比例线段的计算及证明讲义(大同作业)

比例线段的计算和证明
Ⅰ. 例题精解 一、 确定性与有关比、比例的计算
例题1. △ABC 中，点D 在直线AB 上，点E 在直线AC 上，且DE ∥BC. （1）若AD=3DB ，求DE ∶BC 的值； （2）若DE ∶BC=1∶3，求AD ∶BD 的值
例题2. 若P 、Q 是线段MN 的两个黄金分割点，求MP
PQ
的值。

例题3. 已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE=2，连接BE 与对角线AC 相交于点M ， 则MC ∶AM 的值为
例题4. △ABC 中，D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，DE//BC ，DF//AC ，AC=8，BC=6，若四边形CEDF 的一组邻边之比为1︰2。

求四边形CEDF 的周长。

例题5. 已知三个数1、2、3，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是多少？
二、归纳与探究
例题6. （1）如图，两根电线杆AB 、CD 直立于地面，每根电线杆的顶端与另一根电线杆的底端用缆绳AD 、BC 相连，已知AB=4米，CD=6米，求AD 、BC 的交点
E 离地面的距离EF.
（2）若变成右图所示，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点O ，过点O 作OE ∥DA ，交AB 于点E ．当AD=a ，BC ＝b 时，用a 、b 表示OE 的长
例题7. 在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上任意一点，BE 交AD 于点O . 某学生在研究这一问题时,发现了如下的事实:
(1) 当
11121+==AC AE 时,有122
32+==AD AO (如图1); (2) 当21131+==AC AE 时,有222
42+==AD AO (如图2); (3) 当31141+==AC AE 时,有3
22
52+==AD AO (如图3). 在图4中,当n AC AE +=11时,参照上述研究结论,请你猜想用n 表示AD
AO
的一般结论,并给出证明(其中n 为正整数).
三、利用中间比过渡
例题8. 如图,过□ABCD 对角线BD 上任意一点P ，作直线交□ABCD 的两组
对边（或延长线）于点E 、F 、G 、H.
求证：PE·PH=PF·PG .
四、面积问题
例题9. 如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，
BH 交DE 于M ，BG 交DF 于N ，
求ABCD
MBND S S 四边形四边形的值。

五、辅助线的添法（习题第5、第9题）
例题10. 如图△ABC 中，点D 在BC 延长线上，CD=BC ，E 在AB 上，
3
2
=EB AE ， DE 交AC 于F. 求：AF ∶FC 的值.
.，
六、证线段相等
例题11. 如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 交BD 于E ，作
EF ∥BC 交AB 于
点F ，已知DB 平分∠ADC 且 EF =DE.
A B D C E
F
例6图
例题9图
A B
C
D M
E F N
H G A B C D
P
G E
例8图 H
F A B
C
D E
F 例11图
A
B D
E O A B C D E O
A B C D E
O A B C D E O 图1
图2 图3 图4 A C
D
E
F
例10
第12题
求证：△BCD 是等边三角形.
七、证直线平行
例题12. 如图，MN 经过△ABC 的顶点A ，MN ∥BC ，AM=AN ，MC 交AB 于D ，NB 交AC 于E ，联结DE.
求证：DE ∥BC.
习题精练（比例线段的计算）
一、选择和填空
1、 如图，在△ABC 中，DE//BC ，EF//CD ，AE=2EC ，则AF ∶FD ∶DB 等于 （ ） A. 4∶2∶3；B. 3∶2∶4；C. 4∶3∶2；D. 6∶3∶4．
2、 梯形ABCD 中，E 、F 分别在AB 、CD 上，AD ∥EF ∥BC ，若
2
1
==BC AD EB AE ，则AD ︰EF ︰BC 为（ ）
A ．2︰3︰4；
B ．3︰4︰6；
C ．4︰5︰8；
D ．5︰7︰10.
3、 如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（ ）
A ．4.5米；
B ．6米；
C ．7.2米；
D ．8米.
4、 在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，如果AC=10，AE=4，则BC=________.
5、 如图，在□ABCD 中，BC=16,DE=6,EB 交AC 于F ，AF=12.则AC=________；
6、 如图，RtΔABC 中，∠C=90º ，AC=4,BC=6,则内接正方形CFDE 的边长是_______；
7、 如图，ΔABC 、ΔCDE 都是等边三角形，AD 交CE 于F.若BC=15，CD=5，则CF=_______；
8、 如图， □ABCD 中， AB=2，BC=3，对角线AC 交BD 于O ，点E 在BA 延长线上，OE 交
AD 于F ，AF=1，则AE=_______；
9、 如图，梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥BC ，3
2
=EB AE ，AD=4，BC=7.则EF=_______.
二、解答题
10、 如图，AC ∥BD ， AB 交CD 于E ，EF ∥BD 交AD 于F 。

已知BD=6，EF=2，
求AC 的长.
11、如图，一座塔的塔基截面为等腰梯形ABCD ，上底DC=25米，下底AB=30米，腰
长AD=6.5米。

求该塔塔尖P 到地面的距离。

12、如图，CD 是△ABC 的中线，AF 是△ACD 的中线， 延长AF ，与BC 相交于点E ，
求BE
CE。

习题精练（比例线段的证明） 一、选择和填空
1、 如图，已知D 、E 分别在△ABC 中BA 、CA 的延长线上，下列给出的条件中能判定DE ∥BC 的是（ ）
A ．AC A
B AD AE =；B ．CE A
C B
D AB =；C ．AB AD BC D
E =；D ．CE
BD
BC DE =. D A B
C E F 第5题
C F D
A
E
第6题
A
E D
C
F 第7题 E A
B C D
O F
第8题 第9题
A
B C D E
F
C 第3题
A 第2题
B
C D
F E A C B D F E 题10图
例12图
A B C E D
M
N
A
D C
E F B
第1
D A B P 第11题 C
2、 如图，△ABC 中,D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，且DE ∥AB ，DF ∥AC ，在什么条件下EF ∥BC 一定成立？
( )
A ．△ABC 是等边三角形；
B ．DE=DF ；
C ．AE=AF ；
D ．BD=DC 。

3、 如图, 在△ABC 中, 点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE//BC, F 在BC 边上, AF 与DE 相交于点G ，有两个结论：
①BC DE AF AG =；②FC
BF
GE DG =，那么（ ） A ．①对②错； B ．①错②对； C ．①②都错； D ．①②都对。

4、 如图，四边形ABCD 中，E 、F 分别在AB 、CD 上，且
FC
DF
EB AE =，如果再增加一个条件，就能确定AD ∥EF ∥BC 成立，这个条件可以是_________________.（填入一个条件即可）
5、 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD 交AC 于
点G ，则
=+AD
GF
BC EG ________.
6、 如图，四边形ABCD 中，AC 交BD 于E ，已知BEC AED S S ∆∆=，则可以判定该四边形中平行的一组对边是
___________.
7、 如图，□ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是所在边的中点，BH 交DE 于M ，BG 交DF 于N ，则四边形BNDM 的
面积与□ABCD 的比为__________.
8、 如图，线段AB 交CD 于O ，MN 经过点O 分别交AC 、DB 于M 、N ，若
AC ∥DB ，则比值与图中ON OM 的值相等的线段比共有_______个.（ON
OM
本
身不计）
9、 若点H 是线段AB 的黄金分割点，则︱
AH
HB
HB AH -︱的值为__________.
二、解答题
10、
如图，MN 经过△ABC 的顶点A ，MN ∥BC ，AM=AN ，设BN 交CM 于点O ，联结并延长AO 交BC 于点P.
求证：点P 是BC 中点.
11、如图，C 、D 、E 、F 分别在∠MAN 的两条边上，联结并延长CE 、DF 相交于点B ，已知BE=BF 。

求证：AC ︰AD=CE ︰DF.
12、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ， （1）P 、E 、F 分别是BC 、AC 、BD 的中点，求证：AB=PE+PF ；
（2）若点P 是BC 上任意一点，PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB=PE+PF 是否还成立？试说明理由。

13、如图，△ABC 中，
（1）ED ∥BC 分别交AB 、AC 于E 、D ，BD 、CE 相交于点P ，联结并延长AP 交BC 于点M ，求证：M 是BC 的中点.
（2）若P 是中线AM 上任意一点，BP 的延长线交AC 与D ，CP 的延长线交AB 与E ，联结DE 。

求证：ED ∥BC.
A
B C D
E 第6题 第5题 A B C D G E F
A
B
C
D
H
F E G
M
N
第7题
C
B
F D A E 第4题
A
C
M
O
D
N
B
第8题
C
B
A
E
D
第1题
A
B
C
F
D E
第2题
A
D
G E C F B
第3题
第10题 A
B
C P O M
N
A B
C
E D P
A
B C D F E P
第12题（1） A B C D F E P 第12题（2） A
B C
D
F E 题11图
M
N。