高三数学下学期第五次月考试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题

2014-2015学年某某省某某市陕州中学高三（下）第五次月考数学试
卷（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（2015春•某某校级月考）已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）
A．（0，4）B．（﹣3，4）C．（0，3） D．（3，4）
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：利用并集的性质求解．
解答：解：∵集合A={x|﹣3＜x＜3}，
B={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，
∴A∪B={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4）．
故选：B．
点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．
2．（2015春•某某校级月考）已知复数z=，则对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：化简已知复数，可得其共轭复数，由复数的几何意义可得．
解答：解：化简可得z=
=
=
=﹣2+i，
∴=﹣2﹣i，
对应的点为（﹣2，﹣1），在第三象限，
故选：C
点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的几何意义，属基础题．
3．（2014•某某模拟）下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
考点：命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
分析：对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．
对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．
解答：解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．
对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．
对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．
因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．
由排除法得到D正确．
故答案选择D．
点评：此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．
4．（2015春•某某校级月考）双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（）A．B．C． 1 D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由a2=m，b2=1，利用可得右焦点F．取渐近线y=x．利用点到直线的距离公式即可得出．
解答：解：∵a2=m，b2=1，∴=．可得右焦点F．
取渐近线y=x，即x﹣y=0．
∴右焦点F到渐近线的距离d==1．
故选：C．
点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，属于基础题．5．（2014•东湖区校级模拟）执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p
的值是（）
A．15 B．105 C．120 D．720
考点：程序框图．
专题：计算题；图表型．
分析：根据题中的流程图，依次求出p和k的值，根据k的值判断是否符合判断框中的条件，若不符合，则结束运行，输出p．
解答：解：输入N=6，则k=1，p=1，
第一次运行p=1×1=1，此时k=1＜6，
第二次运行k=1+2=3，p=1×3=3；
第三次运行k=3+2=5，p=3×5=15；
第四次运行k=5+2=7，P=15×7=105；
不满足条件k＜6，程序运行终止，输出P值为105，
故选B．
点评：本题考查了循环结构的程序框图，利用程序框图中框图的含义运行解答．6．（2015春•某某校级月考）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当0
＜x＜时，f（x）=4x，则f（﹣）=（）
A．﹣B．﹣C．﹣1 D．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数的奇函数得f（）=﹣f（），再根据f（x+1）=f（x），把）=﹣f（）=﹣f（+1）=﹣f（），进而求解．
解答：解：因为函数的奇函数，
所以f（）=﹣f（）
又f（+1）=f（）==，
所以f（﹣）=﹣．
故选A．
点评：本题主要考查奇函数的性质、分段函数的性质，属于基础题．
7．（2014•某某二模）已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）
A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称
B．①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得②
C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同
考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．
分析：①函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数；②函数解析式利用二倍角的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，然后分别对各项判断即可．
解答：解：①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，
A、①中的函数令x+=kπ（k∈Z），解得：x=kπ﹣（k∈Z），故（﹣，0）为函数对称中心；
②中的函数令2x=kπ（k∈Z），解得：x=（k∈Z），故（﹣，0）不是函数对称中心，本选项错误；
B、①向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍，即得②，本选项错误；
C、①令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z），解得：﹣+2kπ≤x≤+2kπ，故函数在区间（﹣，）上是单调递增函数；
②令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，故函数在区间（﹣
，）上是单调递增函数，本选项正确；
D、①∵ω=1，∴T=2π；
②∵ω=2，∴T=π，本选项错误，
故选C
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，正弦函数的单调性及周期性，熟练掌握公式是解本题的关键．
8．（2012•某某）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值X围是（）
A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣
]∪[1+，+∞）
C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣
2]∪[2+2，+∞）
考点：直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的X围，即为m+n的X围．
解答：解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，
∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d==1，
整理得：m+n+1=mn≤，
设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，
∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，
∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，
解得：x≥2+2或x≤2﹣2，
则m+n的取值X围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．
故选D
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
9．（2015春•某某校级月考）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣3，a14==﹣12，
则正整数k=（）
A．10 B．11 C．12 D．13
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，由此能求出结果．
解答：解：设公差为d
则a14=a1+13d
即
解得d=
即﹣12=﹣3k
解得k=13
故选：D
点评：本题考查等差数列的前n项和公式的合理运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．
10．（2015春•某某校级月考）如图所示，直线y=m与抛物线y2=8x交与点A，与圆（x﹣2）2+y2=16的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值X围是（）
A．（6，8）B．（4，6）C．（8，12）D．（8，10）
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由抛物线定义可得|AF|=x A+2，由已知条件推导出△FAB的周长=6+x B，由此能求出三角形ABF的周长的取值X围．
解答：解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），
由抛物线定义可得|AF|=x A+2，
∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，
由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16，
得交点的横坐标为2，
∴x B∈（2，6）
∴6+x B∈（8，12）
∴三角形ABF的周长的取值X围是（8，12）．
故选：C．
点评：本题考查三角形的周长的取值X围的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的定义和简单性质．
11．（2014•武侯区校级模拟）已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值X围为（）
A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：压轴题；函数的性质及应用．
分析：函数f（x）=|xe x|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣
∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）
有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函
数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值X围．
解答：解：f（x）=|xe x|=，
当x≥0时，f′（x）=e x+xe x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），
由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xe x|在（﹣∞，0）上有一个最大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，
要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（，
+∞）内，
再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，
则只需g（）＜0，即（）2+t+1＜0，
解得：t＜﹣．
所以，使得函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值X围是（﹣∞，﹣）．
故选B．
点评：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+tf （x）+1=0（t∈R）有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．
12．（2015春•某某校级月考）已知函数f（x）=+ax2+2bx+c的两个极值分别为f（x1）和f（x2），若x1和x2分别在区间（﹣2，0）与（0，2）内，则的取值X围为（）A．（﹣2，）B．[﹣2，] C．（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，明确目标函数的几何意义，即可求得结论．
解答：解：求导函数可得f'（x）=x2+ax+2b
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈（﹣2，0），x2∈（0，2），
等价于f'（﹣2）＞0，f'（0）＜0，f'（2）＞0．
∴
满足条件的（a，b）的平面区域为图中阴影部分，三角形的三个顶点坐标为A（﹣2，0），B （0，﹣2），C（2，0），
表示（a，b）与点（1，2）连线的斜率，由图可知故A点的斜率为=，
过B点的斜率为=4，过C点的斜率为=﹣2，
∴的取值X围为（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．
故选D．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，属于中档题．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（2014•嘉定区校级二模）平行四边形ABCD中，=（1，0），=（2，2），则•等于 4 ．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由条件求得=﹣和=的值，再利用两个向量的数量积公式求得•的值．
解答：解：平行四边形ABCD中，∵=（1，0），=（2，2），=，
∴=﹣=（1，2），==（0，2），
∴•=（1，2）•（0，2）=0+4=4，
故答案为：4．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．
14．（2015春•某某校级月考）从集合A={﹣2，﹣1，1}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣1，1，3}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第四象限的概率为．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第四象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A={﹣2，﹣1，1}，b∈B={﹣1，1，3}，
得到（k，b）的取值所有可能的结果有：
（﹣2，﹣1）；（﹣2，1）；（﹣2，3）；（﹣1，﹣1）；（﹣1，1）；
（﹣1，3）；（1，﹣1）；（1，1）；（1，3）共9种结果．
而当时，直线不经过第四限，符合条件的（k，b）有2种结果，
∴直线不过第四象限的概率P=，
故答案为：．
点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到，属于基础题．
15．（2014•碑林区校级一模）设函数，则f（x）≤2时x
的取值X围是[0，+∞）．
考点：对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．
解答：解：由分段函数可知，若x≤1，
由f（x）≤2得，
21﹣x≤2，即1﹣x≤1，
∴x≥0，此时0≤x≤1，
若x＞1，
由f（x）≤2得1﹣log2x≤2，
即log2x≥﹣1，即x，
此时x＞1，
综上：x≥0，
故答案为：[0，+∞）．
点评：本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式讨论x的取值X围，解不等式即可．
16．（2015春•某某校级月考）已知函数f（x）
=（n∈N），则f（1）﹣f（2）+f（3）﹣f（4）+…+f（2013）﹣f（2014）+f（2015）= 1008 ．
考点：函数的值．
专题：三角函数的求值．
分析：根据解析式依次求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，归纳出f（n）=n，f（1）﹣f（2）=﹣1，f（3）﹣f（4）=﹣1，代入式子求值即可．
解答：解：由题意得，f（x）=
（n∈N），
所以f（1）==1，=2，
=3，=4，
依此类推得，f（n）=n，f（1）﹣f（2）=﹣1，f（3）﹣f（4）=﹣1，…
所以f（1）﹣f（2）+f（3）﹣f（4）+…+f（2013）﹣f（2014）+f（2015）
=﹣1×1007+2015=1008，
故答案为：1008．
点评：本题考查分段函数及应用，考查数列的求和，三角函数的求值，考查基本的运算能力和探究能力，属于中档题．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分．）
17．（2015春•某某校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（3a﹣c）cosB．
（Ⅰ）求cosB的值．
（Ⅱ）若，且a=c，求△ABC的面积．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，由此求得cosB的值．
（Ⅱ）由条件利用余弦定理求得a=c的值，再根据△ABC的面积为ac•sinB，计算求的结
果．
解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC=（3a﹣c）cosB，利用正弦定理可得
sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，
∴sin（B+C）=sinA=3sinAcosB，∴cosB=．
（Ⅱ）若，且a=c，则由余弦定理可得 b2=3=a2+a2﹣2a•a•cosB，求得a=c=，
∴△ABC的面积为a c•sinB=××=．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式，属于基础题．
18．（2015春•某某校级月考）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河流上游六月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5，
现已知近20年的X值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
（Ⅰ）求频率分布表中a，b，c的值，并求近20年降雨量的中位数和平均数；
近20年六月份降雨量频率分布
降雨量70 110 140 160 200 220
频率 a b c
（Ⅱ）假定2015年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求2015年六月份该水力发电站的发电量不低于505万千瓦时的概率．
考点：频率分布表．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）根据题目中的数据，求出a、b、c的值以及中位数和平均数；
（Ⅱ）由题意设Y=X+B，求出B的值，计算当六月份的发电量Y≥505时，降雨量X的取值
X围，求出降雨量的概率，即是发电量的概率．
解答：解：（Ⅰ）由题目中的数据，得；
a=，b=，c==；…（2分）
∴中位数是160，…（4分）
平均数是=（70+110×3+140×4+160×7+200×3+220×2）=156；…（6分）
（Ⅱ）由已知设Y=X+B，
当X=70时，Y=460，即×70+B=460，∴B=425，
∴Y=X+425；
当Y≥505时，X+425≥505，∴X≥160；…（8分）
∴发电量不低于505万千瓦时包含降雨量160，200和220三类，它们彼此互斥；…
∴发电量不低于505万千瓦时的概率为．…
点评：本题考查了频率分布的应用问题以及相互独立事件的概率的计算问题，是基础题目．
19．（2015春•某某校级月考）已知等差数列{a n}满足：a1+a5=14，a3+a9=26，其前n项和为S n．
（1）求a n和S n；
（2）若b n=（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．
考点：数列的求和；等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．
解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=14，a3+a9=26，
∴2a1+4d=14，2a1+10d=26，
解得a1=3，d=2，
∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，
S n==n2+2n．
（2）
b n===，
∴T n=+…+
=
=．
点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（2015•某某模拟）定圆M：=16，动圆N过点F且与圆M
相切，记圆心N的轨迹为E．
（I）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（I）因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且，所以b=1，从而可求求轨迹E的方程；
（Ⅱ）分类讨论，直线AB的方程为y=kx，代入椭圆方程，求出|OA|，|OC|，可得
S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|，利用基本不等式求最值，即可求直线AB的方程．
解答：解：（Ⅰ）因为点在圆内，所以圆N内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且，所以b=1，所以轨迹E的方程为．…（4分）
（Ⅱ）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时|AB|=2．…
（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，
联立方程得，
所以|OA|2=．…（7分）
由|AC|=|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC的方程为，
由解得，=，，…（9分）
S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=，
由于，所以
，…（11分）
当且仅当1+4k2=k2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是，
因为，所以△ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为y=x或y=﹣x．…
点评：本题考查椭圆方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（2014•西城区二模）已知函数f（x）=，其中a∈R
（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）的定义域和极值；
（Ⅱ）当a=1时，试确定函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数，并证明．
考点：利用导数研究函数的极值；函数的定义域及其求法．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）由分母不为0，求出函数的定义域，利用导数的正负性，求出函数的单调区间，从而求出极值；
（Ⅱ）利用导数求出函数的单调区间，知函数是先增后减再增的，又极大值为0，极小值小于0，从而判断函数有两面个零点．
解答：（Ⅰ）解：当a=0时，函数f（x）=的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），
f′（x）==，
令f′（x）=0，得x=0，
当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：
x （﹣∞，﹣1）（﹣1，0） 0 （0，+∞）
f′（x）﹣﹣0 +
f（x）↘↘ 1 ↗
故f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，0）；单调增区间为（0，+∞）．
所以当x=0时，函数f（x）有极小值f（0）=1．
（Ⅱ）解：结论：函数g（x）存在两个零点．
证明过程如下：
由题意，函数g（x）=，
∵＞0，
所以函数g（x）的定义域为R．
求导，得g′（x）=，
令g′（x）=0，得x1=0，x2=1，
当x变化时，g（x）和g′（x）的变化情况如下：
x （﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
g2（x）+ 0 ﹣0 +
g（x）↗↘↗
故函数g（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（﹣∞，0），（1，+∞）．
当x=0时，函数g（x）有极大值g（0）=0；当x=1时，函数g（x）有极小值g（1）=．
∵函数g（x）在（﹣∞，0）单调递增，且g（0）=0，
∴对于任意x∈（﹣∞，0），g（x）≠0．
∵函数g（x）在（0，1）单调递减，且g（0）=0，
∴对于任意x∈（0，1），g（x）≠0．
∵函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，且g（1）=＜0，g（2）=＞0，
∴函数g（x）在（1，+∞）上仅存在一个x0，使得函数g（x0）=0，
故函数g（x）存在两个零点（即0和x0）．
点评：本题考查了函数的定义域，求极值，利用函数的单调性和极值判断函数零点的个数问题．属于中档题．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（2014•某某模拟）如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是圆O的切线．
考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．
专题：计算题；直线与圆．
分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．
解答：证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．
可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．
∴，得．
∵G是AD的中点，即DG=AG．
∴BF=EF．
（2）连接AO，AB．
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．
由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．
又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．
∵BE是圆O的切线，
∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．
点评：本题求证直线是圆的切线，着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识，属于中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2015•某某一模）在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ
（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值X围．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程
ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程即可得出．
（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4
（sinα+cosα）t+4=0．由于曲线C与直线相交于不同的两点M、N，可得△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，可得．
利用根与系数的关系t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．及
|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，即可得出．
解答：解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．
曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．
（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4
（sinα+cosα）t+4=0．
∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，
∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，
∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），
∴．
又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．
∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，
∵，∴，
∴．
∴|PM|+|PN|的取值X围是．
点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．
【选修4-5：不等式选讲】
24．（2015•某某二模）已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；
（Ⅱ）若A=R，求a的取值X围．
考点：绝对值三角不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（I）利用绝对值的几何意义，化去绝对值，解不等式，可得结论；
（II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立，当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4，从而可求a的取值X围．
解答：解：（I）若a=1，则|2x﹣1|+|x+3|≥2x+4
当x≤﹣3时，原不等式可化为﹣3x﹣2≥2x+4，可得x≤﹣3
当﹣3＜x≤时，原不等式可化为4﹣x≥2x+4，可得3x≤0
当x＞时，原不等式可化为3x+2≥2x+4，可得x≥2
综上，A={x|x≤0，或x≥2}；
（II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立
当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4
∴x≥a+1或x≤
∴a+1≤﹣2或a+1≤
∴a≤﹣2
综上，a的取值X围为a≤﹣2．
点评：本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。