山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 平面与平面垂直的判定导学案 新人教A版必修2

山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 平面与平面垂直的判定
导学案 新人教A 版必修2
问题1:(1)若直线垂直于平面，则这条直线 平面内的任何直线；
(2)直线与平面垂直的判定定理为_______________________________________. 问题2:(1)什么是直线与平面所成的角?(2)直线与平面所成的角的范围为______________. 2.平面与平面垂直的概念 (1)二面角的有关概念的探究:
图11-1
问题3：上图中,水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?
(2)二面角概念:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角AB αβ--或l αβ--或P AB Q --.
图11-2
问题4：二面角的大小怎么确定呢？
(3)二面角的平面角概念：如图11-3，在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，则射线OA 和OB 构成的
AOB ∠叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.
图11-3
问题5:⑴两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？
⑵你觉的二面角的大小范围是多少？
⑶二面角平面角的大小和O 点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？
(4)平面与平面垂直的概念：
问题6：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构
成几个二面角？它们的大小是多少？
两个平面互相垂直：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图11-4，α垂直β，记作αβ⊥.
图11-4
问题7：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？
3.两个平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
l
问题：(1)定理的符号语言是:
(2) 定理的实质是: (3)定理的作用是: 4.典型例题
例1.下列命题中正确的是( )
A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则αβ⊥
B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行直线,则αβ⊥
C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线,则αβ⊥
D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线,则αβ⊥
例2.如图11-5，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC .
图11-5
例3.如图11-6，在正方体中，求面A D CB ''与面ABCD 所成二面角的大小（取锐角）.
图11-6
小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角. 例
4.
如
图
11-7,
在
空
间
四
边
形
SABC 中,ASC ∠
=90°,60ASB BSC ∠==°,SA SB SC ==,⑴求证：平面ASC ⊥平面ABC . ⑵求二面角S AB C --的平面角的正弦值.
B '
C ' A ' D
C B
A D ' S
C
B
A
图11-7
5.课堂练习 P 69 练习题
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
1.以下四个命题，正确的是（ ）. A.两个平面所成的二面角只有一个 B.两个相交平面组成的图形叫做二面角
C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个
D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关
2.对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（ ）. A.,//,//m n m n αβ⊥ B.,,m n m n α
βα⊥=⊂
C.//,,m n n m βα⊥⊂
D.//,,m n m n αβ⊥⊥
3.在正方体1111ABCD A B C D -中,过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（ ）.
A.相交不垂直
B.相交成60°角
C.互相垂直
D.互相平行 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它和这条斜线的位置关系
为_______.
5.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的半平面,则这两个二面角的大小关系是 .
如图11-8，AC ⊥面BCD ，BD CD ⊥，设ABC ∠=
1θ，2CBD θ∠=，3ABD θ∠=， 求证：312cos cos cos θθθ=
图11-8
7.如图11-9，在正方体中，,E F 是棱A B ''与D C ''的中点，求面EFCB 与面ABCD 所成二面角的正切值.（取锐角）
图11-9 拾遗补缺:
※ 学习小结
1. 二面角的有关概念，二面角的作法；
2. 两个平面垂直的判定定理及应用.
拓展空间
二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面α内一点A ,作AB β⊥于点B ，再作
BO l ⊥于O ,连接OA ,则AOB ∠即为所求平面角.(为什么?)。