2014-2015学年 高中数学 人教A版选修1-1 第二章 2.1.1(二)椭圆及其标准方程(二)

本 讲 栏 目 开
∴的x中1＝点3.的把横x1坐＝标3 代为入0，椭知圆x方1－2程31＝x22 ＋0，y32＝1，得 y1＝± 23，即 P
关

点的坐标为3，±

23，
∴|PF2|＝|y1|＝ 23.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝4 3，
∴|PF1|＝4
3－|PF2|＝4
3－
3＝7 2
栏 目
的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义产生
开 关
椭圆的基本量 a，b，c.
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2.1.1(二）
跟踪训练 1 已知圆 A：(x＋3)2＋y2＝100，圆 A 内一定点
B(3，0)，圆 P 过 B 且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨迹方程.
解 如图，设圆 P 的半径为 r，又圆 P 过点 B，
即所求△PF1F2 的重心 M 的轨迹方程为 x2＋9y2＝1 (y≠0).
2.1.1(二）
1.解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是
本 讲 栏 目 开 关
2.注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.
2.1.1(二）
3.“m>n>0”是“方程 mx2＋ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭
圆”的 A.充分不必要条件
(C ) B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
本 讲 栏
解析 将方程 mx2＋ny2＝1 化为x12＋y12＝1，根据椭圆的定义，
目
mn
开
关
m1 >0
要使焦点在 y 轴上，必须满足1n>0
2.1.1(二）
1.设定点 F1(0，－3)、F2(0,3)，动点 P 满足条件|PF1|＋|PF2|
本
＝a＋9a (a>0)，则点 P 的轨迹是
讲 A.椭圆
栏
B.线段
目 C.不存在
D.椭圆或线段
开 关
解析 ∵|PF1|＋|PF2|＝a＋9a≥6＝|F1F2|，
(D )
∴点 P 的轨迹是椭圆或线段.
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2.1.1(二）
小结 通过例 3 的学习，体会椭圆的另一种生成方法：一个
本 动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数(不等于－1)，
讲 栏
轨迹即为椭圆，但要注意除去不符合题意的点.
目
开
关
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2.1.1(二）
跟踪训练 3 已知 M(4,0)，N(1,0)，若动点 P 满足M→N· M→P＝6|→NP|.求动点 P 的轨迹 C 的方程.
利用相关点的方法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为
本 讲
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标 P(x，y)，已知曲线上动点
栏 目
坐标 Q(x1，y1).
开 关
(2)求关系式：用点 P 的坐标表示出点 Q 的坐标，即得关系
式xy11＝ ＝ghxx， ，yy， ，
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹
本
解则→MP设＝动(x点－4P，(x，y)，y)，M→N＝(－3,0)，→PN ＝(1－x，－y)，
讲
栏
由已知得－3(x－4)＝6 1－x2＋－y2，
目
开 关
化简得 3x2＋4y2＝12，即x42＋y32＝1.
∴点 P 的轨迹方程是椭圆 C：x42＋y32＝1.
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∴|AQ|＝|PQ|，∴|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6，
∴点 Q 的轨迹为以 A、B 为焦点的椭圆，且 2a＝6,2c＝4，
∴点 Q 的轨迹方程为x92＋y52＝1.
动画演示轨迹
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2.1.1(二）
小结 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将
本
讲 题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆
2.1.1(二）
2.椭圆xm2＋y42＝1 的焦距等于 2，则 m 的值为
A.5
B.8
C.5 或 3
D.16
本 讲
解析 当 m>4 时，m－4＝1，即 m＝5；
栏
目 当 0<m<4 时，4－m＝1，即 m＝3.
开
关
(C )
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2.1.1(二）
3.设 B(－4,0)，C(4,0)，且△ABC 的周长等于 18，则动点 A
本 讲
化简得，－y225a＋2x52 ＝1 (x≠±5).
栏 目
(1)当 a＝－1 时，曲线表示圆 x2＋y2＝25
开 关
(x≠±5)，去掉两点(±5,0).
(2)当 a≠－1 时，曲线表示椭圆，去掉两点(±5,0).
当－1<a<0 时，椭圆焦点在 x 轴上；
当 a<－1 时，椭圆焦点在 y 轴上.
2.1.1(二）
1.已知椭圆xm2＋1y62 ＝1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为
本
3，到另一焦点距离为 7，则 m 等于
(D )
讲 栏
A.10
B.5
C.15
D.25
目 开
解析 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴a＝5，
关 ∴a2＝25，即 m＝25.
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解 设 M 点的坐标为(x，y)，P 点的坐标为(xP，yP)，
栏 目
xP＝x
开 关
由已知易得yP＝54y ，
∵P 在圆上，∴x2＋54y2＝25，
即轨迹 C 的方程为2x52 ＋1y62 ＝1，该曲线表示椭圆.
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2.1.1(二）
探究点三 直接法求轨迹方程
⇔m>n>0.
1 1 m<n
试一试·双基题目、基础更牢固
2.1.1(二）
4.椭圆1x22 ＋y32＝1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上，线段 PF1 的中点在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的___7_____倍.
解析 依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为
F1(－3,0)，F2(3,0)，设 P 点的坐标为(x1，y1)，由线段 PF1

∴|PB|＝r.
本 讲
又∵圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10，
栏 目
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
开 关
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|).
∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆.
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.
∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. ∴点 P 的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1.
例 3 如图，设点 A，B 的坐标分别为(－5,0)，
(5,0).直线 AM，BM 相交于点 M，且它们
的斜率之积是－49，求点 M 的轨迹方程.
本 解 设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 A 的坐标是(－5,0)，
讲 栏 目
所以，直线 AM 的斜率 kAM＝x＋y 5 (x≠－5)；
开 关
同理，直线 BM 的斜率 kBM＝x－y 5(x≠5).
的轨迹方程为 A.2x52 ＋y92＝1 (y≠0)
(A ) B.2y52 ＋x92＝1 (y≠0)
C.1x62 ＋1y62 ＝1 (y≠0)
D.1y62 ＋x92＝1 (y≠0)
本 讲
解析 由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|
栏 目
＝10.由椭圆的定义可知，点 A 的轨迹是椭圆的一部分，且
开 关
2a＝10,2c＝8，即 a＝5，c＝4，所以 b2＝a2－c2＝25－16＝9， 则椭圆方程为2x52 ＋y92＝1.当点 A 在直线 BC 上，即 y＝0 时，
A，B，C
三点不能构成三角形.因此，顶点
A
的轨迹方程是 x2 25
＋y92＝1(y≠0).
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2.1.1(二）
2.1.1(二）
2.1.1 椭圆及其标准方程(二)
【学习要求】
加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的
本
讲
轨迹问题.
栏 目
【学法指导】
开 关
通过例题的学习，进一步用运动、变化的观点认识椭圆，
感知数学与实际生活的联系，通过生成椭圆的不同方法，
体会椭圆的几何特征的不同表现形式.
试一试·双基题目、基础更牢固
2
3，即|PF1|＝7|PF2|.
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2.1.1(二）
探究点一 定义法求轨迹方程
例 1 如图，P 为圆 B：(x＋2)2＋y2＝36 上一动
本 点，点 A 坐标为(2,0)，线段 AP 的垂直平分
讲
栏 线交直线 BP 于点 Q，求点 Q 的轨迹方程.
目
开 关
解 ∵直线 AP 的垂直平分线交直线 BP 于点 Q，
关
所以 x20＋y20＝4.
①
把 得
xx02＝＋x4，y2y＝0＝4，2y即代x4入2＋方y2程＝①1. ，
②
所以点 M 的轨迹是一个椭圆.
演示轨迹
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2.1.1(二）
问题 从例 2 你能发现椭圆与圆之间的关系吗？ 答案 圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.
小结 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般
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2.1.1(二）
2.已知椭圆 5x2＋ky2＝5 的一个焦点坐标是(0,2)，那么 k 的值
为
本
(B)
讲 A.－1
B.1
C. 5
D.－ 5
栏 目 开 关
解析 椭圆方程可化为 x2＋y52＝1，且一个焦点坐标为(0,2)，
k
∴5k－1＝4，解得 k＝1.
试一试·双基题目、基础更牢固
的方程，并把所得方程化简即可.
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2.1.1(二）
跟踪训练 2 如图，设 P 是圆 x2＋y2＝25 上的
动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.当 P 在圆上运动时，
求点 M 的轨迹 C 的方程，并判断此曲线的类型.
本 讲
由已知有x＋y 5×x－y 5＝－49(x≠±5)，
化简，得点 M 的轨迹方程为2x52 ＋1y020＝1 (x≠±5).
9
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2.1.1(二）
问题 若将例 3 中的－49改为 a (a<0)，曲线形状如何？ 答案 设点 M(x，y)，则
x＋y 5·x－y 5＝a (x≠±5).
4.椭圆x92＋y2＝1 上有动点 P，F1，F2 是椭圆的两个焦点，求 △PF1F2 的重心 M 的轨迹方程.
本
讲 解 设 P，M 点坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，
栏
目 ∵在已知椭圆方程中，a＝3，b＝1，∴c＝ 9－1＝2 2.
开
关 ∴已知椭圆两焦点为 F1(－2 2，0)，F2(2 2，0). ∵△PF1F2 存在，∴y1≠0.
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2.1.1(二）
由三角形重心坐标公式有
x＝x1＋－23 2＋2 2，
本 讲
y＝y1＋30＋0，
即xy11＝＝33yx.，
栏 目 开 关
∵y1≠0，∴y≠0.已知点 P 在椭圆上，将上面结果代入已知 椭圆方程，有39x2＋(3y)2＝1 (y≠0)，
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2.1.1(二）
探究点二 相关点法求轨迹方程
例 2 如图，在圆 x2＋y2＝4 上任取一点 P，过点
P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足.当点 P 在
圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什
本
么？为什么？
讲 栏 目 开
解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)， 则 x＝x0，y＝y20.因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，