《高等数学》 详细上册答案(一--七)

2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划
《高等数学》上册（一----七）
第一单元、函数极限连续
使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；
同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：
1.函数的概念及表示方法；
2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；
3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；
4.基本初等函数的性质及其图形；
5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；
6.极限的性质及四则运算法则；
7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；
8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；
9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；
10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最
小值定理、介值定理），会用这些性质.
天数学
习
时
间
学
习
章
节
学习知识点
习
题
章
节
必做题目
巩固习题
（选做）
备注
第一天2
h
第
1
章
第
1
节
映
射
与
函
数
函数的概念
函数的有界性、单调性、
周期性和奇偶性
复合函数、反函数、分段
函数和隐函数
初等函数具体概念和形
式，函数关系的建立
习
题
1
－
1
4(3) (6)
(8),5(3)
★,
9(2),15(4
)★,17★
4(4)(7),5(
1),7(2),15
(1)
本节有两部分内容
考研不要求，不必
学习：
1. “二、映射”；
2. 本节最后——
双曲函数和反双曲
函数
第二天3
h
1
章
第
2
节
数
列
的
极
限
数列极限的定义
数列极限的性质(唯一
性、有界性、保号性)
习
题
1
－
2
1(2) (5)
(8)★
3(1)
1. 大家要理解数
列极限的定义中各
个符号的含义与数
列极限的几何意
义；
2. 对于用数列极
限的定义证明，看
懂即可。

第
1
章
第
3
节
函
数
的
极
限
函数极限的概念
函数的左极限、右极限与
极限的存在性
函数极限的基本性质（唯
一性、局部有界性、局部
保号性、不等式性质，函
数极限与数列极限的关
系等）
习
题
1
－
3
2,4★3,
1. 大家要理解函
数极限的定义中各
个符号的含义与函
数极限的几何意
义；
2. 对于用函数极
限的定义证明，看
懂即可。

第三天3
h
第
1
章
第
4
节
无
穷
小
与
无
穷
大
无穷小与无穷大的定义
无穷小与无穷大之间的
关系
习
题
1
－
4
4,6★1,5
大家要搞清楚无穷
大与无界的关系
1章第5
节极限运算法则极限的运算法则(6个定
理以及一些推论)
习
题
1
－
5
1(5) ★
(11)(13)
★,3,5
1(9)(10)(1
4),2(1),4
有理分式函数当
x 的极限要
记住结论，以后直
接使用。

天数学
习
时
间
学习章
节
学习知识点
习
题
章
节
必做题目
巩固习
题（选
做）
备注
第一天3
h
第1章
第6节
极限存
在准则
两个重
要极限
函数极限存在的两个准
则（夹逼定理、单调有
界数列必有极限）
两个重要极限（注意极
限成立的条件，熟悉等
价表达式）
利用函数极限求数列极
限
习
题
1
－
6
1(2)(6)
★,2(1)(4)
★,4(1)(3)
★
4(5)
1. 利用单调有
界原理推导第
二个重要极限
可以不用细看；
2. “柯西极限
存在准则”考研
不要求.
第1章
第7节
无穷小
的比较
无穷小阶的概念（同阶
无穷小、等价无穷小、
高阶无穷小、低阶无穷
小、k阶无穷小）及其
应用
一些重要的等价无穷小
以及它们的性质和确定
方法
习
题
1
－
7
1,2
★,3(1),4(3
) ★(4) ★
3(2)
例1和例2中出
现的所有等价
无穷小都要求
熟记.
第二天3
h
第1章
第8节
函数的
连续性
与间断
点
函数的连续性，函数的
间断点的定义与分类
（第一类间断点与第二
类间断点）
判断函数的连续性和间
断点的类型
习
题
1
－
8
3(4),4★,5 1
熟记：
1. 连续性的定
义；
2. 间断的定义
与间断点的分
类
第1章第9节连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的、和、差、
积、商的连续性
反函数与复合函数的连
续性
初等函数的连续性
习
题
1
－
9
3(4)(6)(7)
★,4(4) ★
(6) ★,6★
1,3(5)
,4(3),
5
——
第三天3
h
第1章
第10节
闭区间
上连续
函数的
性质
有界性与最大值最小值
定理
零点定理与介值定理
(零点定理对于证明根
的存在是非常重要的一
种方法)
习
题
1
－
10
1,3★ 5
考研不要求的
内容：
1. “三、一致
连续性”
第1章
总复习
题
总结归纳本章的基本概
念、基本定理、基本公
式、基本方法
总
复
习
题
一
3(2),9(2)(4
)(6),10,13
1,2 ——
学习任务巩固练习阶段：（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）
第二单、元函数微分学
计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版
本单元中我们应当学习——
1.导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法
线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；
2.导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微
分形式的不变性；
3.高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；
4.会求以下函数的导数：分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；
5.罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)
中值定理，会用这四个定理证明；
6.会用洛必达法则求未定式的极限；
7.函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值
和最小值；
8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐
近线；
9.曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．
天数学习
时间
学习章
节
学习知识点
习题
章节
必做题目
巩固习题（选
做）
备注
第
一天3h
第2章
第1节
导数概
念
导数的定义、几何
意义、物理意义
单侧与双侧可导的
关系
可导与连续之间的
关系
函数的可导性，导
函数，奇偶函数与
周期函数的导数的
性质
按照定义求导及其
适用的情形，利用
导数定义求极限
会求平面曲线的切
线方程和法线方程
习题
2
－1
2,6,7,8,
13
★,16(2)
★,17
9(2)(5),11,1
4 ——
第
二天3h
第2章
第2节
函数的
求导法
则
导数的四则运算公
式（和、差、积、
商）
反函数的求导公式
复合函数的求导法
则
基本初等函数的导
数公式
分段函数的求导
习题
2－2
2(9)★,
3(2),4,7
(8) ★,
8(5),11(
6)(9)
2(6)(7),6(4)
(8),7(4),9,1
0(2),11(4)
考研不要求
的内容：
1. “例17
双曲函数与
反双曲函数
的导数”
第
三天3h
第2章
第3节
高阶导
数
高阶导数
n阶导数的求法
（归纳法，莱布尼
兹公式）
习题
2－3
1(3),
3(2),4(1
),8
★,10(2)
★,
1(9)(10),7,9
,11(3)
例3例4例
5的结论要
求记住，以
后可直接利
用。

第2章
第4节
隐函数
及由参
数方程
所确定
的函数
的导数
隐函数的求导方
法，对数求导法
由参数方程确定的
函数的求导方法
习题
2－4
1(1),2,3
(4)
★,4(1),
5(2),10
1(4),8(3) 考研不要求
的内容：
1. “三、相
关变化率”
天数学
习
时
间
学习
章节
学习知识点
习
题
章
节
必做题目
巩固习题
（选做）
备注
第
一天2h
第2
章
第5
节
函数
的微
分
函数微分的定义，几何
意义
基本初等函数的微分
公式
微分运算法则，微分形
式不变性
一元函数微分在函数
近似计算中的应用
习
题
2－
5
2★,6
1,3(3)(6
),4(4)(6
)(7)
考研不要求的内
容：
1. “四、微分在
近似计算中的应
用”
第
二天2h
第2
章
总复
习题
二
总结归纳本章的基本
概念、基本定理、基本
公式、基本方法
总
复
习
题
二
1,3
★,6(1),7
,11,13,14
★
9(1), ——
学习任务巩固练习阶段：（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）
天数时间学习任务
第一天2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南上册 2-1、2-2、
21-3内容，吃透习题。

第二天2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南上册2-4、2-5内
容，吃透习题。

第三天2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南上册总复习题二
内容，吃透课后习题。

第三章、微分中值定理与导数运用
使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；
核心掌握知识点：
1. 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，会用这四个定理证明；
2. 会用洛必达法则求未定式的极限；
3. 函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；
4. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线.
天数学习
时间
学习章节学习知识点
习题
章节
必做题目
巩固
习题
（选
做）
备注
第
一天3h
第3章第1
节
微分中值定
理
费马定理、罗尔定
理、拉格朗日定理、
柯西定理及其几何
意义
构造辅助函数
习题
3－1
6,8★,11(1
)
★,12,15★
4,5,1
——
第
二天2h
第3章第2
节
洛必达法则
洛必达法则及其应
用
习题
3－2
1(10)(13)(
15) ★,4★
1(3)(
6)(16
)
——
第
三天2h
第3章第3
节
泰勒公式
泰勒中值定理
麦克劳林展开式
习题
3－3
5,7,10(2)
★(3)
3,4
不用仔细看
的内容：
1. 泰勒中值
定理的证明
第
四天3h
第3章第4
节
函数的单调
性与曲线的
凹凸性
函数的单调区间，
极值点
函数的凹凸区间，
拐点
习题
3－4
3(6)★,5(4
),6,9(5)★
, 10(3),12
1,3(2
),5(3
),9(1
),13
1. 总结求单
调区间的步
骤；
2. 总结求拐
点的步骤。

第
五天2-3h
第3章第5
节
函数的极值
与最大值最
小值
函数极值的存在
性：一个必要条件，
两个充分条件
最大值最小值问题
函数类的最值问题
和应用类的最值问
题
习题
3—5
1(8)★,
4(3),10,11
1(2)(
4)(10
),4(1
),6
1. 总结求极
值与最值的
步骤；
2. 例5例6
不用看；
3. 例7需重
点搞懂。

第
六天2h
第3章第6
节
函数图形的
描述
利用导数作函数图
形（一般出选择
题）：
函数()
f x的间断
点、()
f x
'和
()
f x
''的零点和不
存在的点，渐近线
由各个区间内
()
f x
'和()
f x
''的
符号确定图形的升
降性、凹凸性，极
值点、拐点
习题
3－6
1,4★————
第
七天2h
第3章第7
节
曲率
弧微分
曲率的定义，曲率
的计算公式
曲率圆、曲率半径
习题
3－7
5 1,4
1. 记住“弧
微分公式”和
“曲率计算
公式”；
2. 考研不要
求的内容：
“四、曲率中
心的计算公
式渐屈线
与渐伸线”。

天数学习
时间
学习
章节
学习知识点
习题章
节
必做题目巩固习题选做
备
注
第
七天3h
第3
章
总复
习题
三
总结归纳本章的基本
概念、基本定理、基
本公式、基本方法
总复习
题三
1,2(2),6,7,
9,10(4),11(
3),12,17
4,10(2),18
—
—
第
七天2h
调整时间，对本单元进行知识回顾，对自己掌握不牢固知识内容或习题做
标记，寻求老师帮助解答
—
—
学习任务巩固练习阶段：（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）
第四章、不定积分
计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版
本单元中我们应当学习——
1.原函数、不定积分的概念；
2.不定积分的基本公式，不定积分的性质，不定积分的换元积分法与分部积分法；
3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
天数学
习
时
间
学习章
节
学习知识点
习题
章节
必做题目
巩固习题（选
做）
备注
第
一天2h
第4章
第1节
不定积
分的概
念与性
质
原函数和不定积
分的概念与基本
性质（之间的关
系，求不定积分
与求微分或求导
数的关系）
基本的积分公式
原函数的存在
性、几何意义和
力学意义
习题
4－1
1(1),2(1)(6)(8)(
13)(17)★(19) ★
(21) ★(25),5★
2(3)(11)(14)
(16)(20)(26)
熟记“基
本积分
表”，公
式1—13
第
二天3h
第4章
第2节
换元积
分法
第一类换元积分
法（凑微分法）
第二类换元积分
法
习题
4－2
2(1)(3)(6)(9)(13
)(15)(16) ★(17)
★(19) ★(21)
★(30)
★(32)(34)★
(36)(37)
2(4)(10)(14)
(18)(20)(22)
(23) (38)(39)
1. 注
意：204
页小字
部分不
用看；
2. 熟记
P205公
式16—
24.
第
三天3h
第4章
第3节
分部积
分法
分部积分法
习题
4－3
2,5,6
★,9★,14,17,18
★,19,22,24★
3,10,15,20,2
3
——
第
四天3h
第4章
第4节
有理函
数积分
有理函数积分
法，可化为有
理函数的积分
习
题
4
－
4
2,4★,8,20★,2312
注意：仅“例
4”不在考研
范围之内。

第
五天2h
第4章
总复习
题四
总结归纳本章
的基本概念、
基本定理、基
本公式、基本
方法
总
复
习
题
四
1,2,5,9,10
★,12,14★,16,21,2
3★,33★,35,38
8,15,19
,25,30 ——
学习计划调整任务
天数时
间
学习任务
第一天2h 调整时间，对本单元进行知识回顾，对自己掌握不牢固知识内容或习题
做标记，寻求老师帮助解答
学习任务巩固练习阶段：（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）
第五章、定积分
计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版
本单元中我们应当学习——
1.定积分的概念和性质，定积分中值定理；
2.定积分的换元积分法与分部积分法；
天数学
习
时
间
学习章
节
学习知识点
习
题
章
节
必做题目
巩固习题（选
做）
备注
第
一天3h
第5章
第1节
定积分
的概念
与性质
定积分的定
义与性质(7
个性质)
函数可积的
两个充分条
件
习
题
5
—
1
2(1)★,3(2)
★(3),11★,12(2),1
3(5)
3(4),4(4),1
3(4)
考研不要
求的内容：
1. “三、
定积分的
近似计
算”。

第5章
第2节
微积分
的基本
公式
积分上限函
数及其导数
牛顿－莱布
尼兹公式
习
题
5
—
2
5(2),6(5)(8)(11)★
(12)★，
9(2),10★,12★,13
★
5(3),6(6)(1
0),9(1),11
可以不看
的内容：
1. “一、
变速直线
运动中位
置函数与
速度函数
之间的联
系”；
2. “例5”.
第
二天3h
第5章
第3节
定积分
的换元
法和分
部积分
法
定积分的换
元法
定积分的分
部积分法
习
题
5
—
3
1(2)(4)(6)★(10)(1
2)(19)(21)
★(24)(26)
★,5,6,7(11) ★
1(3)(7)(13)
(20)(22),7(
10)
以后可以
直接使用
的结论：例
5，例6，
例7，例
12.
第5章
第4节
反常积
分
无穷限的反
常积分
无界函数的
反常积分
习
题
5
—
4
1(4)(8)(10),2★1(6)(9) ——
第
三天2h
第5章
总复习
题五
总结归纳本
章的基本概
念、基本定
理、基本公
式、基本方法
总
复
习
题
五
1(1) (2) (4)
★,3(2),4(2)
★,10(7) ★
(9)(10),11,12,13,1
4★
3(1),4(1),7
,10(4)(6) ——
学习计划调整任务
天数时
间
学习任务
第一天2h 调整时间，对本单元进行知识回顾，对自己掌握不牢固知识内容或习题
做标记，寻求老师帮助解答
学习任务巩固练习阶段：（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）
天数学习时间学习章节
第一天2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南上册 5-1、5-2
内容，吃透习题。

第二天2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南上册 5-3、5-4
内容，吃透习题。

第三天2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南上册总复习题五
内容，吃透课后习题。

第六章、定积分的运用
计划对应教材：高等数学下册同济大学数学系编高等教育出版社第六版
本单元中我们应当学习——
1. 积分上限的函数的概念和它的导数，牛顿-莱布尼茨公式；
2. 反常积分的概念与计算；
3. 用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力，函数的平均值．
天数学
习
时
间
学习章
节
学习知识点
习
题
章
节
必做题目
巩固习题
（选做）
备注
第
一天3h
第6章
第1节
定积分
的元素
法
元素法
—
—
——————
第6章
第2节
定积分
在几何
学上的
应用
求平面图形的面积
（直角坐标情形、
极坐标情形）
旋转体的体积及侧
面积
平行截面面积为已
知的立体的体积
平面曲线的弧长
习
题
6—
2
1(1)(4),2(1),4,5
(1),9,12★,15(1)
(3)
★,16★,19,21
1(3),2(4)
,3,5(3),1
5(2)
1. 能够
自己推导
各个计算
公式.
第
二天3h
第6章
第3节
定积分
在物理
学上的
应用
用定积分求功、水
压力、引力
习
题
6—
3
5,11 ————
第6章
总复习
题
总结归纳本章的基
本概念、基本定理、
基本公式、基本方
法
总
复
习
题
六
2,3,5 ————
学习计划调整任务
天数 时间 学习任务
第一天 2h
调整时间，对本单元进行知识回顾，对自己掌握不牢固知识内容或习题
做标记，寻求老师帮助解答
学习任务巩固练习阶段： （本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）
天数 学习时间 学习章节
第一天 2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南 上册 6-1、6-2
内容，吃透习题。

第二天 2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南 上册 6-3、6-4
内容，吃透习题。

第三天 2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南 上册总复习题六
内容，吃透课后习题。

第四天 2h
考研真题对应章节练习----高数第四、五、六章对应真
题
第七章、常微分方程
计划对应教材：高等数学上册 同济大学数学系编 高等教育出版社 第六版 本单元中我们应当学习——
1. 微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；
2. 变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；
3. 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程的解法；
4. 可降阶微分方程：()
(),(,)(,)n y
f x y f x y y f y y ''''''===和的解法；
5. 线性微分方程解的性质及解的结构；
6. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法；
7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数
非齐次线性微分方程； 8. 会解欧拉方程．
天数学
习
时
间
学习章
节
学习知识点
习题
章节
必做题目
巩固习
题（选
做）
备注
第
一天3h
第7章
第1节
微分方
程的基
本概念
微分方程的基本概
念：微分方程，微分
方程的阶、解、通解、
初始条件、特解
习题
7—1
1(1)(4) ,2
(2)(4),4(2
),5(2)
1(5)(6)
,2(3),4
(3),5(1
)
——
第7章
第2节
可分离
变量的
微分方
程
可分离变量的微分方
程的概念及其解法
习题
7—2
1(1)(3)(4)
(7)★,2(3)
★,4,6★
1(5)(10
),2(4)
可以不用看
的内容：例2
例3例4
第7章
第3节
齐次方
程
一阶齐次微分方程的
形式及其解法
可化为齐次的方程
习题
7—3
1(1)★
(4),2(1)
★,3★
1(5),2(2)
考研不要求
的内容：
“二、可化
为齐次的方
程”
第
二天3h
第7章
第4节
一阶线
性微分
方程
一阶线性微分方程的
形式和解法
伯努利方程的形式和
解法
习题
7—4
1(2)(3)(7)
(10)
★,2(1)
★(4),3,4,
7(3),8(5)
1(4)(8)
(9),2(3
)(5),7(
1)
1. 可以不
用看的内
容：例2；
2. 考研不
要求的内
容：“二、伯
努利方程”.
第7章
第5节
可降阶
的高阶
微分方
程
用降阶法解下列微分
方程：()()
n
y f x
=，
()
,
y f x y
'''
=和
()
,
y f y y
'''
=
习题
7—5
1(1)(4)(7)
,2(2),3
1(5)(10
),2(4)
可以不用看
的内容：例2
例4例6.
第
三天3h
第7章
第6节
高阶线
性微分
方程
n阶线性微分方程的
形式
线性微分方程的解的
结构：齐次线性微分
方程和非齐次线性微
分方程的解的性质
习题
7—6
1(1)(3)(6)
,4(2),
1(2)(8)
(9),4(4
)
可以不用看
的内容：
1.“一、二
阶线性微
分方程举
例”；
2.“三、常
数变易
法”.
第7章
第7节
常系数
齐次线
性微分
方程
特征方程
特征方程的根与微分
方程通解中的对应项
微分方程的通解
习题
7—7
1(1)★(4)
★(5),2(2)
★(3),
1(6)(9)
(10),2(
1)(6)
可以不用看
的内容：例4
例5.
第7章
第8节
常系数
非齐次
线性微
分方程
二阶常系数非齐次线
性微分方程，其中自
由项为：多项式、指
数函数、正弦函数、
余弦函数，以及它们
的和与积
习题
7—8
1(1)(3)(7)
★(9)
★,2(2)
★,6★
1(2)(4)(6
),2(1)(4)
可以不用看
的内容：例
6.
天数学
习
时
间
学习章
节
学习知识点
习题
章节
必做题目
巩固习题
（选做）
备注
第
四天3h
第7章
第9节
欧拉方
程
欧拉方程的形式和通
解
习题
7—9
6 7 ——
第7章
总复习
题
总结归纳本章的基本
概念、基本定理、基
本公式、基本方法
总复
习题
七
1(1)(2)★
(3)(4),
2,3(1)(2)
★(7)★,
4(4) ★,7
★
3(3),4(3
),8
——
学习计划调整任务
天数时
间
学习任务
第一天2h 调整时间，对本单元进行知识回顾，对自己掌握不牢固知识内容或习题
做标记，寻求老师帮助解答
学习任务巩固练习阶段：（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）
天数学习时间学习章节
第一天2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南上册 7-1、7-2、
7-3内容，吃透习题。

第二天2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南上册7-4、7-5、
7-6内容，吃透习题。

第三天2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南上册7-7、7-8、
7-9内容，吃透习题。

第四天2h 回顾整理《高等数学》习题全解指南上册总复习题七
内容，吃透课后习题。

第五天2h 考研真题对应章节练习----高数第七章对应真题第六天2h 完成高等数学上册期末考试I卷测试
第七天2h 完成高等数学上册期末考试II卷测试。