2013年山西省中考适应性训练数学试卷及答案(word解析版)

山西省2013年中考适合性训练数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选择并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2分）（2013•山西模拟）一个数的绝对值等于2013，这个数是（）
A．2013 B．﹣2013 C．±2013 D．
考点：绝对值．
分析：根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值即可求解．
解答：解：因为|2013|=2013，|﹣2013|=2013，
所以绝对值等于2013的数是±2013．
故选C．
点评：此题主要考查了绝对值，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
本题是绝对值性质的逆向使用，此类题要注意答案一般有2个，除非绝对值为0的数才只有一个为0．
2．（2分）（2013•山西模拟）计算a2•a4的结果是（）
A．a8B．a6C．2a6D．2a8
考点：同底数幂的乘法．
分析：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n计算即可．
解答：解：a2•a4=a2+4=a6．
故选B．
点评：主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．（2分）（2013•山西模拟）在一个不透明的袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中黄球2个，红球1个，白球2个．“从中任意摸出3个球，它们的颜色相同”这个事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定事件
考点：随机事件．
分析：根据不可能事件的概念即不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件实行解答即可．
解答：解：∵袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中黄球2个，红球1个，白球2个，
∴从中任意摸出3个球，它们的颜色相同是不可能事件；
故选B．
点评：本题主要考查的是对随机事件，掌握不可能事件的概念是解题的关键，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
4．（2分）（2013•山西模拟）如图，将直角三角板ABC沿BC方向平移，得到△A′CC′．已知∠B=30°，∠ACB=90°，则∠BAA′度数为（）
A．100°B．120°C．150°D．160°
考点：平移的性质．
分析：根据平移的性质，对应点的连线互相平行可得AA′∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
解答：解：∵△ABC平移得到△A′CC′，
∴AA′∥BC，
∵∠B=30°，
∴∠BAA′=180°﹣∠B=180°﹣30°=150°．
故选C．
点评：本题考查了平移的性质，熟记平移的性质，得到AA′∥BC是解题的关键．
5．（2分）（2013•山西模拟）如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“西”字对面的字是（）
A．我B．爱C．美D．丽
考点：专题：正方体相对两个面上的文字．
分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这个特点作答．
解答：解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“我”与“山”是相对面，
“爱”与“丽”是相对面，
“美”与“西”是相对面．
故选C．
点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
6．（2分）（2013•山西模拟）一个多边形的每个外角都等于30°，则它的内角和等于（）A．720°B．1080°C．1800°D．2160°
考点：多边形内角与外角．
分析：多边形的外角和是固定的360°，依此能够先求出多边形的边数．再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出多边形的内角和．
解答：解：∵一个多边形的每个外角都等于30°，
∴多边形的边数为360°÷30°=12，
∴这个多边形的内角和=180°×（12﹣2）=1800°．
故选C．
点评：本题考查多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征．
7．（2分）（2013•山西模拟）2013年1月份，太原市某周的日最高气温统计如下表：则这七天中日最高气温的众数和中位数分别是（）
日期21 22 23 24 25 26 27
最高气温（℃） 2 4 5 3 4 6 7
A．4；4 B．5；4 C．4；3 D．4；4.5
考点：众数；中位数．
分析：根据众数和中位数的定义解答即可．
解答：解：将数据按照从小到大依次排列，2，3，4，4，5，6，7，
处在中间位置的数是4，即中位数是4；
出现次数最多的数是4，即众数是4．
故选A．
点评：本题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，出现次数最多的数叫众数．
8．（2分）（2013•山西模拟）分式方程的解是（）
A．﹣1 B．1C．﹣2 D．2
考点：解分式方程．
分析：方程两边乘最简公分母x，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答：解：方程的两边同乘x，得
2+x﹣1=2x，
解得x=1．
检验：把x=1代入x=1≠0．
∴原方程的解为：x=1．
故选B．
点评：本题考查了解分式方程，解题的关键是注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
9．（2分）（2013•山西模拟）在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：．已知20℃时，硝酸钾的溶解度是31.6克，在此温度下，
设x克水可溶解硝酸钾y克，则y关于x的函数关系式是（）
A．y=0.316x B．y=31.6x C．D．
考点：根据实际问题列一次函数关系式．
专题：溶液问题；压轴题．
分析：将各数值代入公式即可求得．
解答：
解：=，即y=0.316x，
故选A．
点评：此题将化学问题与数学相结合，体现了学科渗透和用数学解决实际问题的理念．
10．（2分）（2013•山西模拟）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于（）米．
A．a sin40°B．a cos40°C．a tan40°D．
考点：解直角三角形的应用．
分析：直接根据锐角三角函数的定义进行解答即可．
解答：解：∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，
∴tan∠C=tan40°=，
∴AB=atan40°．
故选C．
点评：本题考查的是解直角三角形的应用及锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
11．（2分）（2013•山西模拟）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）A．B．C．x（x﹣1）=1560 D．x（x+1）=1560
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
分析：可设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，共写x（x﹣1）份留言，进而可列出方程，解方程即可．
解答：解：设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）=1560，
故选：C．
点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，其中x（x﹣1）不能和握手问题那样除以2，另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性，即考虑解的取舍．
12．（2分）（2013•山西模拟）如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合．若AB=4，则菱形ABCD的面积为（）
A．2B．4C．8D．8
考点：翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．
分析：
由△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合得到AD=DE=AD，CE⊥AE，
AC=CD=AB=4，再利用勾股定理求出CD的长，利用菱形的面积公式求出面积的值．解答：解：∵将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，
∴AD=DE=AD，CE⊥AE，AC=CD=AB=4，
在Rt△AEC中，
CD2=AC2+AE2，
解得CD=2，
即菱形ABCD的面积=AD•CE=2×4=8．
故选D．
点评：本题主要考查翻折变换以及菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案写在题中横线上）
13．（3分）（2013•山西模拟）计算﹣4sin45°的结果是．
考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．
分析：分别进行二次根式的化简、特殊角的三角函数值等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．
解答：
解：原式=3﹣4×
=．
故答案为：．
点评：本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
14．（3分）（2013•山西模拟）经过一年的广泛征集、反复提炼，“山西精神”的表述语“信义、坚韧、创新、图强”于2012底正式对外公布．据不完全统计，山西全省共约121万人参与了征集提炼活动．121万人用科学记数法表示为 1.21×106人．
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易
错点，由于121万有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．
解答：解：121万=1 210 000=1.21×106．
故答案为：1.21×106．
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
15．（3分）（2013•山西模拟）在一个不透明的盒子里装有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸回1个球不放回，再摸出一个球．那么
这两个球上数字之和为奇数的概率为．
考点：列表法与树状图法．
分析：首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：列表得：
1 2 3 4
1 （1，2）（1，3）（1，4）
2 （2，1）（2，3）（2，4）
3 （3，1）（3，2）（3，4）
4 （4，1）（4，2）（4，3）
所有情况有12种，符合要求的一共有9种，
故这两个球上数字之和为奇数的概率为：．
故答案为：．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）（2013•山西模拟）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，点E为AB的中点，点F为BC的中点，AB=4，EF=2，∠B=60°，则AD的长为2．
考点：直角梯形；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
分析：先过F作FM⊥EB，垂足为M，根据AB=4，EF=2，点E为AB的中点，得出AE=EB=EF，再根据∠B=60°，得出△FEB是等边三角形，EM=MB，在Rt△FMB中，根据正切求出MF的值，最后根据ABCD是直角梯形AB∥CD，点F为BC的中点，得出AD=2FM，即可求出答案．
解答：解：过F作FM⊥EB，垂足为M，
∵AB=4，点E为AB的中点，
∴AE=EB=2，
∵EF=2，
∴EB=EF，
∵∠B=60°，
∴△FEB是等边三角形，
∴EM=MB=1，
∴MF=tan60°•MB=，
∵ABCD是直角梯形，AB∥CD，点F为BC的中点，
∴AD=2FM=2×=2．
故答案为：2．
点评：此题考查了直角梯形，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、特殊角的三角函数，解题的关键是做出辅助线，得出FM是AD的一半．
17．（3分）（2013•山西模拟）如图，若将平面直角坐标系中“鱼”以原点O为位似中心，按照相似比缩小，则点A的对应点的坐标是（3，﹣2）或（﹣3，2）．
考点：位似变换；坐标与图形性质．
分析：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，结合题意即可得出答案．
解答：
解：∵A（6，﹣4）以坐标原点O为位似中心，相似比为缩小，
∴对应点A′的坐标分别是：A′（3，﹣2）或（﹣3，2）．
故答案为：（3，﹣2）或（﹣3，2）．
点评：此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点之间的关系是解题关键．18．（3分）（2013•山西模拟）在一次猜数字游戏中，小红写出如下一组数：1，，，，…，小军猜想出的第六个数字是，也是正确的，根据此规律，第n个数是．
考点：规律型：数字的变化类．
分析：
先把原数据整理得到，，，，…，即每个数据的分子为数据的序号的3倍，分母为序号的2倍加1，则可得到第n个数是．
解答：
解：把这组数：1，，，，…，变形得到，，，，，…，即，，，，…，
所以第六个数字是=，第n个数是．
故答案为．
点评：本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
三、解答题（本大题共8小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）（2013•山西模拟）（1）计算：m（m+2）﹣（m﹣1）（m+3）+（﹣2m）2
（2）化简分式+﹣1，并选取一个你认为合适的整数a代入求值．
考点：分式的化简求值；整式的混合运算．
专题：计算题．
分析：（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．
解答：解：（1）原式=m2+2m﹣（m2+2m﹣3）+4m2=m2+2m﹣m2﹣2m+3+4m2=4m2+3；
（2）原式=•﹣1
=﹣1
=，
当a=1时，原式===2．
点评：本题考查的是分式的化简求值与整式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20．（6分）（2013•山西模拟）如图1利用正方形各边中点和弧的中点设计的正方形瓷砖图案，用四块如图1所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．请你在图2和图3中各画一种拼法（要求两种拼法各不相同）．
考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
分析：本题可考虑以正方形的中心为中心对称图形的中心，或者以图中每个正方形的实线为对称轴，进行图形变换，得出轴对称或者中心对称图形．
解答：解：如图所示：答案不唯一．
点评：本题考查了运用旋转，轴对称方法设计图案的问题．关键是熟悉有关图形的对称性，利用中心对称性拼图．
21．（9分）（2013•山西模拟）某科学技术协会为倡导青少年主动进行研究性学习，积极研究身边的科学问题，组织了以“体验、创新、成长”为主题的青少年科技创大赛，在层层选拔的基础上，所有推荐参赛学生分别获得了一、二、三等奖和纪念奖，工作人员根据获奖情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）这次大赛获得三等奖的学生有多少人？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中，表示三等奖扇形的圆心角是多少度？
（4）若给所有推荐参赛学生每人发一张相同的卡片，各自写上自己的名字，然后把卡片放入一个不透明的袋子里，摇匀后任意摸出一张，求摸出写有一等奖学生名字卡片的概率．
考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
分析：（1）用单位1减去其他各组的所占的百分比，求得总人数，然后乘以其所占的百分比即可；
（2）根据（1）求出的数据画出图形即可；
（3）用360°×三等奖的概率即可得到圆心角的度数；
（4）一等奖的人数除以总人数即可得到抽到一等奖的概率．
解答：解：（1）参赛总人数为20÷10%=200（人），
由1﹣10%﹣18%﹣42%=30%，所以三等奖所占的比例为30%，
200×30%=60（人），
答：这次大赛获得三等奖的学生有60人；
（2）如图所示：
（3）360°×30%=108°，
答：扇形统计图中，表示三等奖扇形的圆心角是108°；
（4）摸出写有一等奖学生名字卡片的概率：20÷200=．
答：摸出写有一等奖学生名字卡片的概率为．
点评：本题考查了条形统计图、扇形统计图及概率的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出进一步解题的有关信息．
22．（8分）（2013•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数y1=kx+b 与反比例函数y2=的图象相交于A（﹣2，m），B（n，4）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式（关系式）；
（2）根据函数图象，写出：
①当﹣2≤y1≤4时，自变量x的取值范围是﹣2≤x≤1；
②当y2≤4时，自变量x的取值范围是x＜0或x≥1；
（3）连接OA、OB，求△AOB的面积．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
（1）先将A（﹣2，m），B（n，4）两点的坐标代入反比例函数y2=的解析式，求出m=﹣2，n=1，再将A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点的坐标代入y1=kx+b，运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）①根据题意，结合图象，找出一次函数的函数值在﹣2与4之间对应的自变量x的取值即可；
②根据题意，结合图象，找出一次函数的函数值不大于4时对应的自变量x的取值
即可；
（3）先根据一次函数的解析式求出C点坐标，再根据△AOB的面积=△AOC的面积+△COB的面积即可求解．
解答：
解：（1）∵反比例函数y2=的图象经过点A（﹣2，m），B（n，4）两点，
∴m==﹣2，4=，解得n=1．
∵一次函数y1=kx+b的图象也经过点A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，
∴，解得．
∴一次函数的解析式为y1=2x+2；
（2）①∵一次函数y1=kx+b的图象经过点A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，
∴根据图象可知，当﹣2≤y1≤4时，自变量x的取值范围是﹣2≤x≤1；
②∵反比例函数y2=的图象B（1，4），
∴根据图象可知，当y2≤4时，自变量x的取值范围是x＜0或x≥1；
故答案为﹣2≤x≤1；x＜0或x≥1；
（3）∵一次函数y1=2x+2与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，2），
∴△AOB的面积=△AOC的面积+△COB的面积
=×2×2+×2×1
=2+1
=3．
点评：此题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等知识，难度适中，体现了数形结合的思想．
23．（9分）（2013•山西模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在CO的延长线上，连接BD．已知BC=BD，AB=4．
（1）若BC=2，求证：BD是⊙O的切线；
（2）BC=3，求CD的长．
考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．
专题：计算题．
分析：（1）由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，进而得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出sinA的值，利用特殊角的三角函数值求出∠A的度数为60度，再由OA=OC，得到三角形AOC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两个角为60度，进而求出∠BCD为30度，利用三角形内角和定理求出∠OBD为直角，即OB垂直于BD，即可得证；
（2）由AB为直径，求出半径为2，由BC=BD，利用等边对等角得到一对角相等，再由OC=OB得到一对角相等，等量代换得到∠D=∠OBC，再由一对公共角相等，得
到三角形OCB与三角形BCD相似，由相似得比例，即可求出CD的长．
解答：解：（1）∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵sinA===，
∴∠A=60°，
∵AO=CO，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=∠ACO=60°，
∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACO=90°﹣60°=30°，
∵∠BOD=∠AOC=60°，
∴∠OBD=180°﹣（∠BOD+∠D）=90°，
∴OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；
（2）∵AB为圆O的直径，且AB=4，
∴OB=OC=2，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
∵OC=OB，
∴∠BCD=∠OBC，
∴∠D=∠OBC，
在△BCD和△OCB中，
∠D=∠OBC，∠BCD=∠OCB，
∴△BCD∽△OCB，
∴=，即=，
则CD=．
点评：此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
24．（8分）（2013•山西模拟）2013年1月，由于雾霾天气持续笼罩我国中东部大部分地区，口罩市场出现热卖，某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩，销售完后共获利2800元，进价和售价如下表：
品名
甲种口罩乙种口罩
价格
进价（元/袋）20 25
售价（元/袋）26 35
（1）求该网店购进甲、乙两种口罩各多少袋？
（2）该网店第二次以原价购进甲、乙、两种口罩，购进乙种口罩袋数不变，而购进甲种口罩袋数是第一次的2倍．甲种口罩按原售价出售，而乙种口罩让利销售．若两种口罩销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于3680元，乙种口罩最低售价为每袋多少元？
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
分析：（1）分别根据旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩，销售完后共获利2800元，得出等式组成方程求出即可；
（2）根据甲种口罩袋数是第一次的2倍，要使第二次销售活动获利不少于3680元，得出不等式求出即可．
解答：解；（1）设网店购进甲种口罩x袋，乙种口罩y袋，
根据题意得出：，
解得：，
答：甲种口罩200袋，乙种口罩160袋；
（2）设乙种口罩每袋售价z元，根据题意得出：
160（z﹣25）+2×200×（26﹣20）≥3680，
解得：z≥33，
答：乙种口罩每袋售价为每袋33元．
点评：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．
25．（12分）（2013•山西模拟）操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）再（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．
结论1：DM、MN的数量关系是相等；
结论2：DM、MN的位置关系是垂直；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；旋转的性质．
分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出
△ABE≌△ADF，得到AE=AF，证明出△AEF是等腰三角形；
（2）DM、MN的数量关系是相等，位置关系式垂直；
（3）连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，
再有（1）的结论以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，
∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴CE=CF，
∴BC﹣CE=CD=CF，
即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）解：相等，垂直；
（3）（2）中的两个结论还成立，
证明：连接AE，交MD于点G，
∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，
∴MN∥AE，MN=AE，
由（1）同理可证，
AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，
又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
在Rt△ADF中，
∵点M为AF的中点，
∴DM=AF，
∴DM=MN，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠1=∠2，
∵AB∥DF，
∴∠1=∠3，
同理可证：∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
∵DM=AN，
∴∠MAD=∠5，
∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，
∵MN∥AE，
∴∠DMN=∠DGE=90°，
∴DM⊥MN．
点评：本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是利用好各小题之间的联系，此题难度不大，但是角角之间的数量关系有点复杂，请同学们解答的时候注意．
26．（14分）（2013•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x
与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．
（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；
（2）若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其
顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上，请说明理由；
（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题；探究型．
分析：
（1）由y=x2+2x得，y=（x﹣2）2﹣2，故可得出抛物线的顶点A的坐标，令x2+2x=0得出点B的坐标过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由∠ADO=90°可知点D的坐标，故可得出OD=AD，由此即可得出结论；
（2）由题意可知抛物线m的二次项系数为，由此可得抛物线m的解析式过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，根据勾股定理可求出OC的长，同理可得AC的长，OC=AC，由翻折不变性的性质可知，
OC=AC=OC′=AC′，由此即可得出结论；
（3）过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，由于OC和OC′关于OA对称，
∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根据CE∥OH可知
∠OCE=∠C′OG，根据全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出点C′的坐标把x=﹣4代入抛物线y=x2+2x进行检验即可得出结论；
（4）由于点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，故设Q（a，（a﹣2）2
﹣4），由于OC为该四边形的一条边，故OP为对角线，由于点P在x轴上，根据中点坐标的定义即可得出a的值，故可得出结论．
解答：
解：（1）∵由y=x2+2x得，y=（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的顶点A的坐标为（﹣2，﹣2），
令x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣4，
∴点B的坐标为（﹣4，0），
过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
∴∠ADO=90°，
∴点A的坐标为（﹣2，﹣2），点D的坐标为（﹣2，0），
∴OD=AD=2，
∴∠AOB=45°；
（2）四边形ACOC′为菱形．
由题意可知抛物线m的二次项系数为，且过顶点C的坐标是（2，﹣4），
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣2，
过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2，
∴OC===2，
同理，AC=2，OC=AC，
由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，
故四边形ACOC′为菱形．
（3）如图1，点C′不在抛物线y=x2+2x上．
理由如下：
过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，
∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，
∴∠COH=∠C′OG，
∵CE∥OH，
∴∠OCE=∠C′OG，
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，
∴△CEO≌△C′GO，
∴OG=4，C′G=2，
∴点C′的坐标为（﹣4，2），
把x=﹣4代入抛物线y=x2+2x得y=0，
∴点C′不在抛物线y=x2+2x上；
（4）存在符合条件的点Q．
∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，
∴设Q（a，（a﹣2）2﹣4），
∵OC为该四边形的一条边，
∴OP为对角线，
∴=0，解得x1=6，x2=4，
∴P（6，4）或（﹣2，4）（舍去），
∴点Q的坐标为（6，4）．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，难度适中．。