荣昌区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

荣昌区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知点是双曲线C ：左支上一点，，是双曲线的左、右两个焦点，且
P 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>1F 2F ，与两条渐近线相交于，两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率
12PF PF ⊥2PF M N N 2PF 是（ ）
A.
B.2
D.5
2
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.2． 命题“∃x ∈R ，使得x 2＜1”的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1
B ．∃x ∈R ，使得x 2＞1
C ．∃x ∈R ，使得x 2≥1
D ．∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥1
3． 已知四个函数f （x ）=sin （sinx ），g （x ）=sin （cosx ），h （x ）=cos （sinx ），φ（x ）=cos （cosx ）在x ∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（
）
A ．f （x ）﹣①，g （x ）﹣②，h （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
B ．f （x ）﹣①，φ（x ）﹣②，g （x ）﹣③，h （x ）﹣④
C ．g （x ）﹣①，h （x ）﹣②，f （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
D ．f （x ）﹣①，h （x ）﹣②，g （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
4． 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ）
A ．7049
B ．7052
C ．14098
D ．14101
5． 四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2AB =体积为
同一球面上，则（ ）24316
π
PA =
A ．3
B ．
C ．
D ．7292
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
6． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．y=
B ．y=﹣x+
C ．y=﹣x|x|
D ．y=
7． 已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ）
A ．（0，4）
B ．[0，4）
C ．（0，5]
D ．[0，5]
　8． 函数
是（
）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
9． 在正方体中，是线段的中点，若四面体的外接球体积为，1111ABCD A B C D -M 11AC M ABD -36p 则正方体棱长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．10．sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．111．已知函数f （x ）=3cos （2x ﹣），则下列结论正确的是（
）
A ．导函数为
B ．函数f （x ）的图象关于直线对称
C ．函数f （x ）在区间（﹣
，
）上是增函数
D ．函数f （x ）的图象可由函数y=3co s2x 的图象向右平移
个单位长度得到
12．已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（
）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
二、填空题
13．不等式
的解集为 ．
14．已知sin α+cos α=，且
＜α＜
，则sin α﹣cos α的值为 ．
15．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则不等式()16f x -≤的解集 是 ▲ ．
16．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
17．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是
．
18．三角形中，，则三角形的面积为
.
ABC 2,60AB BC C ==∠=
ABC 三、解答题
19．已知函数
，且．（Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若对于任意，都有
，求
的最小值；
（Ⅲ）证明：函数
的图象在直线
的下方．
20．已知正项数列{a n }的前n 项的和为S n ，满足4S n =（a n +1）2．（Ⅰ）求数列{a n }通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足b n =
（n ∈N *），求证：b 1+b 2+…+b n ＜．
21．已知函数y=f （x ）的图象与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）若f （x ﹣1）＞f （5﹣x ），求x 的取值范围．
22．已知函数上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）若在上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．
23．如图所示，已知+=1（a＞＞0）点A（1，）是离心率为的椭圆C：上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△ABD面积的最大值；
（Ⅲ）设直线AB、AD的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k1+λk2=0成立？若存在，求出λ的值；否则说明理由．
24．已知函数f（x）=x3+ax+2．
（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求实数m的取值范围．　
荣昌区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A.
【解析】
2．【答案】D
【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．【答案】D
【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）；
图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x），
又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h（x），
那图象④对应Φ（x），图象③对应函数g（x）．
故选：D．
【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．
4．【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），∴（a n+1﹣2）（a n﹣2）=2，当n≥2时，（a n﹣2）（a n﹣1﹣2）=2，
∴，可得a n+1=a n﹣1，
因此数列{a n}是周期为2的周期数列．
a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，
∴S2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．
5． 【答案】B
【解析】连结交于点，取的中点，连结，则，所以底面，则,AC BD E PC O OE OE PA A OE ⊥ABCD O
到四棱锥的所有顶点的距离相等，即球心，均为O 12PC ==
可得
，解得，故选B ．34243316ππ=7
2
PA =
6． 【答案】C 【解析】解：A.在定义域内没有单调性，∴该选项错误； B.
时，y=
，x=1时，y=0；
∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；C ．y=﹣x|x|的定义域为R ，且﹣（﹣x ）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）；∴该函数为奇函数；
；
∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02；∴该函数在定义域R 上为减函数，∴该选项正确； D.
；
∵﹣0+1＞﹣0﹣1；
∴该函数在定义域R 上不是减函数，∴该选项错误．故选：C ．
【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．　
7． 【答案】B
【解析】解：设x 1∈{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}，∴f （x 1）=f （f （x 1））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m=0，
故m=0；
故f（x）=x2+nx，
f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，
当n=0时，成立；
当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根，
故△=n2﹣4n＜0，
故0＜n＜4；
综上所述，0≤n+m＜4；
故选B．
【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．
8．【答案】B
【解析】解：因为
=
=cos（2x+）=﹣sin2x．
所以函数的周期为：=π．
因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．
故选B．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．
9．【答案】C
10．【答案】C
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°
=cos45°cos15°+sin45°sin15°
=cos（45°﹣15°）
=cos30°
=．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11．【答案】B
【解析】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣）•2=﹣6sin（2x﹣），A错误；
对于B，当x=时，f（）=3cos（2×﹣）=﹣3取得最小值，
所以函数f（x）的图象关于直线对称，B正确；
对于C，当x∈（﹣，）时，2x﹣∈（﹣，），
函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；
对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度，
得到函数y=3co s2（x﹣）=3co s（2x﹣）的图象，
这不是函数f（x）的图象，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
12．【答案】D
【解析】解：∵PD⊥矩形ABCD所在的平面且PD⊆面PDA，PD⊆面PDC，
∴面PDA⊥面ABCD，面PDC⊥面ABCD，
又∵四边形ABCD为矩形
∴BC⊥CD，CD⊥AD
∵PD⊥矩形ABCD所在的平面
∴PD⊥BC，PD⊥CD
∵PD∩AD=D，PD∩CD=D
∴CD⊥面PAD，BC⊥面PDC，AB⊥面PAD，
∵CD⊆面PDC，BC⊆面PBC，AB⊆面PAB，
∴面PDC⊥面PAD，面PBC⊥面PCD，面PAB⊥面PAD
综上相互垂直的平面有5对
故答案选D
二、填空题
13．【答案】　（0，1]　．
【解析】解：不等式，即
，求得0＜x ≤1，
故答案为：（0，1]．
【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．　
14．【答案】 ．
【解析】解：∵sin α+cos α=，＜α＜
，
∴sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=，
∴2sin αcos α=﹣1=
，且sin α＞cos α，∴sin α﹣cos α=
=
=
．故答案为：
．
15．【答案】[]
2,4-考
点：利用函数性质解不等式1111]16．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】正方体中，BC 中点为E ，CD 中点为F ，
则截面为即截去一个三棱锥
其体积为：
所以该几何体的体积为：故答案为：17．【答案】 ．
【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高由于此三角形的高为，故圆锥的高为
此圆锥的体积为=
故答案为
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．　
18．【答案】【解析】
试题分析：因为中，，，又ABC ∆2,60AB BC C ===︒2
sin A
=
1sin 2A =
，即，所以，∴，，．BC AB <A C <30C =︒90B =︒AB BC ⊥1
2
ABC
S AB BC ∆=⨯⨯=考点：正弦定理，三角形的面积．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正
ab 2
b 2
a 弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式
，，，等等．1sin 2ab C 12ah 1()2a b c r ++4abc R
三、解答题
19．【答案】
【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性
【试题解析】（Ⅰ）对求导，得，
所以，解得，
所以．
（Ⅱ）由，得，
因为，
所以对于任意，都有．
设，则．
令，解得．
当x变化时，与的变化情况如下表：
所以当时，．
因为对于任意，都有成立，
所以．
所以的最小值为．
（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”
等价于“”，
即要证，
所以只要证．
由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）．所以只要证明当时，即可．
设，
所以，
令，解得．
由，得，所以在上为增函数．
所以，即．
所以．
故函数的图象在直线的下方．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由4S n=（a n+1）2，
令n=1，得，即a1=1，
又4S n+1=（a n+1+1）2，
∴，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0．
∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，则{a n}是等差数列，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n==，
则b1+b2+…+b n=
=
=．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象过点（4，2），
∴log a4=2，a=2，则g（x）=log2x．…
∵函数y=f（x）的图象与g（X）的图象关于x轴对称，
∴．…
（Ⅱ）∵f（x﹣1）＞f（5﹣x），
∴，
即，解得1＜x＜3，
所以x的取值范围为（1，3）…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵函数上为增函数，
∴g′（x）=﹣+≥0在，mx﹣≤0，﹣2lnx﹣＜0，
∴在上不存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立．
②当m＞0时，F′（x）=m+﹣=，
∵x∈，∴2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，
∴F′（x）＞0在恒成立．
故F（x）在上单调递增，
F（x）max=F（e）=me﹣﹣4，
只要me﹣﹣4＞0，解得m＞．
故m的取值范围是（，+∞）
【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵，∴a=c，
∴b2=c2
∴椭圆方程为+=1
又点A（1，）在椭圆上，
∴=1，
∴c2=2
∴a=2，b=，
∴椭圆方程为=1 …
（Ⅱ）设直线BD方程为y=x+b，D（x1，y1），B（x2，y2），
与椭圆方程联立，可得4x2+2bx+b2﹣4=0
△=﹣8b2+64＞0，∴﹣2＜b＜2
x1+x2=﹣b，x1x2=
∴|BD|==，
设d为点A到直线y=x+b的距离，∴d=
∴△ABD面积S=≤=
当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为…
（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣，0）时，k1==2﹣，k2==﹣2
此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立．
证明如下：k1+k2=+=2+m=2﹣2=0
当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件…
【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x2+a，
即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，
则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），
令x=0，得y=为定值；
（Ⅱ）解：由xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，
得xe x+mx2﹣m2x≥0对x≥0时恒成立，
即e x+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，
则（e x+mx﹣m2）min≥0，
记g（x）=e x+mx﹣m2，
g′（x）=e x+m，由x≥0，e x≥1，
若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴，
则有﹣1≤m≤1，
若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
∴，
∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，
令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1），
φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，
由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意．
综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．
【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．。