福建省永安市第一中学、漳平市第一中学2020届高三上学期第一次联考试题 数学(文) Word版含答案

“永安一中”、“漳平一中”两校联考
2019-2020学年上学期第一次月考
高三数学（文科）试题
（考试时间：120分钟 总分150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.
1．函数()f x 的图像如图所示，设集合，则A B ⋂=
A ．()()2,10,2--⋃
B ．()1,1-
C ．()()2,11,2--⋃
D ．(),3-∞ 2．若a R ∈，则“复数32ai
z i
-=
的共轭复数在复平 面内对应的点在第二象限”是“0a >”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．若向量)1,3(),2,0(=-=n m ，则与n m +2共线的向量可以是 A.（3，-1） B.（-1，3） C.（-3，-1） D.
（3-1-，
）
4．执行下边的程序框图，输入5N =，则输出S 的值为 A ．
23 B ．34
C ．45
D ．5
6 5．将偶函数()()()()πϕϕϕ<<+-+=
02cos 2sin 3x x x f 的图像向右平移
6
π
个单位，得到()x g y =的图像，则()x g 的一个单调递减区间是 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛63-
ππ， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛326ππ， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛12712ππ， D.⎪⎭
⎫
⎝⎛653ππ， 6．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。

”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”。

假如从第n 天开始每天走的路程少于30里，则n 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
(){}{}
4,02
<=>=x x B x f x A -1 1 3
x
y
O
7．在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，若C a A c A b cos cos cos 3+=，则A tan 的值是
A ． 22-
B ． 2-
C ． 22
D ． 2 8．已知定义在R 上的函数()x f 满足
()()x f x f 1
3-
=+，且()3+=x f y 为偶函数，若()x f 在
()30，内单调递减，则下面结论正确的是
A ．()()()5.125.35.4f f f <<-
B ．()()()5.125.4-5.3f f f <<
C ．()()()5.4-5.35.12f f f <<
D ．()()()5.4-5.125.3f f f << 9．有两个等差数列、，若
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
10．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为
A ．h 145
B ．h 75
C ．h 1415
D ．h 715
11．在ABC △中，点,M N 满足==,2，若,y x +=则x y +的
值为 A ．13
B ．
12
C ．
2
3 D ．34
12．已知定义域为的函数()f x ，对任意的x R ∈都有，且.当[0,2]απ∈时，不等式的解集为
A ．711,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．45,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．2,33ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭ D ．5,66
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
}{n a }{n b 3122121++=++++++n n b b b a a a n n ΛΛ=3
3
b a 678119139
8
R ()4f x x '>1122
f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
(sin )cos210f αα+->
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置. 13．以x 轴的非负半轴为始边的角α，其终边经过点，则的值为
__________．
14．数列
}
{n a 中，
n n n a a a a 1,21
11-==
+，则该数列的前22项和等于 .
15.已知平面向量1a =r ，2b =r
，2a b r r +=，则a r 在b r
方向上的投影为_____．
16．已知函数1
1,1
()3ln ,1
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax =-恰有两个不同的零点时，实
数a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）在公差不为零的等差数列{}n a 中，12481,,,a a a a =成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足1
1
n n n b a a +=⋅，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，求n T .
18．（12分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值和()x f 的单调递增区间； （2）若关于x 的方程()0=-m x f 在区间[0，2
π
]上有两个实数解，求实数m 的取值范围．
19．（12分）已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ，并且满足().1,111++==+n n S na a n n
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）若
n n
n a b 2=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：.
3<n T
20．（12分）如图，在四边形中，，，，2AC =.
34(,)55
--sin()3
π
α+
(
)2sin cos f x x x x ωωω=ABCD AB AD ⊥60CAB ∠=︒120BCD ∠=o
（1）若，求DC ；
（2）记ABC θ∠=，当为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值.
21．（12分）设函数()()
01
ln 22>----=a a x x a x x x f ）（．
（1）求函数()x f 的单调区间；
（2）若函数()x f 的最小值为()a g ，证明：()1-≤a g ．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的方程为()2
cos
sin 0a a ρθθ=>，以极点为原点，极轴所在直
线为x 轴建立直角坐标，直线l
的参数方程为22
12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），l 与C 交于M ，
N 两点．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）设点()2,1P -；若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值
23. (10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()||||2f x x a x a =+--. (1)当1=a 时，求不等式()2>x f 的解集；
(2)若对任意R x ∈，不等式
()332
--≥a a x f 恒成立，求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：
1．C 2．C 3．B 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．B 10．A 11．A 12．D 二、填空题：
015=∠ABC θA
B
C
D
13． 14．11 15．12 16．11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
三、解答题： （一）必考题：
17．（本题满分12分）
解析:（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，，则依题意得：
()()()⎩⎨⎧++=+=d a d a d a a 731
112
1
1
………………… 4分
1=∴d 或0=d (舍去),所以();11n d n a a n =-+= (6)
分
（II ）由（I ）有n a n =，所以()11111
11
n n n b a a n n n n +===-⋅++，...... ...... ...... (10)
分
121111
111122311n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. …… …… ……12 分
18．（本题满分12分）
解析:（Ⅰ）由题意，函数(
)21cos 2sin cos 22wx f x wx wx wx wx -==
+ 1
sin(2)62
wx π=-+ (2)
分
所以函数()f x 的最小正周期为πω
π
=22，∴1w =， ………………………… …… 3分
即 ()1
sin(2)62f x x π
=-+． ………………………………… 4分 令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤-
≤+
，求得,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈， (5)
分
可得函数的增区间为[,],63
k k k Z π
π
ππ-+∈． ………………… 6分
（Ⅱ）在区间[0,]2
π
上，则52[,
]6
66x π
ππ
-
∈-
，则1
sin(2)[,1]62
x π-∈-，………………9分
即()3
[0,]2
f x ∈， ……………10分
关于x 的方程()0f x m -=在区间[0,
]2
π
上有两个实数解，
410
+-
则()f x 的图象和直线y m =在区间[0,]2
π
上有两个不同的交点，
则312
m ≤<
． ……………………… 12分
19．（本题满分12分） 解析：（1）∵na n+1=S n +n(n +1)①∴当n ≥2时，(n −1)a n =S n−1+n(n −1)②…………… 1分
由①—②可得：
a n+1−a n =2(n ≥2) ………………………… 3分
且a 1=1,a 2=S 1+1×(1+1)=3（不写a 2=3应扣1分） ……………………… 5分
∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，即a n =2n −1 …………………… 6分
（2）由（1）知数列a n =2n −1，∴b n =2n−1
2n …………… …… 7分
则
T n =121+3
2
2+5
23+⋯+2n−32n−1+
2n−12n
① ………………… 8分
∴
1
2T n
=122+3
23+524
+⋯+
2n−32n
+2n−1
2n+1② …………… … 9分
由①﹣②得
12T n =1
2+2(12+12+⋯+12)−
2n−12 =1
2
+2×
14(1−12
n−1)1−12
−
2n−12n+1
……………………… 11分
∴T n =3−2n+3
2n ,3<∴n T .................. (12)
分
20．（本题满分12分）
解析:（1）在四边形中，因为，，
所以 …… 1分
在中,可得 由正弦定理得:
,解得：2=CD (4)
分
（2）因为60CAB ∠=o ，AB AD ⊥可得30CAD ∠=o , …… …… …… …… 5分
四边形内角和360o 得150ADC θ∠=-o ， ……………………… 6分
∴在ADC ∆中，()()
21
sin 30sin 150sin 150DC DC θθ=⇒=--o o o . ... ... ... (7)
分
在ABC ∆
中，
2sin 60sin sin BC BC θθ
=⇒=o
， … … … … … 8ABCD AB AD ⊥120BCD ∠=o 015=∠ABC ,1350
=∠ADC ACD ∆,3060900=︒-︒=∠CAD ,1350
=∠ADC 2=AC ADC
AC
CAD CD ∠=∠sin sin
分
()131sin12024sin 150sin BCD S DC BC θθ
∆∴=
⋅⋅=⨯-o o ………………… 9分
3344== (10)
分
34=, ... ... ... ... ... (11)
分
当75θ=
o 时，S 取最小值6-…………………… 12分
21．（本题满分12分）
解析:（1）0x >，23212()1f x a x x x ⎛⎫=+-+ ⎝'⎪⎭323
22x x ax a
x
+--= …………………… 1分
()()3
22x x a x +-=
……………………2分
()()()()0,,;0,,0>'+∞∈<'∈x f a x x f a x ………………4分
()f x ∴单调减区间为(0,)a ，单调增区间(,)a +∞。

(5)
分
（2）由（1）min 221()()ln f x f a a a a a a a ⎛
⎫==---- ⎪⎝
⎭ ……………………… …6分
211
()ln ,()ln 1g a a a g a a a a
'∴=--=--， (7)
分
容易得到()g a '在(0,)+∞上单调递减， …………………………………8分
(1)0,(0,1)g a '=∴∈Q 时，()0g a '>， ………………………………9分
(1,)∈+∞a 时，()0g a '<， …………………………… … 10分
所以()g a 在(0,1)单增，(1,)+∞单减， ……………………………… 11分
max ()(1)1g a g ∴==- ,所以()1-≤a g …………………………… 12分
（二）选考题： 22．（本题满分10分） 解析:(1)由题意，曲线C 的极坐标方程可化为()2
2
cos
sin ,0a a ρθρθ=>，
又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，可得曲线C 的直角坐标方程为()2
0x ay a =>， (2)
分
由直线l
的参数方程为22
12x t y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），消去参数t ，得10x y +-=，
即直线l 的普通方程为10x y +-=； ........................... ...... (4)
分
(2)把l
的参数方程22
12
x t y t ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
代入抛物线方程中，得()
()2820t t a -++=， ...... ...... ...... (5)
分
由2280a a ∆=+>，设方程的两根分别为1t ，2t ，
则120t t +=>，12820t t a =+>，可得10,t >，20t >． …………………… 7分
所以12MN t t =-，1PM t =，2PN t =． ……………………………… 8分
因为PM ，MN ，PN 成等比数列，所以()2
1212t t t t -=，即()2
12125t t t t +=，
则()
()2
582a =+，解得解得1a =或4a =-（舍）
， 所以实数1a =. (10)
分
23.（本题满分10分）
解析:(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋|x －2|. 01,当x ≤1时，f (x )＝1－x ＋2－x ＝3－2x ， 由f (x )＞2可得， 即322x -> 解得x ＜
12
； 02,当1＜x ≤2时，f (x )＝x －1＋2－x ＝1，
此时f (x )＞2无解；
03,当x ＞2时，f (x )＝x －1＋x －2＝2x －3， 此时由f (x )＞2可得， 即232x ->， 解得x ＞
52。

综上，可得不等式f (x )＞2的解集为15,,22⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U 。

(5)
分
(2)因为f (x )＝|x －a |＋|x －2a |≥|(x －a )－(x －2a )|＝|a |， 故f (x )取得最小值|a |，
因此原不等式等价于|a |≥a 3－3a －3。

01，当a ≥0时，有a ≥a 2
－3a －3，
即a2－4a－3≤0，
解得2≤a
此时有0≤a；
2，当a＜0时，有－a≥a2－3a－3，
即a2－2a－3≤0，
解得－1≤a≤3，
此时有－1≤a＜0。

综上，可知a的取值范围是[－1，2]。

(10)
分。