黑龙江七台河市数学高三上期末经典测试卷(培优专题)

一、选择题
1．设,x y 满足约束条件 202300
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩
，则4
6y x ++的取值范围是
A ．3[3,]7
- B ．[3,1]- C ．[4,1]
-
D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞
2．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3
A b π
==ABC ∆
则a 的值为（ ） A ．2
B
C
D ．1
3．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角
三角形
4．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
39522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )
A ．
12
B ．2 C
D
．
2
5．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94
-
B ．
94
C ．
274
D ．274
-
6．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +k ，若对于任意的实数x 1，x 2，x 3，x 4∈[1，2]时，f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＞f （x 4）恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．（
2
3
，+∞） B ．（
3
2
，+∞） C ．（﹣∞，
23
） D ．（﹣∞，
32
） 7．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年
B ．丙寅年
C ．丁卯年
D ．戊辰年
8．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x y
a a
⎧
⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为
3
2
，则正实数a 的值为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2
cos 22C a b a
+=，则ABC 的形状一定是( ) A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
10．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，则5(S = )
A ．
3116
B ．
158
C ．7
D ．31
11．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－
2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A
．1 B
．1 C ．
＋2
D ．
2
12．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140
B ．280
C ．168
D ．56
13．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <
B ．45S S =
C ．65S S <
D ．65S S =
14．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当
0a >且1a ≠时，1
1b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201920200,0S S ><，对任意正整数n ，
都有n k a a ≥，则k 的值为( ) A ．1009
B ．1010
C ．1011
D ．1012
二、填空题
16．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，，，，则222x y y ++的取值范围是__________.
17．已知数列{}n a 中，其中1
991
99a =，11()a
n n a a -=，那么99100log a =________
18．已知变量,x y 满足约束条件2
{41
y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．
19．在平面直角坐标系中，设点()0,0O
，(A ，点(),P x y
的坐标满足
0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩
，则OA 在OP 上的投影的取值范围是__________ 20．设,x y 满足约束条件0
{2321
x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .
21．在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为
1
3
的等比数列．设13521T n n a a a a -=+++
+，则lim n n T →∞
=__________．(*n ∈N ) 22．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为
N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则
2668型标准数列的个数为______．
23．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112n
n n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，则2lim n n a →∞
= ． 24．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a
和
都是等差数列，且公差相等，则
1a ＝_______．
25．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则
4
2
S a =______. 三、解答题
26．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2446,10a a S +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;
（Ⅱ）令2n n n b a =⋅*
()n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T ．
27．已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝
()
f x x
(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围．
28．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ⃑⃑⃑ ＝(2sinB,2－cos2B)，n ⃑ ＝(2sin 2(π
4
+B
2 )，－1)，m ⃑⃑⃑ ⊥n ⃑ .
(1)求角B 的大小；
(2)若a ＝√3 ，b ＝1，求c 的值．
29．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为1
2
，且()3122123a a a -=+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若8n b n =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较
12111
n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小. 30．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和T n ．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C
8．D
9．A
10．A
11．D
12．A
13．B
14．B
15．B
二、填空题
16．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：
17．1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列是以为首项以为公比的等比数列然后利用等比数列的通项公式求解【详解】由得则数列是以为首项以为公比的等比数列故答案为：1【点睛】本题考查数列的递推关系等比数列通
18．11【解析】试题分析：由题意得作出不等式组所表示的可行域如图所示由得平移直线则由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时有最大值由解得此时考点：简单的线性规划
19．【解析】【分析】根据不等式组画出可行域可知；根据向量投影公式可知所求投影为利用的范围可求得的范围代入求得所求的结果【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：在上的投影为：本题正确结
20．【解析】试题分析：约束条件的可行域如图△ABC所示当目标函数过点A(11)时z取最大值最大值为1+4×1=5【考点】线性规划及其最优解
21．【解析】【分析】构造新数列计算前n项和计算极限即可【详解】构造新数列该数列首项为1公比为则而故【点睛】本道题考查了极限计算方法和等比数列前n项和属于中等难度的题目
22．6【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668∴n（2a1+n-1）=5336=23×23×29得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668∴n（2a1+n-1）=
23．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=-
24．【解析】分析：设公差为d首项利用等差中项的性质通过两次平方运算即可求得答案详解：设公差为d首项和都是等差数列且公差相等即两边同时平方得：两边再平方得：又两数列公差相等即解得：或为正项数列故答案为：点
25．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2得＋1＋q＋q2=
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
先作可行域，而
4
6
y
x
+
+
表示两点P（x,y）与A（-6,-4）连线的斜率，所以
4
6
y
x
+
+
的取值范围
是[,][3,1]
AD AC
k k=-，选B.
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,232
c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得
考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．
3．C
解析：C 【解析】
在ABC ∆中，222222
cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab ab
+-+-=∴==⋅
，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
4．D
解析：D 【解析】
设公比为q ，由已知得()2
284
1112a q a q a q ⋅=，即2
2q
=，又因为等比数列{}n a 的公比为
正数，所以q
212a a q =
==
，故选D. 5．C
解析：C 【解析】
设等比数列的公比为q （q ＞1），1+（a 2-a 4）+λ（a 3-a 5）=0，可得λ=24
53
1a a a a +--则
a 8+λa 9=a 8+
666
929498385888222535353111
a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-，（t ＞0），q 2=t+1，则设f （t ）
=
()
()()()
()()
3
23
2
6
22
2
13112111
t t t t t t q
f t q t
t t ++-+-+=
=
'=
∴-当t ＞
1
2
时，f （t ）递增； 当0＜t ＜1
2
时，f （t ）递减． 可得t=
12处，此时
f （t ）取得最小值，且为274，则a 8+λa 9的最小值为274； 故选C.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
由于2
()(1)1f x x k =-+-，分析对称轴，得到min max ()1,()f x k f x k =-=，转化f
（x 1）+f （x 2）+f （x 3）＞f （x 4）恒成立，为1min 2min 3min 4max ()()()()f x f x f x f x ++>，即得解. 【详解】
由于2
()(1)1f x x k =-+- ，
当[1,2]x ∈，min max ()(1)1,()(2)f x f k f x f k ==-==，
对于任意的实数x 1，x 2，x 3，x 4∈[1，2]时，f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＞f （x 4）恒成立， 即：1min 2min 3min 4max ()()()()f x f x f x f x ++> 即：33(1)2
k k k ->∴> 故选：B 【点睛】
本题考查了二次函数的恒成立问题，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
解析：C 【解析】
记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()121231
12111
x y x y y z x x x ++++++===+⨯
+++， 设1
1
y k x +=
+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率， 若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，即12z k =+的最小值是3
2
， 由3122
k +=
，得1
4k =，即k 的最小值是14，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时，直线的斜率k 最小，此时011
314
k a +==+， 得314a +=，得1a =. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
解析：A 【解析】 【分析】
利用平方化倍角公式和边化角公式化简2
cos
22C a b a
+=得到sin cos sin A C B ，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC 的形状． 【详解】
2
2cos 2a b
a
C
1cos sin sin 22sin C A B
A 化简得sin cos sin A C B
()B A C
sin cos sin()A C A C 即cos sin 0A C =
sin 0C ≠
cos 0A ∴=即0A = 90
ABC ∴是直角三角形 故选A 【点睛】
本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2
cos
22C a b a
+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】
数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，
638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==，
数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，
55111111131
211248161612
S ⎛
⎫⨯- ⎪
⎝⎭∴=++++==-．
【点睛】
本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．D
解析：D 【解析】
由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，
得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.
∴(a ＋c )·(a ＋b )≤2
2b c 2a ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭
(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，
∴2a ＋b ＋c ＝1)＝－2. 故选：D
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
12．A
解析：A 【解析】
由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为
()
110101028
1402
2
a a +⨯=
=，故选A. 13．B
解析：B 【解析】
分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+=
又
286,6a a =-=，5=0a ∴
由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.
点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.
14．B
解析：B 【解析】 【分析】
∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,
∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,5
4
a b +>
，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则2
2
513(4)
=
=+-d ,则22a b +>1，故③正确；
当0a >且a ≠1时,
1
1
b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,5
1
194
114
b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故
1
1b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故④正确.
∴正确命题的个数是2个. 故选B.
点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.
15．B
解析：B 【解析】 【分析】
结合前n 项和公式: 1201912020102092202019()2020()
,22
S a a a S a ++=
=，再利用等差数列的
性质，12019101012020101010112,a a a a a a a +=+=+，得到101010110,0a a ><，分析即得解. 【详解】
由等差数列{}n a ，可得0120229019112022002019()2020()
0,022
S a a a a S ++=
>=<
即：12019120200,0a a a a +>+<，可得：10101010101120,0a a a >+<
101010110,0a a ∴><，可得等差数列{}n a 为递减数列. 又10101011101010110||||a a a a +<∴
< 故：对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为1010. 故选：B 【点睛】
本题考查了等差数列的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题
16．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为： 解析：[]0,9； 【解析】 【分析】 利用
()()
22
01x y -++表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点
(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围.
【详解】
()()22
222011x y y x y ++=-++-
()()
22
01x y -++表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离
1AO =，1910,9110AD AC =+==+=ACD 为等腰三角形
则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：110 所以2
2
2x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-
故2
2
2x y y ++的取值范围为[]09，
故答案为：[]09，
【点睛】
本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.
17．1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列是以为首项以为公比的等比数列然后利用等比数列的通项公式求解【详解】由得则数列是以为首项以为公比的等比数列故答案为：1【点睛】本题考查数列的递推关系等比数列通
解析：1 【解析】 【分析】
由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199
991991
log 9999
log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解． 【详解】
由11()a
n n a a -=，得991991log log n n a a a -=，
∴1
99991991
l 9og log 9n n a a a -==， 则数列99{log }n a 是以199
991991
log 99
99
log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴1
999999100
1
log (99)199
a =⋅=． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．
18．11【解析】试题分析：由题意得作出不等式组所表示的可行域如图所示由得平移直线则由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时有最大值由解得此时考点：简单的线性规划
解析：11 【解析】
试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得
3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直
线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2
{
1
y x y =-=，解得(3,2)A ，此时
33211z =⨯+=．
考点：简单的线性规划．
19．【解析】【分析】根据不等式组画出可行域可知；根据向量投影公式可知所求投影为利用的范围可求得的范围代入求得所求的结果【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：在上的投影为：本题正确结 解析：[]3,3-
【解析】 【分析】
根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP ππ⎡⎤
∠∈⎢
⎥⎣
⎦；根据向量投影公式可知所求投影为cos OA AOP ∠，利用AOP ∠的范围可求得cos AOP ∠的范围，代入求得所求的结果.
【详解】
由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：
由题意可知：6
AOB π
∠=
，56
AOC π∠=
OA 在OP 上的投影为：cos 9323OA AOP AOP AOP ∠=+∠=∠
AOB AOP AOC ∠≤∠≤∠ 5,66AOP ππ⎡⎤
∴∠∈⎢⎥⎣⎦
33cos ,22AOP ⎡∴∠∈-⎢⎣⎦
[]cos 3,3OA AOP ∴∠∈-
本题正确结果：[]3,3- 【点睛】
本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.
20．【解析】试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示当目标函数过点A(11)时z 取最大值最大值为1+4×1=5【考点】线性规划及其最优解
解析：【解析】 .
试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示.当目标函数过点A(1，1)时，z 取最大值，最大值为1+4×1=5.
【考点】线性规划及其最优解.
21．【解析】【分析】构造新数列计算前n 项和计算极限即可【详解】构造新数列该数列首项为1公比为则而故【点睛】本道题考查了极限计算方法和等比数列前n 项和属于中等难度的题目
解析：9
lim 8
n n T →∞=
【解析】 【分析】
构造新数列{}21n a -，计算前n 项和，计算极限，即可。

【详解】
构造新数列{}21n a -，该数列首项为1，公比为
1
9
， 则()
111119*********
n n
n n
a q T q
⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭=
==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-
而1lim 09n
n →+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭
，故9lim 8n n T →+∞=
【点睛】
本道题考查了极限计算方法和等比数列前n 项和，属于中等难度的题目。

22．6【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668∴n（2a1+n-1）=5336=23×23×29得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668∴n（2a1+n-1）=
解析：6 【解析】
【分析】
由题意，公差d=1，na 1+
()12
n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意
的组数，即可得出结论． 【详解】
由题意，公差d=1，na 1+
()12
n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，
∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组； 同理d=-1时，也有三组． 综上所述，共6组． 故答案为6． 【点睛】
本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．
23．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=-
解析：2
3
-
【解析】 【分析】 由已知推导出2n S =
23(11)4n -，21n S -=1+13（11
14
n --），从而22n n a S =-21n S -=
21132n --23，由此能求出2lim n n a →∞
【详解】 ∵数列{}n a 满足：1 1a =，112n
n n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴（12
a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=
12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+21
12n -⎛⎫ ⎪
⎝⎭
=
11
124114
n ⎛⎫-
⎪⎝⎭-=2
3(11)4n
-， ∴2n S =
23(1
1)4
n -； 又12345
a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）
=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭
+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2
1111241
14
n -⎛⎫
⎛
⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭-=1+13（1114n --），
即21n S -=1+
13（11
14
n --） ∴22n n a S =-21n S -=21132n --2
3
∴2211lim lim(
32n n n n a -→∞
→∞
=-2)3=-2
3
，
故答案为：-2 3
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．
24．【解析】分析：设公差为d 首项利用等差中项的性质通过两次平方运算即可求得答案详解：设公差为d 首项和都是等差数列且公差相等即两边同时平方得：两边再平方得：又两数列公差相等即解得：或为正项数列故答案为：点 解析：
14
【解析】
分析：设公差为d
，首项1a ，利用等差中项的性质，通过两次平方运算即可求得答案. 详解：设公差为d ，首项1a
，
{}n a
和
都是等差数列，且公差相等，
∴=
，
即=
，
两边同时平方得：()1114233a d a a d +=
+++
14a d +=
两边再平方得：()2
2
1111168433a a d d a a d ++=+，
∴2211440a a d d -+=
，
12d
a =，又两数列公差相等，
2112a a d a
=-==
，
12a =，
解得：
11 4
a=或
10
a=，
{}
n
a为正项数列，
∴
1
1
4
a=.
故答案为：
1
4
.
点睛：本题考查等差数列的性质，考查等差中项的性质，考查化归与方程思想. 25．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2得＋1＋q＋q2=
解析：
15
2
【解析】
由等比数列的定义，S4=a1＋a2＋a3＋a4=2
a
q
＋a2＋a2q＋a2q2，
得4
2
S
a
=
1
q
＋1＋q＋q2=
15
2
.
三、解答题
26．
（1）n a n
=（2）1
(1)22
n
n
T n+
=-⋅+
【解析】
试题分析：(Ⅰ)因为数列是等差数列，所以根据等差数列的通项公式建立关于首项和公差的方程组
1
1
246
{43
410
2
a d
a d
+=
⨯
+=
，即可解得1
1
{
1
a
d
=
=
，从而写出通项公式n a n
=； (Ⅱ)由题意22
n n
n n
b a n
=⋅=⋅，因为是等差数列与等比数列相乘的形式，所以采取错位相减的方法，注意错位相减后利用等比数列前n项和公式，化简要准确得1
(1)22
n
n
T n+
=-⋅+．
试题解析：(Ⅰ)设等差数列{}n a的公差为d,由244
6,10
a a S
+==,
可得
1
1
246
{43
410
2
a d
a d
+=
⨯
+=
, 即1
1
23
{
235
a d
a d
+=
+=
,
解得1
1
{
1
a
d
=
=
, ∴()
1
11(1)
n
a a n d n n
=+-=+-=,
故所求等差数列{}n a的通项公式为n a n=
(Ⅱ)依题意,22
n n
n n
b a n
=⋅=⋅,
∴12
n n
T b b b
=+++
231122232(1)22n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅,
又2n T =234
1122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅, 两式相减得23
11(22222)2n n n n T n -+-=+++
++-⋅
(
)1
2122
12
n n n +-=
-⋅-1(1)22n n +=-⋅-,
∴1
(1)22n n T n +=-⋅+
考点：1、等差数列通项公式；2、等差数列的前n 项和；3、等比数列的前n 项和；4、错位相减法．
27．
（1）2-；（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
（1）根据基本不等式求最值，注意等号取法，（2）先化简不等式，再根据二次函数图像确定满足条件的不等式，解不等式得结果. 【详解】
(1)依题意得y=()f x x =2-41x x x
+=x+1
x -4. 因为x>0,所以x+
1x ≥2.当且仅当x=1
x
时, 即x=1时,等号成立.所以y≥-2.
所以当x=1时,y=
()
f x x
的最小值为-2. (2)因为f(x)-a=x 2-2ax-1,
所以要使得“对任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a 成立”只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]恒成立”.
不妨设g(x)=x 2-2ax-1,
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.
所以(0)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩ 即0-0-10,4-4-10,a ≤⎧⎨≤⎩
解得a≥
34,则a 的取值范围为3,4∞⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
28．
（1）π6或5π6； （2）c ＝2或c ＝1. 【解析】
【分析】
(1)根据m ⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ ＝0得到4sinB·sin 2(π4+B 2)＋cos2B －2＝0，再化简即得B ＝π6 或5π6 .(2)先确定B 的值，再利用余弦定理求出c 的值.
【详解】
(1)∵m ⃑⃑⃑ ⊥n ⃑ ，∴m ⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ ＝0，∴4sinB·sin 2(π4+B 2)＋cos2B －2＝0，
∴2sinB[1－cos (π2+B)]＋cos2B －2＝0，∴2sinB＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sinB＝12 ，∵0<B<π，∴B＝π6 或5π6 . (2)∵a＝√3 ，b ＝1，∴a>b，∴此时B ＝π6，
由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，∴c 2－3c ＋2＝0，∴c＝2或c ＝1.
综上c ＝2或c ＝1.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
29．
（1）12n n a =
；（2）1211112n n S T T T ++⋅⋅⋅+< 【解析】
【分析】
(1)根据数列{}n a 的首项为12
,且()3122123a a a -=+,可得关于1a 和公比q 的不等式组,解出1a 和q 可得数列{}n a 的通项公式;
(2)根据条件分别利用等比数列和等差数列的前n 项和公式,求出{}n a 的前n 项和为n S ,{}
n b 的前n 项和n T ,再用列项相消法求出12111n T T T ++⋅⋅⋅+,然后比较12111n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小即可.
【详解】
解:(1)由题意,设11(0)n n a a q q -=>,则()
12111122123a a q a a q ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩, 解得12
q =或2q =-(舍), ∴1111222n n
n a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即12n n a =.
(2)由(1)知12n n a =,∴11122111212n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-. ∵8n b n =,∴244n T n n =+,
∴2111114441n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
, ∴121111111111111142231414
n T T T n n n ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 又∵11111111112112224242n n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11102
n --≥, 1124
n S ∴≥ ∴1211112
n n S T T T ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】
本题考查了数列通项公式的求法,等差数列的前n 项和公式,等比数列的前n 项和公式和裂项相消法求数列的前n 项和,考查了方程思想和计算能力,属中档题.
30．
（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）31142(1)2(2)
n n --++. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴，解得．
∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3．
（Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，
当n≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1
=[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=
．
当n=1时，b 1=3适合上式，所以．
∴． ∴ = =
点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为1(1)n a n n =
+，求前n 项和：111(1)1n a n n n n ==-++； （2）已知数列的通项公式为1(21)(21)
n a n n =-+，求前n 项和： 1111()(21)(21)22121
n a n n n n ==--+-+； （3）已知数列的通项公式为1n a n n =
++n 项和:. 11n a n n n n ==+++。