35
＝x －3
5. (2)原式＝[(b －23)14]－23＝b －23×14×(－23)＝b 1
9
.
(3)法一 原式＝ a 3
aa 14
＝a a
541
3
＝(a 1＋512)1
2
＝a 1724
. 法二 原式＝(a
3
a 4
a )12
＝a 12(3
a 4
a )12
＝a 12[(a 4a )13]12＝a 12a 16(a 14)16＝a 12＋16＋124 ＝a 1724
. 1．此类问题应熟练应用a m n
＝n
a m (a >0，m ，n ∈N *
，且n >1)求解．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
2．一般来说，应化根式为分数指数幂，利用幂的运算性质运算． 用分数指数幂的形式表示下列各式(a >0 ，b >0)： (1)38－4；(2)
4－2
60
；(3)a
3
3
a 2；(4)a a ；(5) a
b 3ab 5.
【解】 (1) 38－4＝8－43＝(23
)－43＝2－4；
(2)
4
－2
60
＝2604
＝215
；
(3)a
3
3
a 2＝a 3a 23＝a 113
；
(4)a a ＝aa 12
＝
a 32＝a 34
；
(5) ab
3
ab 5＝ ab 3a 12b 52
＝ a 32b 112＝a 34b 114
.
利用分数指数幂的运算性质化简
求值
计算下列各式：
(1)(0.064)－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－0.75
＋|－0.01|12
；
(2)
3a
92
a －3
÷ 3
a －73
a 13(a >0)．
【思路探究】 先化简各个分数指数幂，然后再进行四则运算，注意一般先将小数化为分数．
【自主解答】 (1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]1
2
＝(0.4)－1
－1＋116＋18＋0.1＝14380
.
(2)原式＝[a 13×92a 13×(－32)]÷[a 12×(－73)a 12×13
3]
＝a 96－36＋76－136
＝a 0
＝1. 进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用，一般地进行分数指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
化简求值：
(1)a 23b 12(－3a 12b 13)÷(13a 16b 5
6)(a >0，b >0)；
(2)(0.064)－13－(－78)0＋(8116)14＋|－0.01|12.
【解】 (1)原式＝(－3÷13)a 23＋12－16b 12＋13－5
6
＝－9a .
(2)原式＝(0.43)－13－1＋[(32)4]14＋(0.12)1
2
＝0.4－1
－1＋32
＋0.1＝3.1.
条件等式的求值问题
已知a 12＋a －1
2＝4，求下列各式的值．
(1)a ＋a －1
； (2)a 2
＋a －2； (3)a 32－a －
3
2a 12－a －12
.
【思路探究】 从已知式子和所求式子的特征可以看出，将已知条件式变形平方后可得
a ＋a －1，而由a ＋a －1平方后又可得a 2＋a －2，因此可利用整体代换法求解．
【自主解答】 (1)∵a 12＋a －12＝a ＋1
a ＝4，
∴(a ＋
1
a
)2
＝a ＋1a
＋2＝16.
∴原式＝a ＋1
a
＝14.
(2)∵(a ＋1a )2＝a 2
＋1a
2＋2＝196，
∴原式＝a 2
＋1a
2＝194.
(3)∵a 32－a －32＝(a 12)3－(a －12
)3
，
∴a 32－a －
32a 12－a －12＝a 12－a －12a ＋a －1＋a 12·a －
1
2a 12－a －12
＝a ＋a －1
＋1＝15.
条件等式的求值是代数式中的常见题型．对该类问题一定要分析已知条件，通过将已知条件变形(如平方、因式分解等)寻找已知式和待求式的关系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”的思想方法去求值，可以简化解题过程．
已知x 12＋x －1
2＝3，求x 3
2
＋x －3
2－3
x 2＋x －2－2
的值．
【解】 ∵x 12＋x －1
2
＝3，
∴两边平方，得(x 12＋x －12)2
＝9，
∴x ＋x －1
＝7.
对x ＋x －1＝7两边平方， 得x 2
＋x －2＝47.
将x 12＋x －1
2
＝3两边立方，得
x 32＋x －32＋3(x 12＋x －12
)＝27，
即x 32＋x －3
2＝18.
∴原式＝18－347－2＝1
3
.
不理解n
a (n 为偶数，a >0)的意义致误
求4
81的值． 【错解】
4
81＝±3.
【错因分析】 认为481表示81的4次方根，81的4次方根应表示为±481，而4
81是其中之一．
【防范措施】 当n 为偶数时．正数a 的n 次方根表示为±n a ，而n
a 只是其中之一． 【正解】
481＝3.
1．分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算．利用分数指数幂进行根式的运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算，最后的结果再用根式表示．
2．应用公式进行根式的变形时，应注意公式成立的条件，以减少运算的失误．三条运算性质必须记准、记熟、会用、用活．
3．条件代数式化简的方法：条件代数式灵活化简很重要，在解化简求值问题时常用的方法有：有“求值后代换”或“整体代换”.
1．16的4次方根是________． 【解析】 ∵(±2)4
＝16，
∴16的4次方根是±2. 【答案】 ±2 2．化简
π－4
2
＋
3
π－4
3
的结果为________．
【解析】 原式＝|π－4|＋(π－4)＝4－π＋π－4＝0. 【答案】 0
3．已知a >0且a ＋a －1
＝2，则a 2
＋a －2
＝________. 【解析】 a 2
＋a －2
＝(a ＋a －1)2
－2＝4－2＝2. 【答案】 2
4．化简：
a 23
b －1－12a －12b
13
6
ab 5
(其中各字母均为正数)．
【解】 原式＝
a 23
b －1－12a －12b
13
a 16
b 56
＝a －13－12－16b 12＋13－56＝a －1＝1a
.
一、填空题
1．求下列各式的值： (1)5
－32＝________； (2)－3
4
＝________；
(3)
2－32
＝________.
【解析】 (1)5－32＝5－25
＝－2； (2)－3
4
＝34
＝9；
(3)
2－32
＝|2－3|＝3－ 2.
【答案】 (1)－2 (2)9 (3)3－ 2 2．计算23×31.5×6
12的结果是________． 【解析】 原式＝2×312×(32)13×(3×4)1
6
＝2(1－13＋13)×3(12＋13＋1
6
)
＝2×3 ＝6. 【答案】 6
3．如果x －2
3＝4，则x 的值是________．
【解析】 ∵x －23＝4，∴x ＝(14)32＝1
8.
【答案】 1
8
4．(2013·南通高一检测)化简
3
a
92a －3
(a >0)＝________. 【解析】 ∵a >0，∴原式＝3
a 92
a －32
＝3
a 3＝a .
【答案】 a
5．若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 1
2
)＝________.
【解析】 原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12＋1＋4x －12＋12＝4x 12－27－4x 1
2＋4＝－23.
【答案】 －23
6．计算：4－23＋4＋23＝________. 【解析】 原式＝3－1
2
＋3＋1
2
＝(3－1)＋(3＋1)＝2 3.
【答案】 2 3
7．已知10m ＝2,10n
＝3，则103m －n 2的值是________．
【解析】 由于10m
＝2,10n
＝3， 所以103m －n 2＝(103m －n )1
2
＝[(10m )3÷10n ]12＝(23
÷3)12
＝(83)12＝26
3. 【答案】
26
3
8．化简：
a 3
b 23
ab 2
a 14
b 12
4
a －13
b 13
(a >0，b >0)＝________.
【解析】 原式＝a 3b 2a 13b
2312ab 2a －13b 13＝a 53b
4
3a 23b
73
＝ab －1
＝a b .
【答案】 a b
二、解答题 9．(1)化简3
xy 2
xy －1xy (xy )－1；
(2)计算2－1
2
＋
－40
2
＋
1
2－1
－1－5
－823
. 【解】 (1)原式＝[xy 2(xy －1)12]1
3(xy )12－1
＝x 13y 23|x |16|y |－16|x |－12|y |－1
2
＝x 13|x |－13＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1，x >0，－1，x <0.
(2)原式＝
12
＋
12
＋2＋1－1－382
＝2＋2－4＝22－4.
10．(2013·天门高一检测)已知a ，b 是方程x 2
－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －b
a ＋b
的值．
【解】
a －b
a ＋b
＝a －b 2a ＋b a －b
＝a ＋b －2ab
a －
b .
∵a ，b 是方程x 2
－6x ＋4＝0的两根， ∴a ＋b ＝6，ab ＝4.
(a －b )2
＝(a ＋b )2
－4ab ＝62
－4×4＝20. 又a >b >0，∴a －b ＝2 5. ∴原式＝6－2×225
＝5
5.
11．已知函数f (x )＝2x ＋2－x 2，g (x )＝2x －2
－x
2.
(1)求证：[f (x )]2
－[g (x )]2
＝1；
(2)求证：f (2x )＝[f (x )]2
＋[g (x )]2
，g (2x )＝2f (x )g (x )．
【证明】 (1)[f (x )]2
－[g (x )]2
＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝2x ·2－x
＝1. (2)由f (x )＋g (x )＝2x ，f (x )－g (x )＝2－x
， 平方相加得2{[f (x )]2
＋[g (x )]2
}＝22x
＋2
－2x
＝2f (2x )，
即f (2x )＝[f (x )]2＋[g (x )]2
； 平方相减得4f (x )g (x )＝22x
－2－2x
＝2g (2x )，
即g (2x )＝2f (x )g (x ).
(教师用书独具)
已知pa 3＝qb 3＝rc 3，且1a ＋1b ＋1c ＝1.求证：(pa 2＋qb 2＋rc 2)1
3＝p 13＋q 13＋r 13
.
【思路探究】 令pa 3
＝qb 3
＝rc 3
＝k ，用等量代换分别表示出所证等式左、右两边的量，最后化简判断．
【自主解答】 令pa 3
＝qb 3
＝rc 3
＝k ，则pa 2
＝k
a
，qb 2
＝k b
，rc 2
＝k c
，
∴所证等式左边＝(k a ＋k b ＋k c )1
3
＝[k (1a ＋1b ＋1c )]13＝k 13
，
所证等式右边＝(k a 3)13＋(k b 3)13＋(k c 3)1
3
＝k 13(1a ＋1b ＋1c )＝k 13
， ∴(pa 2＋qb 2＋rc 2)1
3＝p 13＋q 13＋r 13
.
对于“恒等式”，如本例，我们往往令它等于一个常数k ，然后以k 为“媒介”化简，这样可以使问题很容易解决．
已知3a
·2b
＝3c
·2d
＝6，求证(a －1)(d －1)＝(b －1)·(c －1)． 【证明】 ∵3a
·2b
＝3×2，∴3a －1
·2
b －1
＝1，
∴(3a －1
·2
b －1)d －1
＝1，
即3
(a －1)(d －1)
·2
(b －1)(d －1)
＝1.①
又3c ·2d
＝3×2， ∴3
c －1
·2
d －1
＝1， ∴(3c －1
·2
d －1)
b －1
＝1，
即3
(c －1)(b －1)
·2
(d －1)(b －1)
＝1.②
由①②可知3
(a －1)(d －1)
＝3(c －1)(b －1)
，
∴(a －1)(d －1)＝(c －1)(b －1).3.1.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象与性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质． (2)体会数形结合的思想． 2．过程与方法
(1)能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征． (2)展示函数的图象，让学生观察，进而研究指数函数的性质． 3．情感、态度与价值观
(1)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．
(2)培养学生观察问题，分析问题的能力． ●重点、难点
重点：指数函数的概念及性质．
难点：指数函数性质的归纳、概括及应用．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于指数函数的概念的教学
建议教师先复习正整数指数函数的定义，类比此定义，引出此概念，并分析其定义的特点，以加深认识层次．
2．关于指数函数的图象与性质的教学
建议教师从实例y ＝2x
，y ＝(12)x 出发，让学生画出其图象，引导学生对比观察，类比正
整数指数函数图象性质，再得出一般指数函数的图象及性质，在教学过程中要注意多运用现代教学工具，直观教学．
3．关于函数图象变换的教学
建议教师结合具体函数如y ＝2x
，y ＝(12)x 的图象让学生观察总结规律，并给予相应的训
练，强调注意点，以强化记忆．
●教学流程
错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!
指数函数的定义
【问题导思】 已知y ＝2x
，y ＝(13
)x .
1．上面两个关系式是函数式吗？ 【提示】 是．
2．这两个函数在形式上有何共同特点？ 【提示】 底数为常数，指数为自变量．
一般地，函数y ＝a x
(a >0，a ≠1)叫做指数函数，它的定义域是R .
指数函数的图象与性质
【问题导思】
1．试作出函数y ＝2x
(x ∈R )和y ＝(12)x (x ∈R )的图象．
【提示】
2．两函数图象有无交点？
【提示】 有交点，其坐标为(0,1).3.两函数的图象与x 轴有交点吗？ 【提示】 没有交点，图象在x 轴上方．
4．两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？
【提示】 定义域都是R ；值域是(0，＋∞)；函数y ＝2x
是增函数，函数y ＝(12)x 是减
函数．
a >1 0<a <1
图象
性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞)
定点 图象过点(0,1)，即x ＝0时y ＝1
函数值
的变化
x >0时，y >1； x <0时，0<y <1 x >0时，0<y <1；
x <0时，y >1
单调性 在(－∞，＋∞)上是单调增函数 在(－∞，＋∞)上是单调减函数
指数函数的概念
下列函数中，哪些是指数函数？
(1)y ＝10x
；(2)y ＝10
x ＋1
；(3)y ＝－4x
；
(4)y ＝x x
；(5)y ＝x α
(α是常数)； (6)y ＝(2a －1)x
(a >12
，a ≠1)．
【思路探究】 依据是否符合y ＝a x
(a >0，a ≠1)的形式逐一给出判断． 【自主解答】 (1)y ＝10x
符合定义，是指数函数； (2)y ＝10
x ＋1
中指数是x ＋1而非x ，不是指数函数；
(3)y ＝－4x
中4x
的系数为－1而非1，不是指数函数；
(4)y ＝x x
中底数和指数均是自变量x ，不符合指数函数定义，不是指数函数． (5)y ＝x α
中底数是自变量，不是指数函数． (6)∵a >1
2
且a ≠1，∴2a －1>0且2a －1≠1.
∴y ＝(2a －1)x
(a >12
，a ≠1)符合指数函数的定义，是指数函数．
判断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否符合y ＝a x
(a >0，a ≠1)这一结构形式，其具备的特点为：
指数函数
⇒底数a 是一个常数，不含自变量x ，a >0，a ≠1a x
的系数为1指数位置是x 且它的系数为1
函数y ＝(a 2
－3a ＋3)a x
是指数函数，求a 的值． 【解】 ∵函数y ＝(a 2
－3a ＋3)a x
是指数函数，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧ a 2
－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1或a ＝2，a >0，
a ≠1，
∴a ＝2.
利用指数函数的单调性比较大小
比较下列各组数的大小：
(1)(56)－0.24与(56)－14；
(2)(1π)－π
与1；
(3)(0.8)－2
与(54)－12
.
【思路探究】 因为是两个指数幂比较大小，故解答本题可利用指数函数的图象与性质或通过寻求第三个数，将两数进行比较．
【自主解答】 (1)考察函数y ＝(56
)x .
∵0<56<1，∴函数y ＝(56)x
在(－∞，＋∞)上是减函数．
又－0.24>－14，
∴(56)－0.24<(56)－14
. (2)考察函数y ＝(1π)x ，∵0<1
π
<1，
∴函数y ＝(1π)x
在(－∞，＋∞)上是减函数．
又－π<0，∴(1π)－π>(1π)0
＝1.
(3)先考察函数y ＝0.8x
. ∵0<0.8<1，
∴函数y ＝0.8x
在(－∞，＋∞)上是减函数． 又－2<0，∴0.8－2
>0.80
＝1. 再考察函数y ＝(54
)x
.
∵54>1，∴函数y ＝(54)x
在(－∞，＋∞)上是增函数． 又－12<0，∴(54)－12<(54)0
＝1.
综上可知0.8－2
>(54)－12.
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较． 比较下列各组数的大小 (1)1.72.5,
1.73；(2)0.8－0.1,
1.250.2
；
(3)1.7
0.3,
0.93.1
.
【解】 (1)由于底数1.7>1，所以指数函数y ＝1.7x
在(－∞，＋∞)上是增函数． 又因为2.5<3，所以1.72.5
<1.73
. (2)1.250.2
＝0.8－0.2
，由于0<0.8<1，所以指数函数y ＝0.8x
在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以0.8
－0.1
<1.250.2
.
(3)由指数函数的性质得1.70.3
>1.70
＝1,0.93.1
<0.90
<1，所以1.70.3
>0.93.1
.
利用指数函数的单调性解不等式
如果a
2x ＋1
≤a
x －5
(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围．
【思路探究】 分a >1和0<a <1两种情况，并结合指数函数的单调性求解． 【自主解答】 (1)当0<a <1时，由a 2x ＋1
≤a
x －5
，
知2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. (2)当a >1时，由a
2x ＋1
≤a
x －5
，
知2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6. 综上所述，x 的取值范围是： 当0<a <1时，{x |x ≥－6}； 当a >1时，{x |x ≤－6}．
解指数不等式问题，需注意三点：
(1)形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x
的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；
(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x
的单调性求解；
(3)形如a x >b x
的形式，利用图象求解． 把题设条件“a
2x ＋1
≤a
x －5
”换成“a
2x ＋1
≤1”，其余条件不变，求相应问题．
【解】 (1)当0<a <1时，由a 2x ＋1
≤1＝a 0
，得2x ＋1≥0，解得x ≥－12
.
(2)当a >1时，由a
2x ＋1
≤1＝a 0
，得2x ＋1≤0，解得x ≤－12
.
综上所述，当0<a <1时，x 的取值范围是{x |x ≥－1
2
}；
当a >1时，x 的取值范围是{x |x ≤－1
2
}.
对指数函数的概念理解不深刻致误
判断下列函数是否为指数函数． ①y ＝2x
＋2；②y ＝x 12；③y ＝(13
)－x .
【错解】 ①②是指数函数，③不是指数函数．
【错因分析】 忽略了指数函数的解析式是单项式，误认为①是指数函数；忽略了自变量在指数位置，误认为②是指数函数；没有将y ＝(13)－x 变形为y ＝3x
，误认为③不是指数函
数．
【防范措施】 对指数函数y ＝a x
(a >0，a ≠1)的解析式，要把握如下特点：①自变量在指数位置，②底数是大于0且不等于1的常数，③解析式是单项式且系数为1.
【正解】 ①②不是指数函数，③是指数函数． 1．准确理解指数函数的定义
在指数函数的定义表达式y ＝a x
(a >0，且a ≠1)中，a x
前的系数必须是1，自变量x 在指数的位置上，否则不是指数函数．
2．幂的大小比较
幂的大小比较常用的方法有：作差(商)法，函数单调性法，中间值法以及数形结合法． 3．解型如a
f (x )
>a
g (x )
(a >0且a ≠1)的不等式，主要依据指数函数的单调性，当a >1时，
可转化为f (x )>g (x )，当0<a <1时，可转化为f (x )<g (x ).
1．下列函数中是指数函数的序号是________． (1)y ＝x 4
；(2)y ＝2－x
；(3)y ＝－2x
； (4)y ＝(－2)x
；(5)y ＝πx
.
【解析】 (1)(3)不满足指数函数的基本形式，即y ＝a x
，故不是指数函数； (4)中a ＝－2<0，不是指数函数；
函数y ＝2－x
＝(12)x ，则(2)中函数是指数函数，(5)显然也是指数函数，故(2)(5)是指数
函数．
【答案】 (2)(5)
2．函数f (x )＝5x
＋1的值域为________．
【解析】 ∵5x
>0，∴5x
＋1>1，即函数的值域为(1，＋∞)． 【答案】 (1，＋∞)
3．(2013·宿迁高一检测)已知a ＝
5－12
，函数f (x )＝a x
，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，
则m 、n 的大小关系为________．
【解析】 ∵0<
5－1
2
<1， ∴f (x )＝a x
在R 上单调递减，又f (m )>f (n )，∴m <n . 【答案】 m <n
4．比较下列各组数的大小． (1)(23)－1.8与(23)－2.6
；
(2)(56)－2
3与1；
(3)1.80.4
与0.75.1
.
【解】 (1)考察函数y ＝(23)x
，它在R 上是单调减函数．
∵－1.8>－2.6， ∴(23)－1.8<(23
)－2.6. (2)考察函数y ＝(56)x
，它在R 上是单调减函数．
∵－23<0，∴(56)－23>(56)0＝1，∴(56)－23
>1.
(3)由指数函数性质知1.80.4
>1.80
＝1,0.75.1
<0.70
＝1，故1.80.4
>0.75.1
.
一、填空题
1．函数y ＝(a －2)x
是指数函数，则a 的取值范围是________． 【解析】 由题意，得a －2>0且a －2≠1， ∴a >2且a ≠3. 【答案】 a >2且a ≠3
2．若指数函数f (x )的图象经过点(2,9)，则f (1)＝________. 【解析】 设f (x )＝a x
(a >0且a ≠1)， 由a 2
＝9得a ＝3， ∴f (x )＝3x
，则f (1)＝3. 【答案】 3
3．函数y ＝2x
－8的定义域为________， 【解析】 由2x
－8≥0得x ≥3. 【答案】 [3，＋∞) 4．不等式0.52x
>0.5
x －1
的解集为________．
【解析】 由0.52x >0.5x －1
，得2x <x －1，解得x <－1.∴原不等式的解集为{x |x <－1}．
【答案】 {x |x <－1}
5．函数y ＝16－4x
的值域是________． 【解析】 ∵4x
>0， ∴0≤16－4x
<16， ∴y ＝16－4x
∈[0,4)． 【答案】 [0,4)
6．下列图中，二次函数y ＝ax 2
＋bx 与指数函数y ＝(b
a
)x
的图象只可能为________． 【解析】 由指数函数y ＝(b a
)x
的图象知0<b a
<1，
∴a ，b 同号，二次函数y ＝ax 2
＋bx 的对称轴是直线x ＝－b 2a ，而0>－b 2a >－12
，
∴②③④都不正确． 【答案】 ①
7．当x >0时，(a 2
－1)x
<1恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 ∵x >0时，(a 2
－1)x
<1恒成立． ∴0<a 2
－1<1，解得1<a <2或－2<a <－1. 【答案】 1<a <2或－2<a <－1
8．(2013·临沂高一检测)函数y ＝(13)x －3x
在区间[－1，1]上的最大值为________．
【解析】 因y ＝(13)x 与y ＝－3x 在[－1, 1]上为减函数，故函数y ＝(13)x －3x
在[－1,1]
上单调递减，
∴y max ＝(13)－1－3－1
＝83.
【答案】 8
3
二、解答题
9．设f (x )＝3x
，g (x )＝(13
)x .
(1)在同一坐标系中作出f (x )、g (x )的图象；
(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？
【解】 (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：
(2)f (1)＝31
＝3，g (－1)＝(13
)－1＝3；
f (π)＝3π，
g (－π)＝(13
)－π＝3π； f (m )＝3m ，g (－m )＝(13
)－m ＝3m .
从计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．
10．已知函数f (x )＝a x －1
(x ≥0)的图象经过点(2，1
2
)，其中a ＞0，a ≠1.
(1)求a 的值；
(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域； (3)比较f (2)与f (b 2
＋2)的大小． 【解】 (1)函数图象过点(2，1
2)，
所以a
2－1
＝12，则a ＝12
. (2)f (x )＝(12)x －1
(x ≥0)，
由x ≥0得，x －1≥－1， 于是0＜(12)x －1≤(12)－1
＝2.
所以函数的值域为(0,2]．
(3)∵f (x )＝(12)x －1是减函数，且b 2
＋2≥2，
∴f (b 2
＋2)≤f (2)．
11．函数f (x )＝a x
(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a
2，求a 的值．
【解】 (1)若a >1，则f (x )是增函数，由题意可得f (2)－f (1)＝a
2
，
即a 2
－a ＝a 2，解得a ＝32
.
(2)若0<a <1，则f (x )是减函数，故f (1)－f (2)＝a
2，
即a －a 2
＝a
2，
解得a ＝1
2
.
综上所述，a ＝12或a ＝3
2
.
(教师用书独具)
求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝21
x －1
； (2)y ＝5
2x －1
；
(3)y ＝(12)2x －x 2
；
(4)y ＝9x
＋2×3x
－1.
【思路探究】 本题主要考查指数型函数的定义域与值域，求值域时，关键由定义域、单调性和指数函数的值域求解．
【自主解答】 (1)要使函数有意义，则x －1≠0，即x ≠1，∴函数的定义域为{x |x ≠1，且x ∈R }．
∵x ≠1，
1x －1≠0，∴21
x －1
≠1. ∴函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}．
(2)由2x －1≥0，得函数的定义域为{x |x ≥1
2}．
∵2x －1≥0，∴2x －1≥0，∴y ＝52x －1
≥1.
∴函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域为R .
∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝(12)2x －x 2
≥12.
∴函数的值域为{y |y ≥1
2}．
(4)函数的定义域为R .
令t ＝3x ，则t >0，y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2
－2，其对称轴为－1. 当t >0时，函数y ＝(t ＋1)2
－2为单调增函数， ∴当t >0时，y ＝(t ＋1)2
－2>1－2＝－1. ∴函数的值域为{y |y >－1}．
一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A ，再由函数的定义域A 求内函数的值域B ，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如第(4)小题是由函数y ＝t 2
＋2t －1和函数t ＝3x
复合而成，先求得原函数的定义域为R ，再由x ∈R ，得
t >0(即得到内函数的值域B )，然后由t >0，得到原函数的值域为{y |y >－1}．
(1)函数y ＝2
1
x －3
的定义域是________，值域是________． (2)函数y ＝(23)－|x |
的值域是________，
【解析】 (1)由x －3≠0，得x ≠3， ∴定义域为{x |x ≠3}． 又
1x －3≠0，∴21x －3
≠1， ∴y ＝2
1
x －3
的值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)定义域为x ∈R ， ∵|x |≥0，∴－|x |≤0， ∴y ＝(23
)－|x |
的值域为{y |y ≥1}．
【答案】 (1){x |x ≠3} {y |y >0且y ≠1} (2){y |y ≥1}第2课时 指数函数的图象与
性质的应用 (教师用书独具)
●三维目标 1．知识与技能
(1)掌握函数图象的平移变换与对称变换．
(2)熟练掌握指数形式的函数定义域、值域的求法以及单调性、奇偶性判断． (3)会解指数函数型的应用题． 2．过程与方法
(1)让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理． (2)培养学生观察问题，分析问题能力． 3．情感、态度与价值观
(1)认识从特殊到一般的研究方法． (2)了解数学在生产实际中的应用． ●重点、难点
重点：指数形式的函数图象、性质的应用． 难点：判断单调性．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于函数图象变换的教学
建议教师结合教材例3总结基本函数图象的变换规律，即y ＝f (x )的图象通过平移得到
y ＝f (x ＋a )与y ＝f (x )＋a 的图象，通过对称可得到y ＝f (－x )，y ＝－f (x )与y ＝－f (－x )
的图象，并比较它们变换的不同之处．
2．关于指数函数单调性应用的教学
建议教师在教学时，对学生特别强调底数a 的范围对于单调性的影响，以便利用单调性进行数的大小比较以解不等式，对于含有参数的不等式要注意分类讨论．
3．关于指数函数型模型的应用题的教学
建议教师在加强学生对函数概念的理解和指数函数性质的运用时，同时要强调面对具体的问题，对其中蕴含的一些数学模型进行思考和作出判断，建立合理的数学模型，通过数学的方式解决实际应用题．
●教学流程
通过例1及其变式训练，使学生掌握与指数函数有关的几种党风函数的变换方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握运用指数函数解决实际应用问题的方法⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握综合运用指数函数的性质解决有关问题的方法⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒
完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.掌握函数图象的平移变换和对称变换(重
点)．
2.会解指数函数型的应用题(难点).
函数图象的变换
利用函数f (x )＝(12)x
的图象，作出下列各函数的图象．
(1)f (x －1)；(2)f (x ＋1)；(3)－f (x )； (4)f (－x )；(5)f (x )－1.
【思路探究】 解答本题的关键在于分清楚变换过程，先画出y ＝(12)x
的图象，再画出
所要作的图象．
【自主解答】 图象如图所示： 函数图象变换的规律：
(1)对于左右平移变换，可以简单记作：左加右减，它只变其中的x ，如y ＝3x 2――→左移
2个单位
y ＝3(x ＋2)2；
(2)对于上下平移变换，可简单记作：上加下减，它是作用于解析式整体上的，如y ＝
3x 2――→上移2个单位y ＝3x 2＋2；
(3)对于对称变换的特点：关于x 轴对称：“y ”变为“－y ”；关于y 轴对称：“x ”变为“－x ”．可简单记作关于哪个轴对称，哪个轴对应的变量不变，即对称变换只分别作用于x 和y ，与它们的系数无关．
已知函数y ＝(12)|x |，作出函数图象，求定义域、值域，并探讨y ＝(12)x (x ≥0)与y ＝(12)
|x |
的图象的关系．
【解】 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
12x ，x ≥0，2x ，x <0的图象如图所示，
定义域为R ，值域为(0,1]．
图象间的关系：将y ＝(12)x
(x ≥0)的图象翻折到y 轴左侧(右侧的图象不动)，得到y ＝
(12
)|x |
的图象.
指数函数的应用题
某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题： (1)试写出x 年后该城市人口总数y 万人与x 之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．
【思路探究】 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为
P ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋P )x 表示．
【自主解答】 (1)1年后城市人口总数为：
y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．
2年后城市人口总数为：
y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100(1＋1.2%)2
，
同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3
， …
故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：
y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．
答：(1)x 年后该城市人口总数y 万人与x 之间的函数关系式为y ＝100(1＋1.2%)x
. (2)10年后该城市人口总数约为113万人．
解决实际应用题的步骤：
(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；
(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；
(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；
(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答． 某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木．该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满，问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？(参考数据：1.15
≈1.61)
【解】 不妨设新树苗的木材量为Q ，若连续生长10年，则木材量为
N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5；
若生长5年重栽新树苗，则木材量为M ＝2Q (1＋18%)5
，则
M N ＝
2Q 1＋18%5
Q 1＋18%51＋10%
5
＝21.15≈21.61
>1. 所以M >N ，即生长5年重栽新树苗可获得较多的成材木材量.
指数函数性质的综合应用
若函数y ＝a ·2x －1－a
2x
－1
为奇函数．
(1)确定a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域； (4)讨论函数的单调性．
【思路探究】 先由f (－x )＝－f (x )求出a 的值，再分别解决其他问题． 【自主解答】 先将函数y ＝
a ·2x －1－a
2x
－1
化简为y ＝a －1
2x －1
.
(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0， 即a －12－x －1＋a －1
2x －1＝0.
∴2a ＋1－2x
1－2x ＝0.∴a ＝－12.
(2)∵y ＝－12－12x －1
，∴2x
－1≠0.
∴函数y ＝－12－1
2x －1的定义域为{x |x ≠0}．
(3)∵x ≠0，∴2x
－1>－1.
又∵2x －1≠0，∴0>2x －1>－1或2x
－1>0. ∴－12－12x －1>12或－12－12x －1<－12，
即函数的值域为{y |y >12或y <－1
2}．
(4)当x >0时，设0<x 1<x 2， 则y 1－y 2＝
12x 2－1－12x 1－1
＝2x 1－2x 2
2x 2－12x 1－1
.
∵0<x 1<x 2， ∴1<2x 1<2x 2.
∴2x 1－2x 2<0,2x 1－1>0,2x 2－1>0. ∴y 1－y 2<0.
因此y ＝－12－1
2x －1
在(0，＋∞)上递增．
由于y ＝f (x )是奇函数，从而y ＝－12－1
2x －1
在(－∞，0)上也是递增的．
1．在解答第(3)问时注意应用指数函数y ＝2x
的值域．在解答第(4)问时注意作差变形是解题的关键．
2．与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解.
将本题中函数改为f (x )＝a －
2
2x
＋1
(x ∈R )试解答下面问题： (1)证明：对于任意a ，f (x )在R 上为增函数； (2)试确定a 的值，使f (x )为奇函数． 【解】 (1)设x 1、x 2∈R ，x 1<x 2， ∴f (x 2)－f (x 1)＝a －22x 2＋1－(a －2
2x 1＋1
) ＝
2
2x 2－2x 1
2x 2＋12x 1＋1
.
由于指数函数y ＝2x
在R 上是增函数，且x 1<x 2， ∴2x 1<2x 2，2x 2－2x 1>0.
又由2x
>0，得2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)． ∵此结论与a 取值无关，
∴对于任意实数a ，f (x )在R 上为增函数． (2)若f (x )为奇函数， 则f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x ＋1＝－a ＋2
2x ＋1
，
变形，得2a ＝22x ＋1＋22－x ＋1＝2＋2·2x
2x ＋1＝2，解得a ＝1.
∴当a ＝1时，f (x )为奇函数.
忽略指数函数的值域致误
已知方程9x －2·3x
＋3k －1＝0有两个实数解，试求实数k 的取值范围． 【错解】 令t ＝3x ，则原方程可化为t 2
－2t ＋3k －1＝0， 要使方程有两个实数解，则Δ＝(－2)2
－4(3k －1)≥0， 解得k ≤2
3
.
【错因分析】 换元后t ＝3x >0.Δ≥0只能保证方程t 2
－2t ＋3k －1＝0有两个实数解，不能保证原方程有两个实数解．
【防范措施】 用换元法解题时，一定要利用原变量的范围确定中间变量的范围，这样才可达到等价变换的效果．
【正解】 令t ＝3x
，则t >0.
原方程有两个实数解，即方程t 2
－2t ＋3k －1＝0有两个正实数解，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝－22－43k －1≥0，t 1＋t 2＝2>0，t 1t 2＝3k －1>0，
解得13<k ≤23
.
1．图象变换法作图的一般步骤是：选取函数；写变换过程；画图象． 2．利用函数的单调性规律判断y ＝f (a x
)型或y ＝a f (x )
型函数的单调性，是一种重要的题
目类型，解决该问题的主要方法是“换元法”．
3．本节知识在日常生活、生产中应用广泛，可涉及增长率、销售、税收等各个方面，在解决各类问题时，要细心分析，联系已学的知识及方法，将实际问题解决.
1．函数y ＝2
x ＋1
的图象是图中的________．(填序号)
【解析】 y ＝2x ＋1
的图象是由y ＝2x
的图象向左平移一个单位得到的，故②正确．。