北师大八年级数学教案-实数

2．6實數
1．瞭解實數的概念，能按要求進行分類；(重點)
2．能利用化簡對實數進行簡單的四則運算．(難點)
一、情境導入
畢達哥拉斯學派認為宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比，即都可用有理數來描述，但後來這個學派的一位年輕成員希伯索斯(Hippasus)發現邊長為1的正方形的對角線的長度不能用整數或整數的比來表示，這就引起了畢達哥拉斯學派信徒們的恐慌，為此希伯索斯招來了殺身之禍，後來被投入大海．他這一死，使得這一偉大發現的發展推遲了500多年，給數學的發展造成了不可彌補的損失．這是怎樣的一個發現呢？
學習了本節知識之後，你就會知道了．
二、合作探究
探究點一：實數的相關概念及分類
把下列各數填入相應的集合內：
－1
2
，－3，
2
3
，
9
2
，－
3
－8，0，－π，－
117
3
，－4.2
·
01
·
，3.1010010001…(相鄰兩
個1之間0的個數逐次加1)．
有理數集合：{…}；
無理數集合：{…}；
整數集合：{…}；
分數集合：{…}；
正實數集合：{…}；
負實數集合：{…}；
解析：根據有理數、無理數等的概念進行分類，應注意先把一些數化簡再進行判斷，如
－3
－8＝2.
解：有理數集合：{－
1
2
，
9
2
，－
3
－8，0，－
117
3
，－4.2
·
01
·
，…}；
無理數集合：{－3，2
3
，－π，3.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數逐次加1)，…}；
整數集合：{－3
－8，0，…}；
分數集合：{－12，92，－117
3
，－4.2·01·
，…}；
正實數集合：{23，92
，－3
－8，3.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數逐次加1)，…}；
負實數集合：{－12，－3，－π，－117
3
，－4.2·01·
，…}．
方法總結：至今我們所學的數不是有理數就是無理數，因此可先把題目中所列各數分成
這兩類，再從有理數中找整數及分數，這樣可分散難點，逐個突破，同時可避免重複或遺漏．
探究點二：實數的性質
分別求下列各數的相反數、倒數和絕對值． (1)3
－64；(2)225；(3)11.
解析：根據實數的相反數、倒數和絕對值的定義寫出相應結果．注意(1)(2)中的兩個數要先化簡為整數．
解：(1)∵3－64＝－4，∴3
－64的相反數是4，倒數是－14，絕對值是4.
(2)∵225＝15，∴225的相反數是－15，倒數是1
15
，絕對值是15.
(3)11的相反數是－11，倒數是
1
11
，絕對值是11.
方法總結：在實數範圍內，相反數、倒數和絕對值等的意義和在有理數範圍內的完全相同．
探究點三：實數與數軸上點的關係 【類型一】 求數軸上的點對應的實數
如圖所示，數軸上A ，B 兩點表示的數分別為－1和3，點B 關於點A 的對稱點為
C ，求點C 所表示的實數．
解析：首先結合數軸和利用已知條件可以求出線段AB 的長度，然後利用對稱軸的性質即可求出點C 所表示的實數．
解：∵數軸上A ，B 兩點表示的數分別為－1和3，∴點B 到點A 的距離為1＋3，則點C 到點A 的距離為1＋3，設點C 表示的實數為x ，則點A 到點C 的距離為－1－x ，∴－
1－x ＝1＋3，∴x ＝－2－ 3.
方法總結：本題主要考查了實數與數軸之間的對應關係，其中利用了：當點C 為點B 關於點A 的對稱點時，點C 到點A 的距離等於點B 到點A 的距離；兩點之間的距離為兩數差的絕對值．
【類型二】 利用數軸進行估算
如圖所示，數軸上A ，B 兩點表示的數分別為2和5.1，則A ，B 兩點之間表示整
數的點共有( )
A ．6個
B ．5個
C ．4個
D ．3個
解析：∵2≈1.414，∴2和5.1之間的整數有2，3，4，5，∴A ，B 兩點之間表示整數的點共有4個．故選C.
方法總結：數軸上的點與實數一一對應，結合數軸分析，可輕鬆得出結論．
探究點四：實數的大小比較
已知0<x<1，則x ，1x ，x 2
，x 的大小關係為( )
A ．x<1x <x 2<x
B ．x<x 2
<x<1x
C ．x 2<x<x<1x D.x<x 2
<x<1x
解析：本題可以用特殊值法求解．例如取x ＝14，則1x ＝4，x 2
＝116，x ＝12，從而可以比
較其大小，116<14<12<4，即x 2
<x<x<1x
.故選C 項．
方法總結：當直接比較大小較困難時，我們可以採用特殊值法，所取特殊值必須符合兩個條件：(1)在字母取值範圍內；(2)求值計算簡單．而求實數的相反數、倒數、絕對值的方
法與求有理數的相反數、倒數、絕對值的方法是一樣的．
探究點五：實數的運算
計算： (1)
5
2
＋2.34－π(精確到0.1)； (2)(3＋5)(2－1)(精確到0.01)； (3)(3
－216＋
214
＋3
64)×1
（－0.1）
2.
解析：在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算性質等同樣適用．
解：(1)
52＋2.34－π≈1
2
×2.24＋2.34－3.14≈0.3. (2)(3＋5)(2－1)≈(1.732＋2.236)×(1.414－1)＝3.968×0.414≈1.64. (3)(3
－216＋
214
＋3
64)×1（－0.1）2＝(－6＋3
2
＋4)×10＝－0.5×10＝－5.
方法總結：實數的運算同有理數的運算法則一樣．實數運算中，無理數可選取近似值轉
化為有理數計算，中間結果所取的近似值要比最終結果要求的多一位小數．
三、板書設計
實數⎩⎪⎨⎪⎧概念及分类实数的性质实数与数轴上点的关系实数大小的比较与运算
前面已學習了平方根、立方根，認識了無理數，瞭解了無理數是客觀存在的，從而將有
理數擴充到實數範圍，使學生對數的認識進一步深入．中學階段有關數的問題多是在實數範圍內進行討論的，同時實數內容也是今後學習一元二次方程、函數的基礎．。