(浙江专版)2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函

第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
预习课本P34～37，思考并完成以下问题 (1)周期函数的定义是什么？
(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？
(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？
[新知初探]
1．周期函数 (1)周期函数的概念
条件 ①对于函数ƒ(x )，存在一个非零常数T
②当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x ) 结论 函数ƒ(x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期
条件 周期函数ƒ(x )的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做ƒ(x )的最小正周期
[点睛] 对周期函数的两点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． (2)如果T 是函数ƒ(x )的一个周期，则nT (n ∈Z 且n ≠0)也是ƒ(x )的周期． 2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y ＝sin x
y ＝cos x
周期 2k π(k ∈Z 且k ≠0)
2k π(k ∈Z 且k ≠0)
最小正周期 2π 2π 奇偶性
奇函数
偶函数
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋π3＝sin π3，则π3是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( )
(2)若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N *
也是函数f (x )的周期．( ) (3)函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) (4)函数y ＝－cos π
3x 是偶函数．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．函数ƒ(x )＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2－x 是( )
A ．T ＝2π的奇函数
B ．T ＝2π的偶函数
C ．T ＝π的奇函数
D ．T ＝π的偶函数 答案：B
3．下列函数中，周期为π
2的是( )
A ．y ＝sin x
B ．y ＝sin 2x
C ．y ＝cos x
2
D ．y ＝cos 4x
答案：D
4．函数ƒ(x )＝sin x cos x 是______(填“奇”或“偶”)函数． 答案：奇
三角函数的周期
[典例]
求下列函数的周期．
(1)ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)ƒ(x )＝|sin x |. [解] (1)[法一 定义法]
∵ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2π ＝cos ⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤2
x ＋π＋π
3＝ƒ(x ＋π)，
即ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，
∴函数ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π.
[法二公式法]
∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴ω＝2. 又T ＝2π|ω|＝2π
2
＝π.
∴函数ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π. (2)[法一 定义法] ∵ƒ(x )＝|sin x |,
∴ƒ(x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )的周期为π. [法二 图象法]
∵函数y ＝|sin x |的图象如图所示．
由图象可知T ＝π.
求下列函数的周期． (1)y ＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫π2x ＋3；
(2)y ＝|cos x |. 解：(1)T ＝2π
π2
＝4，
∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2x ＋3的周期为4. (2)函数y ＝|cos x |的图象如图所示，
由图象知T ＝π.
三角函数的奇偶性
[典例] (1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
(2)判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34
x ＋3π2的奇偶性．
(1)[解析] ∵f (x )的定义域是R.
且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． [答案] A
(2)[解] ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ， ∴f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34x ＝－cos 34x ， ∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34
x ＋3π2为偶函数．
判断函数奇偶性的方法
[活学活用]
判断下列函数的奇偶性： (1)ƒ(x )＝x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝sin(cos x )． 解：(1)函数ƒ(x )的定义域为R ， ∵ƒ(x )＝x cos(π＋x )＝－x cos x ，
∴ƒ(－x )＝－(－x )·cos(－x )＝x cos x ＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x )为奇函数．
(2)函数ƒ(x )的定义域为R ， ∴ƒ(－x )＝sin []cos －x ＝sin(cos x )＝ƒ(x )，
∴ƒ(x )为偶函数.
[典例] 定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期是π，
且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3的值．
[解] ∵ƒ(x )的最小正周期是π， ∴ƒ ⎝
⎛⎭⎪⎫5π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝ƒ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3 ∵ƒ(x )是R 上的偶函数，
∴ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.
∴ƒ ⎝
⎛⎭⎪⎫5π3＝32
.
[一题多变]
1．[变条件]若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3的值．
解：ƒ ⎝
⎛⎭⎪⎫5π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－ƒ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3
＝－sin π3＝－32
.
2．[变设问]若本例条件不变，求ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6的值．
解：ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫19π6＝ƒ ⎝
⎛⎭⎪⎫3π＋π6 ＝ƒ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝sin π6＝12.
3．[变条件]若本例条件为：函数ƒ(x )为偶函数且ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，ƒ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝1，求
ƒ ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π3的值．
解：∵ƒ ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，
∴ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，即T ＝π，
ƒ ⎝
⎛⎭⎪⎫5π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝1.
利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z)的函数值转化为x 的函数值．利用奇偶性，可以找到－x 与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题．
层级一 学业水平达标
1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数
解析：选A 由于x ∈R ，
且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．
2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )
解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ，C ；当
x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2
时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B.
3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数
解析：选B f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2.
4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称
D ．直线x ＝π
2
对称
解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称．
5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x 2＋π2的奇偶性是( ) A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．即是奇函数也是偶函数
解析：选A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－x 2＝sin x 2，故为奇函数． 6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π6的周期为________．
解析：T ＝2π
12＝4π.
答案：4π
7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：3
8．函数ƒ(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π
3
得ω＝3，
∴ƒ(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－π3
＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－3
2
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x . 解：(1)x ∈R ，
ƒ(x )＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π
2
＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x ) ＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )． ∴该函数ƒ(x )是奇函数． (2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.
∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义
域为R.
∵ƒ(－x )＝1＋sin －x ＋1－sin －x
＝1－sin x ＋1＋sin x ＝ƒ(x )， ∴该函数是偶函数．
10．已知函数y ＝12sin x ＋1
2|sin x |，
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 解：(1)y ＝12sin x ＋1
2
|sin x |＝
⎩⎪⎨⎪⎧
sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]k ∈Z
，
0，x ∈[2k π－π，2k π]k ∈Z ，
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.
层级二 应试能力达标
1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( ) A ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π2
B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2
D ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2
解析：选B 对于A ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x 是奇函数；对于B ，y ＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π；对于C ，y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x
是偶函数，但最小正周期T ＝2π；对于D ，y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x 是奇函数，故选B.
2．函数ƒ(x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23
x ＋15π2是( )
A ．周期为3π的偶函数
B ．周期为2π的偶函数
C ．周期为3π的奇函数
D ．周期为4π
3
的偶函数
解析：选A ∵ƒ(x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23
x ＋3π2
＝－3cos 2
3
x ，∴ƒ(x )为偶函数，
且T ＝2π
23
＝3π，故选A.
3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4
x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13 解析：选D ∵T ＝2πk
4
＝8π
k
≤2，∴k ≥4π，
又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.
4．函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( ) A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．3π2
解析：选C 要使函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C. 5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π
2
，且满足f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，
则f ⎝
⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3
＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.
答案：
22
6．函数y ＝⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
sin x 2的最小正周期是________．
解析：∵y ＝sin x
2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
sin x 2的图象是把y ＝sin x
2的图象
在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，
∴y ＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
sin x 2的最小正周期为T ＝2π.
答案：2π
7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．
解：x ∈⎣⎢
⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因为x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin
x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数，
所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤5π2，3π.
8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2) ＝－
1
ƒx
(ƒ(x )≠0)．
(1)求证：函数ƒ(x )是周期函数． (2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值． 解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1
ƒx
， ∴ƒ(x ＋4)＝－
1
ƒ
x ＋2
＝－1－
1
ƒx
＝ƒ(x )，
∴ƒ(x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是ƒ(x )的一个周期． ∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5， ∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝
－1ƒ－1＋2＝－1ƒ1＝1
5
.。