2-1地震波传播-清华大学于玉贞-2015

yg
y
k
地震反应：
m c
yg (t) : 输入地面水平地震加速度，已知。
地震
地震反应微分方程：
y(t) 2 y(t) 2 y(t) yg (t)
k
m
c c
cc 2 km
杜哈美积分形式 求解方法： 增量法
逐步积分法
12
2-1：地震波传播 二、单自由度体系的振动 地震反应
单位质量的总能量：
(T V ) / m 1 S 2
16
2
2-1：地震波传播
一、振动与波动 二、单自由度体系的振动 三、振动波在无限弹性介质中的传播 四、地震及基岩中的地震波
17
2-1：地震波传播
三. 振动波在无限弹性介质中的传播
波动：质点振动在介质内的传播过程 求解：物理量（如位移等）的时空分布
通式：

2 f t 2

c2
2 f x2


通解： f

f1(ct x)
f2 (ct x)
λ+2G：侧限压缩模量
入射波，沿x的 反射波，沿x的
正方向传播
负方向传播
第一个方程表示的是压缩波，波速为：
cP
2G
第二三方程表示的是剪切波，波速为：
cS
G

21
2-1：地震波传播 三、振动波在无限弹性介质中的传播
2-1：地震波传播
二. 单自由度体系的振动
单自由度体系 (SDOF System－Single Degree Of Freedom System)
弹簧，弹性系数 k
yg
y
振动体，质量m
阻尼器，阻尼系数 c yg: 地面的绝对位移
地震
y: 振动体离开运动中的平衡位置的相对位移
9
2-1：地震波传播 二、单自由度体系的振动
微分方程 初始条件 边界条件
波动微分方程： －如以位移为基本未知量，则是表示 位移时空分布的微分方程。
时间：t
坐标：x, y, z
z
时空、物理量
位移：u, v, w
o
（假定介质为弹性体） 介质密度：ρ
y
剪切模量：G
x
泊松比：ν
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2-1：地震波传播 三、振动波在无限弹性介质中的传播
波动方程－位移时空分布的微分方程：
y m
地震
相对速度： y (t ) S [ sin( t ) cos( t )] S cos( t )
tan 1(B / A) tan 1 加速度： y(t) 2 y(t) 2 y(t) yg
增量形式实用公式参见相关文 献，也可用逐步积分法求解



yz

w y


z

zx

u z

w x
y
y
ox
2 x


w y


z
旋转：2 y


u z

w x
2 z



x

u y

x
x y z 0
体应变： u w
x y z
2u, 2 , 2w

2u t 2

G2u


2 t 2
G2

2w G2w t 2

剪切波，
波速为： cS
G

22
2-1：地震波传播 三、振动波在无限弹性介质中的传播
在无限弹性介质内部，波动可以有、而且只能有两种不同速度的波
x y z 0
tan1(B / A)
y(t) 1 S sin( t )

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2-1：地震波传播 二、单自由度体系的振动
y(t) 1

t 0
yg
(
)e (t )
sin (t

)d
y(t) 1 S sin(t )
yg k
c
S A2 B2 tan1(B / A)
则：
2u, 2, 2w
x
y
z
x y z 0

2u t 2

(

2G)2u
2 ( 2G)2 t 2


压缩波，

波速为：
cP



2w t 2

(

2G ) 2 w

2G
const
x y z
z oy
拉普拉斯算子：
2 2 2 2 x2 y2 z2
x
19
2-1：地震波传播 三、振动波在无限弹性介质中的传播
－用于分析波的类型
2 z
几何条件：
u
应变：
x


u x
y


y

z

w z



xy


x

u y
地震反应微分方程的解(杜哈美积分形式)：
y(t) 1

t 0
yg
(
)e (t
)
sin (t

)d
y(t)

t 0
yg
(
)e (t
)
cos[(t

)


]d
2
y(t) yg (t)
t 0
yg
(
)e
y(t ) yg 2 y (t ) 2 y (t ) S sin( t )
tan 1(B / A) tan 1(2 )
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2-1：地震波传播 二、单自由度体系的振动
体系的能量：
y(t) 1 S sin(t )
S A2 B2 tan1(B / A)
y(t)
yg (t)
t 0
yg
(
)e (t
)
sin
(t

)d
2 y(t)
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2-1：地震波传播 二、单自由度体系的振动
地震反应微分方程的解：
yg k
y(t) 1

t 0
yg
(
)e (t
)
sin (t

)d
c
λ较小时，忽略λ的高次项：
yg k
c
y m
y(t) S cos(t )
地震
tan1(B / A) tan1
势能： V 1 ky2 2
相对动能： T 1 my2 2
总能量： T V 1 mS 2[sin2 (t ) cos2 (t )]
2
λ较小时：α≈φ，
T V 1 mS 2 2
结构抗震 基础隔震 消能减震
土坝 地基 基岩
地震波
4
内容体系
2-1：地震波传播 2-2：场地分析与剪切层法 2-3：集中质量体系地震反应分析 2-4：土体动力分析有限单元法 2-5：高土石坝地震反应分析 2-6：饱和地基的地震反应分析 2-7：土质边坡地震动力稳定分析
安排：6次讲课，随时讨论；注重实用，加强实践
const
2u ( 2G)2u t 2

压缩波，波速为：


2 t 2

(
2G)2

2w t 2

(

2G ) 2 w

cP
2G

2u t 2

G2u

剪切波，波速为：


2 t 2

G2
波动方程：

2u t 2

(
G)
x

G2u


2 t 2

(
G)
y
G2

2w ( G) G2w
t 2
z

体应变： u w
x y z 旋转部分，如：
x y z 0
2015年5月26日，6月2、9日
要点：机理、概念、思路、方法、应用
5
考核方式
平时成绩 (20)＋两个大作业 (40)＋期末答辩 (40)
平时成绩
按完成作业情况和平 时表现评定
大作业
1、剪切层法 2、有限元法
期末答辩
1、形式：报告10分钟，提问5分钟 2、内容：报告主题可是下列内容之一
（1）讲课内容总结－拓展与提高 （2）文献阅读体会－理解与评价 （3）平时作业感悟－分析与应用 3、要求： （1）认真准备多媒体 （2）可交流，但须独立完成 4、日期：预计第16周末或17周初
ω’≈ω
y(t) 1

t 0
e (t
)
yg
(
)(sin t
cos

cost
sin
)d
y m
地震
A(,t)
t 0
e

(t

)
y
g
(
)
cos

d
B(,t)
t 0
e

(t

)
y
g
(
)
sin

d
y(t) 1 ( Asint B cost) S A2 B2


2w t 2

G 2 w

cS
G

cP > cS
初波，P波
次波，S波
质点振动方向与波的传播方向一致 纵波
质点振动方向与波的传播方向垂直 横波
23
朝日新聞
緊急地震速報、大震災より2秒早く 7日、6.6秒後に
【赤井陽介】東北や関東地方で2012年12月7日に起きた強い地震で、気象 庁は最も震源に近い観測点で地震を検知してから「6.6秒」後に緊急地震速 報を出した、と明らかにした。昨年3月の東日本大震災より2秒ほど早かっ た。震度5弱を観測した宮城県沿岸では、速報が出てから強い揺れに見舞わ れるまでに20秒ほどの猶予があったという。
(t
)
sin[(t


)

2
]d
12
tan 1 / 1 2
λ较小时，忽略λ的高次项：ω’≈ω, δ≈0
y(t) 1

t 0
yg
(
)e (t
)
sin
(t

)d
y(t)
t 0
yg ( )e(t ) cos(t )d
振动的类型与特征参数：
（1）周期振动： 周期T或频率f 或圆频率ω，振幅a，初相角φ。
简谐振动： y(t) a cos(t )
圆频率ω与周期T和频率f间的关系为： 2 2 f
T
任何周期振动都可以分解成为一系列不同频率的简谐振动。
（2）不规则振动： 可表示为傅立叶积分的形式
8
x
y
z
20
2-1：地震波传播 三、振动波在无限弹性介质中的传播
在离扰动中心较远处，振动波可近似地看作单向传播
u , x
2 2 x2
波动方程：
2u t 2

(

2G)
2u x2

2
t 2

G
2
x2

2w t 2

G
2w x2





2u t 2

(
G)
x
G2u
2来自 2 ( G) y
G2


2w t 2

(

G)
z

G 2 w

▽: nabla
应力应变关系（虎克定律） 几何条件 动力平衡方程
拉梅常数： 2G
1 2
体应变： u w
2 m
c c
cc 2 km
临界阻尼系数 阻尼比
y(t) 2 y(t) 2 y(t) yg (t)
SDOF特征参数： 圆频率ω或频率f 阻尼比λ
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2-1：地震波传播 二、单自由度体系的振动
自由振动： yg k
c
y m
λ>1: 不变号地按指数递减， y 没有振动产生，过阻尼；
振动方程：
yg
k
yg (t) : 输入地面水平地震加速度，已知。
m[ yg (t) y(t)] cy(t) ky(t) 0 c
y m
－惯性力
阻尼力 弹性恢复力
地震
my(t) cy(t) ky(t) myg (t)
以y(t)为基本未知量
k
m
cc 2 km
f 1 k
O
t
y λ=1: 只改变一次符号，临界阻尼；
自由振动方程：
O
t
y(t) 2 y(t) 2 y(t) 0
k
m
c c
cc 2 km
0<λ<1:
衰减振动； 1 2
y
λ＝0: 无阻尼简谐振动。
自由振动时，y(t)随时间的变化规律： O
t
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2-1：地震波传播 二、单自由度体系的振动
1
土动力学与 土工抗震工程
于玉贞 清华大学水利水电工程系
岩土工程研究所
2
土坝 地基 基岩
地震波
结构 特性
地基 特性
地震 特性
安全评价 抗震措施
地基及土工结构物 动力分析
3
地震波传播
场地分析
地基及土工结构物动力分析
简化分析法 地基与土工结构物动力相互作用 土工结构物动力稳定性分析
安全评价及抗震措施
6
2-1：地震波传播
一、振动与波动 二、单自由度体系的振动 三、振动波在无限弹性介质中的传播 四、地震及基岩中的地震波
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2-1：地震波传播
一. 振动与波动
振动：某一个质点（或刚体）在外力作用下在它的平衡位置附近所作的 随时间变化的某种形式的往复运动（平动或转动）叫作振动。
波动：在连续介质中，当它的任一个质点发生振动时，这个振动质点的 能量就会传递给周围的质点，从而引起周围质点的振动。这种振动在介 质内的传播过程叫做波动。