2013高中数学高考真题分类：考点37-立体几何中的向量方法

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考点 37 立体几何中的向量方法
1.（ 2013·北京高考理科·Ｔ 17）如图，在三棱柱ABC- A1B1C1中，AA1C1C是边长为 4 的正方形 . 平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.
（1）求证：AA1⊥平面ABC；
（2）求二面角 A1 -BC1-B 1的余弦值；
（3）证明：在线段 BC1存在点 D，使得AD⊥A1B，并求
BD
的值 . BC1
【解题指南】（1）利用面面垂直证明线面垂直.
（ 2）建系，求出二面角对应两个面的法向量，利用法向量的夹角求二面角的余弦值 .
（ 3）设出 D 点坐标，利用向量解题.
【分析】（ 1）由于A1ACC1是正方形，因此 AA1 AC 。

又由于平面ABC 平面 A1 ACC1, 交线 AC ，因此 AA1 平面 ABC 。

（2）由于AC4,BC 分别以 AC, AB, AA1为
5,AB 3，因此 AC AB 。

x轴, y轴， z轴成立如下图的空间直线坐标系。

则 A 1 (0,0,4), B(0,3,0), C 1(4,0, 4), B 1 (0,3,4) ， AC 11 (4,0,0) ， A 1B (0,3, 4) ，
B 1
C 1 (4,
3,0), BB 1 (0,0, 4) ，
设平面 A 1 BC 1 的法向量为 n 1 ( x 1 , y 1 , z 1) ，平面 B 1 BC 1 的法向量 n 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，
因此 AC 1 1 n 1
，
因此 4x 1 0
， 因此可取 n 1 (0, 4,3) 。

A 1
B n 1 0
3 y 1 4z 1
由
B 1
C 1 n
2
0 可得 4 x 2 3y 2
可取 n 2 (3, 4,0) 。

BB n
2
0 4 z 2 0
1
因此 cos
n 1 , n 2
n 1 n 2 16 16 。

| n 1 || n 2 |
5 5
25
由图可知二面角 A -BC -B 为锐角，因此余弦值为 16 。

1
1
1
25
（ 3）点 D 的竖轴坐标为 t(0<t<4) ，在平面 BCC 1B 1 中作 DE BC 于 E, 依据比
例关系可知 D (t , 3 (4 t ), t)(0 t 4)， 因此AD (t, 3
(4 t ),t ), A 1B (0,3, 4) ，
4
4
又由于 AD
A 1
B ， 因此 9
(4 t) 4t 0,因此t 36， 因此 BD
DE 9 。

4
25 BC 1 CC 1 25
2. （ 2013·辽宁高考理科·Ｔ 18）如图，
AB 是圆的直径， PA 垂直圆所在
的平面， C 是圆上的点。

( ) 求证：平面 PAC
平面 PBC ;
( ) 若 AB 2, AC 1,PA 1,求二面角 C PB
A 的余弦值。