甘肃省白银市靖远县2018-2019学年高二下学期期末全县联考数学(文)试题

高二数学试卷（文科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答案卡上． 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}|91A x x =-<≤，{}|73B x x =-<<，则A B =I （ ） A ．{}|73x x -<<
B ．{}|93x x -<<
C ．{}|91x x -<≤
D ．{}|71x x -<≤
2．设21i i 55z ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，则z =（ ）
A
B C ．
15
D ．
125
3．以圆M ：2
2
460x y x y ++-=的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（ ） A ．()()2
2
239x y ++-= B ．()()22
239x y -++= C ．()()2
2
233x y ++-=
D ．()()2
2
233x y -++=
4．某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g ）进行统计，得到如下茎叶图，若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在[]
499,50内的概率为（ ）
A ．
513
B ．
613 C ．713 D ．
813
5．函数()()2ln 12
x
f x x x =++-的定义域为（ ）
A ．()1,-+∞
B ．()()1,22,-+∞U
C ．[
)()1,22,-+∞U
D ．()1,2-
6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m α⊂，n β⊂，则下列命题正确的是
（ ）
A ．若n α∥，m β∥，则αβ∥
B ．若l αβ=I ，且m l ⊥，则m β⊥
C ．若m n ∥，m β∥，则αβ∥
D ．若l αβ=I ，且m l ∥，则m β∥
7．函数()662,0,
log 12,0
x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（ ）
A ．-1
B ．1
C ．-2
D ．2
8．已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，223S a =，则34
12
a a a a +=+（ ）
A ．
14
B ．
12
C ．2
D ．4
9．将偶函数()()()sin 30πf x x ϕϕ=+<<的图象向右平移π
12
个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（ ） A ．()π7π,0336k k ⎛⎫
+∈
⎪⎝
⎭Z
B ．()ππ,0312k k ⎛⎫
+∈
⎪⎝
⎭Z C ．()ππ,0336k k ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
Z
D ．()ππ,034k k ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
Z 10．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m ≡，仍如()102mod4≡，左侧程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的i =（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
11．已知三棱锥A —BCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，AB =4，AD =
BC CD ==O 的体积为（ ）
A ．
B
C ．
D π 12．如图，过双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点F 作x 轴的垂线交C 于A ，B 两点（A 在
B 的上方），若A ，B 到
C 的一条渐近线的距离分别为1d ，2d ，且214d d =，则C 的离心率为（ ）
A
B ．
5
4
C D ．
43
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．设向量a 与向量b 共线，且()3,k =a ，()1,1=-b ，则k =________．
14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为2
2n S n n =-，则数列{}n a 的通项公式为________．
15．曲线()3
1ln y x x =+在点（1，1）处的切线方程为________．
16．某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学，有人询问了四名员工，甲说：“好像是乙或丙去了．”乙说：“甲、丙都没去．”丙说：“是丁去了．”丁说：“丙说的不对．”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =2．
（1）若b =，30A =︒，求B ；
（2）若△ABC 的面积3ABC S ∆=，4
cos 5
B =，求b ，c 的值． 18．（12分）
微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号，手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞，现从小明的微信朋友圈内随机选取了50人（男、女各25人），并记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：
若某人一天走路的步数超过9000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”． （1）利用样本估计总体的思想，估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过12000步的概率； （2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有99.5%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
附：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++．
19．（12分）
已知函数()()()2e
0x
f x k x k =-≠．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1k =时，求()f x 在[]
1,4-上的值域． 20．（12分）
如图，在四棱锥B —ACDE 中，正方形ACDE 所在平面与正△ABC 所在平面垂直，M ，N 分别为BC ，AE 的
中点，F 在棱CD 上．
（1）证明：MN //平面BDE ．
（2）已知AB =2，点M 到AF 的距离为5
，求三棱锥C —AFM 的体积． 21．（12分）
已知点)
F
是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点，点12M ⎫⎪⎭在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，且1
2
OA OB k k +=-（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为13cos 13sin x y α
α
=+⎧⎨
=+⎩（α为参数）．在以原点为极点，x 轴正半轴
为极轴的极坐标中，直线l πcos 4m θ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
． （1）求曲线M 的普通方程，并指出曲线M 是什么曲线；
（2）若直线l 与曲线M 相交于A ，B 两点，4AB =，求m 的值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数()1f x x x a =++-．
（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()4f x ≤在[]
0,2上恒成立，求a 的取值范围．
高二数学试卷参考答案（文科）
1．D {}|71A B x x =-<≤I ．
2．A 12i 55z =+
，则z ==
3．A 由题意可得圆M 的圆心坐标为（-2，3），则所求圆的方程为()()2
2
239x y ++-=． 4．B 这13个数据中位于[]
499,501的个数为6，故所求概率为6
13
． 5．B 由题意得10,
20,
x x +>⎧⎨
-≠⎩解得12x -<<或2x >．
6．D 因为l αβ=I ，所以l β⊂，因为m l ∥，所以m β∥．
7．A 函数()662,0,
log 12,0
x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点为6log 2，6log 12-，
故零点之和为666log 2log 12log 61-=-=-． 8．A 由题意得，22123S a a a =+=，2112a a =
，公比12
q =，则2
342114a a q a a +==+．
9．D ∵()()()sin 30πf x x ϕϕ=+<<为偶函数，∴()cos3f x x =， ∴ππcos 3124f x x ⎛
⎫⎛⎫-
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
．令()ππ3π42x k k -=+∈Z ，得()ππ34k x k =+∈Z ． 10．C 2i =，13n =，()1mod3n ≡；4i =，17n =，()2mod3n ≡，()2mod5n ≡；8i =，25n =，
()1mod3n ≡；16i =，41n =，()2mod3n ≡，()1mod5n ≡，输出16i =．
11．因为AB ⊥平面BCD ，所以AB BD ⊥，又AB =4
，AD =， 所以BD =2
，又BC CD ==
222BC CD BD +=，则BC CD ⊥．
由此可得三棱锥A —BCD 可补形成长方体，
2R =
=，
所以球O 的体积为3
44
π33
V R ==
，3
π
=
．
12．B 易知A ，B 的坐标分别为2,b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b c a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，
图中对应的渐近线方程为0bx ay -=，则21bc b d c -=，22bc b d c +=，∵214d d =，∴3c =5b ，∴()222925c c a =-，∴5
4
c e a ==．
13．3- 由题意可得3k =-，则3k =-．
14．43n a n =- 当n =1时，111a S ==；当2n ≥时，()2
21221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-．
又因为11a =满足43n a n =-，所以43n a n =-．
15．430x y --=（或43y x =-） ∵2
2
43ln y x x x '=+，∴当x =1时，4y '=，同所求切线方程为
()141y x -=-，即430x y --=．
16．甲 若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意；若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意；若丁去，
则乙、丙都说的对，不符合题意；若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意．
17．解：（1）根据正弦定理得，sin sin b A B a =
==．………………………………3分 ∵b >a ，∴B >A =30°，∴B =60°或120°．…………………………………………………………………6分 （2）∵4cos 05B =>，且0πB <<，3
sin 5B ∴=．……………………………………………………8分 ∵1sin 32ABC
S ac B ∆==，∴13
2325
c ⨯⨯⨯=，∴5c =．………………………………………………10分
∴由作弦定理2222cos b a c a B =+-，得b =．………………………………………………………12分 18．解：（1）根据表中数据可知，50位好友中走路步数超过12000步的有7人，………………………2分 由此可估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过12000步的概率7
50
P =．…………………………4分 （2）根据题意完成的2×2列联表如下：
……………………………………………………………………………………………………………………8分
2K 的观测值()2
50201510525
7.87930202525
3
k ⨯-⨯=
=
>⨯⨯⨯，……………………………………………………10分 所以有99.5%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．…………………………………………………12分
19．解：（1）因为()()2e x f x k x =-，所以()()1e x
f x k x '=-．………………………………………1分
①当0k >时， 由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >．
故此时()f x 的单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞．……………………………………3分 ②当0k <时，由()0f x '<，得1x >；由()0f x '>，得1x <．
故此时()f x 的单调递减区间为()1,+∞，单调递增区间为(),1-∞．………………………………………5分 （2）当1k =时，()()2e x
f x x =-，
由（1）知()f x 在区间(),1-∞递减，在区间()1,+∞上单调递增，………………………………………6分 则当[]
1,4x ∈-时，()()min 1e f x f ==-，…………………………………………………………………7分 又()31e
f -=-，()4
42e f =，………………………………………………………………………………9分 且432e e
>-
，故()4
max 2e f x =．……………………………………………………………………………11分 所以函数()f x 在[]
1,4-上的值域为4e,2e ⎡⎤-⎣⎦．
……………………………………………………………12分 20．（1）证明：取BD 的中点G ，连接EG ，MG ， ∵M 为棱BC 的中点， ∴MG CD ∥，且1
2
MG CD =
．………………………………………………………………………………1分 又N 为棱AE 的中点，四边形ACDE 为正方形， ∴EN CD ∥，且1
2
EN CD =
．………………………………………………………………………………2分 从而EN MG ∥，且EN =MG ，于是四边形EGMN 为平行四边形，…………………………………………3分 则MN EG ∥．……………………………………………………………………………………………………4分 ∵MN ⊄平面BDE ，EG ⊂平面BDE ，∴MN ∥平面BDE ．………………………………………………5分 （2）解：（法一）过M 作MI AC ⊥于I ，
∵平面ACDE ⊥平面ABC ，∴MI ⊥平面ACDE ，…………………………………………………………6分
过I 作IK
AF ⊥于K ，连接MK ，则MK AF ⊥．…………………………………………………………7分
∵AB =2，∴122MI ==MK ===，
∴IK =
C 作CH AF ⊥于H ，易知3
4IK AI CH AC ==，则43CH =
=9分 ∵
AC CF CH AF ⨯=
=CF =1．………………………………………………………………10分
（法二）在正ABC ∆中，∵M 为BC 的中点，∴AM BC ⊥．……………………………………………6分 ∵平面ABC ⊥平面ACDE ，AC CD ⊥，
∴CD ⊥平面ABC ，CD AM ∴⊥．…………………………………………………………………………7分 ∵BC CD C =I ，∴AM
⊥平面BCD ，AM MF ∴⊥．…………………………………………………8分
设CF a =，在AFM ∆中，AM =，FM =AF =，
则
11225
=，解得1a =．…………………………………………………10分
从而2111232C AFM F ACM V V --==
⨯⨯=．………………………………………………………12分
21．解：（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为()
，…………………………………………………1分
所以点M 1
42
=，………………………………………………3分
所以2a =，………………………………………………………………………………………………………4分
又因为c =b =1则椭圆C 的方程为2
214
x y +=．…………………………………………………5分 （2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，0OA OB k k +=，不符合题意．………………6分 故直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立22
,1,4
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222418410k x kmx m +++-=．
所以()()1222122
228,4141,4116410,km x x k m x x k k m -⎧
+=⎪+⎪
-⎪⎪
=⎨+⎪
⎪∆=-+>⎪⎪⎩
………………………………………………………………………………8分 而()()()()21221121222
1212128222141OA OB
kx m x kx m x m x x y y km k
k k k k x x x x x x m m ++++--+=+==+=+=--， 由1
2
OA OB k k +=-，可得241m k =+．………………………………………………………………………10分 所以1
4
k ≥-
，又因为()221610k m -+>，所以2440k k ->， 综上，()1,01,4k ⎡⎫
∈-
+∞⎪⎢⎣⎭
U ．………………………………………………………………………………12分 22．解：（1）由13cos 13sin x y αα
=+⎧⎨
=+⎩（α为参数），消去参数得()()22
119x y -+-=，
故曲线M 的普通方程为()()2
2
119x y -+-=，……………………………………………………………2分 曲线M 的轨迹是以（1，1）为圆心，3为半径的圆．………………………………………………………4分 （2
πcos 4m θ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，展开得cos sin 0m ρθρθ--=， ∴l 的直角坐标方程为0x y m --=．…………………………………………………………………………6分
则圆心到直线l
，…………………………………………………………………………………8分
则2
2232=-，
解得m =………………………………………………………………………10分 23．解：（1）因为()2,1,112,11,2,1,x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩
……………………………………………………2分
所以()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎤-∞-+∞ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
U ．……………………………………………………………5分 （2）因为[]0,2x ，所以14x x a ++-≤，…………………………………………………………………6分 即3x a x -≤-，则332a x -≤-≤-，………………………………………………………………………8分 所以13a ≤≤．…………………………………………………………………………………………………10分。