多元统计分析课件 (1)

的 F 统计量。在多元统计分析中，起到相同作用的是统计量 和 分布。
（1）Wilks分布
定义：设 ~ W p ( n1 , ) 和 ~ W p ( n2 , ) ，且 , 相互独立， 和 n1 p ， n2 p ，则称
|| ||
0
服从Wilks分布，记 ~ ( p, n1 , n2 ) 。
2
定理：设 x1,x2, ,xn1 是来自多元正态总体 Np (,) 的简单 随机样本，
x 2 ( x 21 , x 22 , , x 2 p ) x 1 ( x11 , x12 , , x1 p )
…
x n ( x n 1 , x n 2 , , x n p )
定理1：设X1,X2,……Xn是来自多元正态总体Np(,)
X j Xj nXX 则有 S i 1
1 1、 ~ N p ( , ) n 2、和S相互独立 3、S ~ W p (n 1, )
证明：
设 令 * * 1 n * 1 * * 2 为一正交矩阵 ij nn 1 n n 2 n ) X1 X 2 X n *
2 k
n
a 1

k
na
xa x , x ,, x
(a) 1 (a) 2
(a) na


1 k n (a) x xi n a 1 i 1 1 n (a) a x xi na i 1
a a
W E B
a 1 i 1 k na
(xi
k na
(a)
x)(x(a) i x) x )(x x )
定义: 维希特（Wishart）分布的统计量 设 n 个随机向量 X i ( X i1 , X i 2 ,, X ip )(i 1,2,3,, n)
X 11 X 21 X X n1 X 12 X 22 X n2 X1p X (1) X2p X ( 2) X np n p X (n )
x11 x 21 设随机矩阵 X x n1 x12 x22 xn 2 x1 p x2 p xnp
矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其列 向量拉长，组成一个长向量
x x11 x1 p
x21 x2 p xn1 xnp 的分布。

若1 2
则
1 ( x1 x2 )S p ( x1 x2 ) ~ 2
n1 n2 2 T ( p, n 1) n1n2
(n1 1) S1 (n2 1) S 2 Sp n1 n2 2
四、基于维斯特(Wishart)分布的统计量
2 在一元方差分析中，常常遇到基于独立的 分布随机变量比值
i 1

n
( 2 )
p
p 2

12
1 exp[ ( xi ) 1 ( xi )] 2
( 2 )


n 2
1 n exp[ ( X i ) 1 ( X i )] 2 i 1
为样本联合密度函数。
§2 样本分布
一、维希特（Wishart） 1、定义随机矩阵的分布
三、 抽样分布
的简单随机样本，有
x1 ( x11 , x12 ,, x1 p ) x 2 ( x21 , x22 ,, x2 p ) x n ( xn1 , xn 2 ,, xnp ) 令
n 1n i S ( X i X)( X i X) i 1 n i 1 n
称T2服从参数为P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，当。
当 μ 0 时， 服从自由度为n的中心霍特林分布， 2 nu 1u 记为 2 nu 1u ~ T 2 ( p, n) 。 定理： 设 ~ W p (n, )和x ~ N p ( , )相互独立, 则
S ( X j X)( X j X)
n i 1 n i 1 n
S S
X j Xj X j Xj
n XX n n
i 1
S n n S
n1 j 1
j j
与S相互独立
S
n 1 j 1
j j
~ W p (n 1, )
当 1， p 1 时，由卡方分布的定义可知
A
n 1 i 1

yi2 ~ 2 (n 1)
可见维希特分布是由卡方分布在多元下的推广。 定理2 设X i (i 1,2,3,4, n) 独立同正态分布，则统计量
1
1 2 T0 ( x 0 ) ( x 0 ) n
a (a) i a
a 1 i 1
… x n ( xn1 , xn 2 ,, xnp )
令 1 n i 样本均值 n i 1
S ( Xi X)( Xi X)样本叉积矩阵
i 1
n
则 且
2 ( n 1) n( x )S 1 ( x ) ~ T 2 ( p, n 1) np T ( p, n) F ( p, n p 1) n p 1
( 1
由于X i (i 1,2,3,4, n)独立同正态分布 , 且为正交矩阵，所以 ( 1 2 n ) 独立同正态分布
1 n 1 n i E (n ) n E ( i ) n n i 1 n i 1
E ( a ) E ( raj j )
1 2
1 2 1 2 1 2
所以
2 2 2 Z12 Z 22 Z p ~ （ p)
相互独立的标准正态分布的平方和为自由度为 p 的卡方分布。
在一元正态的情形下，我们有样本的统计量
x Z ~ N (0,1) n 当总体的方差未知时，我们必须用样本的方差

l 1
X il X lj
n
服从自由度为 n 的非中心维斯特分布，记为 ~ W p (n, ,。 μ)
特别当 X是 p 阶对称阵，则 X的分布的下三角部分组成的 长向量
x x11 x1 p x22 x2 p x p 1, p 1 x p , p 1 x p, p
2 在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了 分布，在多元
正态随机变量也有类似的样本分布。维希特分布（Wishart）相当 于一元统计中的 2 分布。
维希特（ Wishart）分布的密度函数
定理1：若 ~ W p (n, ) ，且 0 为
F (a) |a|
np 2 1 ( n p 1) 2
抽样分布
§1 样本的联合概率密度函数
设x ~ N p ( , ), 0, 则总体的密度函数为 f ( x1 , x2 ,, x p ) ( 2 ) p 2
1 2
1 exp[ ( x ) 1 ( x )] 2
X1，X2，……，Xn是从总体中抽取的一个简单随机样本，满足X1， X2，……，Xn相互独立，且同正态分布 设x ~ N p ( , ).
S
*2
1 n 2 ( xi x ) n 1 i 1
来代替总体的方差，则
x t * ~ t (n 1) S n
那么在多元正态的情形下，是否有相同的问题呢？回答 时肯定的。
定义： 设 ~ W p (n, )和u ~ N p (μ, )相互独立, 则
2 nu 1u ~ T 2 ( p, n, μ )
x x11 x12 x1 p 1 x x x x 2 21 22 2p X x x x x n n1 n2 n2 称为样本数据矩阵
f ( X) f ( X 1 ) f ( X 2 ) f ( X n )
i i
n
独立同分布于 N p (μ, ) ，则随机矩阵
i 1
A X X x11 x 12 x 1p x21 x22 x2 p xn1 x11 xn 2 x21 x xnp n1 x12 x22 xn 2 x1 p x2 p xnp
2 n( x ) 1 ( x ) ~ T 2 ( p, n) n p 1 2 T ~ F ( p, n p 1) np
定理：设 x1 , x 2 ,, xn 是来自多元正态总体 N p ( , )的简单随 机样本，有
x 2 ( x 21 , x 22 , , x 2 p ) x 1 ( x11 , x12 , , x1 p )
n(x 0 ) (x 0 )
1
服从自由度为 p 的卡方分布。
1 x ~ N ( , ) 证： 由于样本均值 p n 令 n ( X ) E ( ) E[ n ( X )] D ( ) D[ n ( X )] p n ( X ) ~ N p (o, I )
n p ，则 的分布密度 ，
2
p ( p 1 ) 2
1 1 exp( tr A) 2 ,a 0 n p n i 1 2 | | ( ) i 1 2
2 特别，当 p 1和 1 时， 服从 分布。
二、维斯特(Wishart)分布有如下的性质：
1 1 1 1
设 Y1 , Y2 ,, Yn 是来自多元正态总体 N p ( 2 , ) 的简单随机样
2
本，
Y1 (Y11 , Y12 ,, Y1 p ) Y2 (Y21 , Y22 ,, Y2 p ) Yn (Yn 1 , Yn 2 ,, Yn p )
2 2 2 2
2 可以证明，当n2 2 和 p 2 时，Wilks分布可以用
分布近似。
2、Λ统计量和Λ分布
(i ) N ( , ) 。分别抽出 G , , G 设k个总体 1 p k ，它们服从
如下的样本：
(1) (1) x1(1) , x2 ,, xn
1
( 2) ( 2) x1( 2 ) , x2 ,, xn (k ) (k ) x1( k ) , x2 ,, xn
（1）若A1和A2独立，其分布分别W p (n1 , ) 和 W p ( n2 , ) ，则 1 2 的分布为 W p (n1 n2 , ) ，即维斯特(Wishart)分布有可加性。
（2） ~ W p (n, ) ，C为m×p阶的矩阵，则 CC的分布 为Wm ( n, CC) 分布。
j 1 n
1 Var ( Z n ) Σ n
( a 1,2,3,, n 1)
nn
n
n raj
1 n
n raj rnj 0
i 1
0 Cov ( i , j )
i j i j
1 1 X n ~ N p ( , ) n n