4.3 静磁场的基础知识.

4.3 静磁场的基础知识
电学 基本物理量
基本定理
电场强度 电势
高斯定理 环路定理
磁学 基本物理量 基 本定律 基本定理
磁感应强度
比奥-萨伐尔定律
高斯定理 环路定理
§4-3-1 真空中的静磁场
一、 基本磁现象
中国在磁学方面的贡献：
最早发现磁现象：磁石吸引铁屑 春秋战国《吕氏春秋》记载：磁石召铁 司南勺
东汉王充《论衡》描述： 司南勺⎯最早的指南器具 十一世纪沈括发明指南针，发现地磁偏角， 比欧洲的哥伦布早四百年
十二世纪已有关于指南针用于航海的记载
早期的磁现象包括: (1)天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。

(2)条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。

任一磁铁 总是 两极同时存在，在自然界不存在独立的N极、S 极。

同性磁极相互排斥，异性磁极相互吸引。

磁单极子虽理论预言存在，至今尚未观察到。

(3)地球本身为一个大磁体，地 球磁体N、S极与地理南北极不是 同一点。

存在磁偏角。

在历史上很长一段时期里,人 们曾认为磁和电是两类截然不同 的现象。

1819年,奥斯特实验首 次发现了电流与磁铁间有力的作 用，才逐渐揭开了磁现象与电现 象的内在联系。

I
1820年7月21日，奥斯特 以拉丁文报导了60次实 验的结果。

N S
1


1820年底安培在数学上给出了两平 行电流相互作用力的公式。

1820年12月毕奥、萨伐尔提出 毕奥-萨伐尔定律
1821年法拉第提出“磁能否产生 电”的假设
1831年法拉第发现了电磁感应现象
安培的分子电流假说（1822年）
磁铁的磁性是分子电流产生的
N+ S
一个分子所有运动着的电子
激发的磁场，从总的效果看，
相当于一个环形电流所激发的
N
S 磁场，此环形电流～分子电流
磁场：由运动电荷(或电流)产生,在空间连续分布的一 种物质, 它能对处于其中的运动电荷有力的作用.
二、 磁感应强度
设带电量为q，速度为v的运动试探电荷处于磁 场中，实验发现：
（1）当运动试探电荷以同一速率v沿不同方向通 过磁场中某点 p 时，电荷所受磁力的大小是不同
的，但磁力的方向却总是与电荷运动方向（v）垂
直； （2）在磁场中的p点处存在着一个特定的方向，
当电荷沿此方向或相反方向运动时，所受到的磁力 为零，与电荷本身性质无关;
（3）在磁场中的p点处，电荷沿与上述特定方向 垂 直 的 方 向 运 动 时 所 受 到 的 磁 力 最 大 ( 记 为 Fm) ， 并且Fm与qv的比值是与q、v无关的确定值。

由实验结果可见，磁场中任何一点都存在一个固
有的特定方向和确定的比值Fm/(qv)，与试验电荷的 性质无关，反映了磁场在该点的方向和强弱特征，
为此，定义一个矢量函数磁感应强度：
y
由正电荷所受力
Bv
的方向出发，按右
+q
z
大小：
x
Fm
B = Fm qv
手螺旋法则，沿小 于π 的角度转向正 电荷运动速度v 的 方向，这时螺旋前 进的方向便是该点B
方向：可按右手螺旋法则确定 的方向。

单位：特斯拉（T） 高斯（Gs） 1T = 104 Gs
一些磁场的大小：
人体磁场极弱， 如心电激发磁场 约3×10-10T。

测 人体内磁场分布 可诊断疾病，图 示磁共振图象。

地球磁场约 5×10-5T。

超导磁体能激 发高达25T磁 场；原子核附 近可达104T； 脉冲星表面高 达 108T
大型电磁铁磁 场可大于2T。

三、磁感应线
为形象描述磁场分布情况,用一些假想的有方向 的闭合曲线--磁感应线代表磁场的强弱和方向。

I I
直电流
圆电流
I
I
螺线管电流
2


磁感应线的性质 与电流套连 闭合曲线(磁单极子不存在) 互不相交 方向与电流成右手螺旋关系
规定： ⑴磁感应线上任意一点的切向代表该点B的方向；
B
⑵垂直通过某点单位面积上的磁感应线数目等于该点 B 的大小
S┻
B
磁感应线
（3）磁感应线密集处磁场强；磁感应线稀疏处磁场弱。

磁通量 磁通量：穿过磁场中任一给定曲面的磁感线总数。

对于曲面上的非均匀磁场，一般采用微元分 割法求其磁通量。

对所取微元，磁通量：
dΦ = BdS cosθ = B • dS en
dS
对整个曲面，磁通量：
Φ = ∫SB ⋅ dS
单位：韦伯(Wb)
3、磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭 合曲面，穿入的磁感应线条数与穿出 的磁感应线条数相同，因此，通过任 何闭合曲面的磁通量为零。

∫ B ⋅ dS = 0
S
高斯定理的 积分形式
对于闭合曲面，规定其正法线 单位矢量的方向是垂直于曲面 向外的。

穿过任意闭合曲面S的总磁通量 必然为零，这就是磁场的高斯定 理。

说明磁场是无源场。

3


三、毕奥—萨伐尔（Biot-Savart）定律
载流导线中的电流为I，导线 半径比到观察点P的距离小得 多，即为线电流。

在线电流上取 长为dl的定向线元，规定d l 的方 向与电流的方向相同，I d l 为电 流元。

G Id l
I
G dB
G
dB
Idl
P
r
α
dl
I
电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小与
Idl成正比，与到电流元的距离平方成反比，与电
流 元 和 矢 径 夹 角 的 正 弦 成 正 比 。

dB方 向 垂 直 于 r
与 Idl 组成的平面，指向为由 Idl 经 α 角转向 r 时
右螺旋前进方向。

d
B
=
k
I
d l sin r2
α
而 k = μ0 4π
其中μ0=4π×10-7N•A-2，称为真空中的磁导率。

磁感应强度的矢量式：
dB=
μ0 4π
I
dl ×er r2
Biot-Savart定 律的微分形式
Biot-Savart定 律的积分形式
∫ ∫ B = dB = μ 0
L
4π
I d l × er
L
r2
三、毕奥—萨伐尔定律的应用 G 先将载流导体分割成许多电流元 Idl
G 写出电流元 Idl 在所求点处的磁感应强度，然后按 照磁感应强度的叠加原理求出所有电流元在该点磁 感应强度的矢量和。

实际计算时要应先建立合适的坐标系，求各电流元的 分量式。

即电流元产生的磁场方向不同时，应先求出 各分量 dBx dBy dBz 然后再对各分量积分，
} ⇒ ∫ Bx = dBx
∫ By = dBy ∫ Bz = dBz
B = Bxi + By j + Bzk
例1 载流长直导线的磁场 设有长为L的载流直导
线，其中电流为I。

计算距离直导线为a处的P点的磁
感应强度。

解：任取电流元 Idl
I
据毕奥-萨伐尔定律，此电 流元在P点磁感应强度dB为
Idl α
dB=
μ0 4π
I dl ×r r3
L
r
dB 方向根据右手螺旋定 则确定。

由于直导线上所有电流元
在该点 dB方向相同
aβ
G dB
P
B = ∫ d B 矢量积分可变为标量积分
∫ ∫ L
B=
d B = μ0
I d l sin α
L
4π L r 2
由几何关系有：
sinα = cos β r = d sec β
l = d tan β dl = dsec2 β d β
I Idl α
∫ B = μ0
4π
I d l sinα L r2
L
r
∫ = μ0 β2 I cos β d β
4π β1 d
=
μ0I 4πd
(sin
β2
−
sin
β1 )
dβ
G dB
P
4


B
=
μ0I 4πd
(sin
β2
− sin
β1 )
考虑三种情况： (1)导线无限长，即
B = μ0I
β1 β
2
= −π = π2
2
Idl
2πd
L
(2) 导 线 半 无 限 长 ， 场 点 与 一
端的连线垂直于导线
B = μ0I 4π d
(3)P点位于导线延长线上，B=0
I α
r aβ
G dB P
例2 载流圆线圈轴线上的磁场 设有圆形线圈L，半径 为R，通以电流I。

求轴线上一点磁感应强度。

I dl
R
I
O
r
dB
xθ P
解： 在场点P的磁感强度大小为
dB =
μ0 4π
Idl ×r r3
各电流元的磁场方向不相同，可分解为 d B⊥和 dB// ， 由于圆电流具有对称性，其电流元的 d B⊥逐对 抵消，所以P点 B 的大小为：
I dl
R
I
O
r d B⊥ d B
θ
x θ P d B//
∫ ∫ ∫ B =
LdB//
=
dB sinθ
L
= μ0 4π
L
Id r2
l
sinθ
∫ = μ0I sinθ
4πr 2
2πR
dl
0
=
μ0I sinθ 4πr 2
2πR
B
=
μ0I sinθ 4πr 2
2πR
I dl r
R
I
x
O
d B⊥ d B
θ θ
P d B//
∵r2 = R2 + x2;
sin θ
=
R r
=
(R2
R
+
x2
)
1 2
∴B
=
μ 0 IR 2
2(R2
+
x
2
)
3 2
=
μ0 2π
(R2
IS + x2)32
S = πR2
∴B =
μ0 IR2 2(R2 + x2 )32
=
μ0 2π
(R2
IS
+
x2
)3 2
讨论：
（1）在圆心处 x = 0
B = μ 0I 2R
（2）在远离线圈处 x >> R, x ≈ r
载流线圈 的磁矩
若线圈有N匝
B = μ 0 IS = μ 0 IS 2π x 3 2π r 3
引入 m = ISen m = NISen
B
=
μ0 2π
m r3
张角为θ的载流圆弧在其圆心处产生的 磁感应强度：
B = θ μ0I 2π 2R
例3：如图示的载流导线，求o点的B
解： 以⊙为正方向
B= − μ0I − μ0I + μ0I + μ0I 4πr1 4 r1 4 r2 4πr2
=
μ0I
1 (
−
1 )(1 +
1 )
I
4 r2 r1
π
r1
r2
o
I
5


四、安培环路定理
回忆
静电场是保 守场
电场的安培环路定理：在静 电场中，电场强度沿任意闭 合路径的线积分为零。

五、安真培环空路中定安理培环路定理
在真空中，磁感 应强度沿任一闭 合路径的线积分 等于μ0乘以该闭 合路径所包围的 各电流的代数 和。

四、安培环真路空定中理安培环路定理
四、安培环路定理 证明 B = μ0I
2π R
∫ B ⋅ d l = ∫ Bdl
∫= 2πR μ0I dl = μ0I 2πR
0 2πR 2πR
所以：∫ B ⋅ dl = μ0I
四、安培环路定理 证明
B ⋅ dl = Bdl cosθ
= Brdϕ
B ⋅ dl = μ0I rdϕ = μ0I dϕ
2πr
2π
I
dl θ B
∫ B ⋅ dl
=
μ0I 2π
∫
dϕ
=
μ0I 2π
2π
= μ0I
四、安培环路定理
B ⋅ dl = Bdl cosθ
= Brdϕ
B ⋅ dl = μ0I rdϕ = μ0I dϕ
2πr
2π
∫ B ⋅ dl
=
μ0I 2π
∫
dϕ
=0
证明
6


四、安培环路定理 证明
n
∫ B ⋅ dl ∑ = μ0 Ii i=0
四、安培环路定理
n
∑ Ii
i=0
闭合回路所包围的所有电流 的代数和。

所取的闭合路径上各点的磁
B 感强度值，是由闭合路径内
外所有的电流产生的。

即是 由空间所有的电流产生的。

四、安培环路定理
定理的物理意义
由安培环路定理可以看出，由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零，所以磁场是非保守场。

五、安培环路定理
讨论
1、不管闭合路径外面的电流如何 分布，只要闭合路径内没有包围电 流或包围的电流的代数和为零，总
有 ∫ B ⋅ dl = 0
2、B 的环流为零。

一般并不意味 着闭合路径上各点的 B 都为零。

五、安培环路定理 讨论
3、安培环路定理具有普适性，它对 具有对称性的磁场求解值较方便。

4、安培环路定理中回路所包围的 电流不单是线电流，还包括面电流 和体电流。

四、安培环路定理
电流密度
电流密度是矢量，导体中任一点 的电流密度的方向为该点正电荷 的运动方向，即电流方向。

其大 小等于单位时间内，通过该点附 近垂直于正电荷运动方向的单位 面积的电量。

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四、安培环路定理
j = dq n = dI n dsdt ds
dI = jds cosθ = j ⋅ ds
∴ I = ∫ dI = ∫ j ⋅ ds
五、应用举例 1.载流长直螺线管的磁场 取闭合路径如图所示:
∫ B⋅ dl
l
∫ ∫ = B⋅dl + B⋅dl
ab
bc
∫ ∫ + B⋅dl + B⋅dl
cd
da
∫= B⋅dl = Bab ab
dc
a
b
B
五、应用举例
由安培环路定理可得:
∫ B ⋅ dl = Bab = μ0nI ab
∴ B = μ0nI
注意:该结果是从无限长直螺 线管得来的,但对于实际的长 直螺线管中部各点仍然适用.
五、应用举例
2、无限长载流圆柱体的磁场
在圆柱形导体中，电流沿轴向流 动，电流在截面上的分布上是均 匀的，且圆柱的横截面半径为 R，电流是I，求圆柱体内外的磁 感应强度。

长直圆柱体电流的B( )分布
六、应用举例 3、载流螺绕环内的磁场
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六、应用举例
定性分析
当环形螺线管上的线圈绕的 很密集时，环外的磁场是很弱 的，磁场几乎全部集中在螺线管 内，由于磁场的对称性，管内的 磁感应线应形成同心圆。

六、应用举例
∫B⋅dl =B2πr
= μ0 NI
B = μ0 NI 2πr
小结：这次课学习了磁场的 高斯定理和磁场的环路定 理，要理解其包含的物理意 义。

要求会熟练地运用环路 定理求解磁感应强度。

作业
第4章作业: 39、41、42、44、47、52
9



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