斐波那契堆——精选推荐

斐波那契堆
本章内容：
⼀　斐波那契堆结构
⼆　可合并堆操作
三　关键字减值和删除⼀个结点
四　最⼤度数的界
可合并堆⽀持以下5种操作：
MAKE-HEAP（）：创建和返回⼀个新的空堆
INSERT（H，x）：将⼀个含关键字的元素x插进堆H中
MINIMUN（H）：返回⼀个指向堆H中具有最⼩关键字元素的指针
EXTRACT-MIN（H）：从堆中删除最⼩关键字的元素，并返回⼀个指向该元素的指针
UNION（H1，H2）：创建并返回⼀个包含2个堆中所有元素的新堆，并销毁原来2个堆
斐波那契堆除了以上的堆操作之外还⽀持以下2种操作：
DECREASE-KEY（H，x，k）：将堆H中元素x的关键字赋予新值k，假定新值k不⼤于当前的关键字。

DELETE（H，x）：从堆中删除元素x
可合并堆的运⾏时间
⼀　斐波那契堆结构
1.　斐波那契堆是⼀系列具有最⼩堆序的有根树的集合，每棵树遵循最⼩堆的性质，即每个结点的关键字⼤于或等于⽗结点的关键字。

2.　每个结点x包含⼀个指向⽗结点的指针x.p和⼀个指向它的某⼀个孩⼦的指针x.child。

x的所有孩⼦被链接成⼀个双向的链表，称为x的孩⼦链表。

每个孩⼦y有指针y.left和y.right。

如果y是仅有的⼀个孩⼦，则y.left = y.right = y。

3.　x.degree记录孩⼦的个数。

4.　x.mark指⽰结点x⾃从上⼀次成为另⼀个结点的孩⼦后，是否失去过孩⼦。

新产⽣的结点是未被标记的。

5.　H.min指向具有最⼩关键字的树的根结点。

6.　H.n记录堆中所有结点的数⽬。

7.　所有树的根⽤其left和right链成⼀个环形的双链表，称为根链表。

8.　势函数：
t（H）表⽰根链表中树的数⽬，m（H）表⽰已标记的结点数⽬。

9.　⼀个例⼦
⼆　可合并堆的操作
1.　插⼊⼀个结点x，x已经被分配且x.key已经被赋值：
该操作势的增加量为：
实际代价为O（1），摊还代价为O（1） + 1 = O（1）
2.　两个斐波那契堆的合并：
势函数变化为：
所以实际代价为O（1）
3.　抽取最⼩结点：
该过程⾸先将最⼩结点的每个孩⼦变成根结点，并从链表中删除该结点，然后通过CONSOLIDATE把具有相同度数的根结点合并来链接成新的根链表，直到每个度数⾄多只有⼀个根在根链表中。

合并相同度数的根结点：
把根结点y链接到x成为x的孩⼦：
4～14⾏遍历根链表，对根链表中的每个结点x，查找辅助数组A，如果没有相同度数的结点，则将该结点标记为该度数的结点。

如果已经存在，则将key值⼤的结点链接到⼩的上⾯，使x的degree加1，并继续判断是否有度数相同的结点。

这样14⾏之后A中记录的根链表将没有重复度数的根结点。

然后15~23⾏利⽤辅助数组A重建根链表。

抽取最⼩结点操作的摊还代价最多为O(D(n))，即与最⼤度数成正⽐。

后⾯将会证明D(n) = O(lg n)，所以该操作的摊还代价为O(lg n).
三　关键字减值和删除⼀个结点
1.　关键字减值：
减值后如果没有违反最⼩堆序则⽆需改变，否则要在6~7⾏进⾏切断和级联切断操作。

回顾前⾯提到的结点的⼀个属性mark，在该结点成为根结点的时候置为false，在成为⼀个孩⼦结点并且失去⼀个孩⼦后置为true。

CUT函数⾸先切断x与⽗结点y的链接，并将x置为根结点，然后对其⽗结点y进⾏级联切断。

这⾥的规则是如果⼀个结点的mark为true并且失去⼀个孩⼦就要将其与⽗结点切断，意思就是当⼀个⾮根结点失去第⼆个孩⼦（失去第⼀个孩⼦时mark值变为true）的时候将其与⽗结点切断。

CASCADING-CUT就是通过递归操作⼀直往上切断，直到遇到根结点或者遇到⼀个未被标记的结点并将mark置为true。

可以证明FIB-HEAP-DECREASE-KEY的摊还代价为O(1).
2.　删除⼀个结点：
将最⼩关键字负⽆穷赋予x后即可通过FIB-HEAP-EXTRACT-MIN将其移除。

四　最⼤度数的界
1.　可以证明⼀个具有n个结点的斐波那契堆中任意结点的度数的上界D(n)为O(lg n)，从⽽可以得到FIB-HEAP-EXTRACT-MIN和FIB-HEAP-DELETE操作摊还时间为O(lg n)。