2020-2021初中数学方程与不等式之无理方程知识点总复习附解析

2020-2021初中数学方程与不等式之无理方程知识点总复习附解析
一、选择题
1．2x =+的增根是_________________．
【答案】4x =-
【解析】
【分析】
两边平方，把无理方程化为2227(2)x x x +=+，解得14x =-，21x =，然后进行检验确定原方程的解，从而得到原方程的增根．
【详解】
解：Q 2x =+，
2227(2)x x x ∴+=+，
整理得2340x x +-=，解得14x =-，21x =，
检验：当4x =-时，左边2==，右边422=-+=-，左边≠右边，则4x =-为原方程的增根；
当1x =时，左边3，右边123=+=，左边=右边，则1x =为原方程的根，
所以原方程的解为1x =．
故答案为：4x =-．
【点睛】
本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
2．方程(x 30-=的解是______．
【答案】x=2
【解析】
【分析】
求出x 0=，求出即可．
【详解】
解：(x 30-=Q ，
2x 0∴-≥，
x 2∴≤，
x 30∴-≠，
0=Q ，
x 2=，
=．
故答案为：x2
【点睛】
本题考查了解无理方程和二次根式有意义的条件，能得出方程2x0
-=是解此题的关键．
3．方程32
x-=的解是__________．
【答案】x=7
【解析】
【分析】
将方程两边平方后求解，注意检验．
【详解】
将方程两边平方得x-3=4，
移项得：x=7，
-=2，原方程成立，
代入原方程得73
x-＝2的解是x=7．
故方程3
故本题答案为：x=7．
【点睛】
在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验．
4．方程23
-=2的解是_________
x x
x=-或
【答案】14
【解析】
【分析】方程两边平方可得到整式方程，再解之可得.
【详解】方程两边平方可得
x2-3x=4,
即x2-3x-4=0,解得x1=-1,x2=4
x=-或
故答案为：14
【点睛】本题考核知识点：二次根式，无理方程. 解题关键点：化无理方程为整式方程. 5．方程-x=1的根是______
【答案】x=3
【解析】
【分析】
先将-x移到方程右边，再把方程两边平方，使原方程化为整式方程x2=9，求出x的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解.
【详解】
解：整理得：=x+1，
方程两边平方，得：2x+10=x2+2x+1，
移项合并同类项，得：x2=9，
解得：x1=3，x2=-3，
经检验，x2=-3不是原方程的解，
则原方程的根为：x=3.
故答案为：x=3.
【点睛】
本题考查了解无理方程，无理方程在有些地方初中教材中不再出现，比如湘教版.
6．1
=的解是．
【答案】x =1
【解析】
【分析】
根据算术平方根的意义，方程两边分别平方，化为整式方程，然后求解即可.【详解】
两边平方得2x﹣1=1，解得x=1．
经检验x=1是原方程的根．
故本题答案为：x=1．
7．方程______．
x=
【答案】1
【解析】
【分析】
两边平方解答即可．
【详解】
原方程可化为：（x-1）2=1-x，
解得：x1=0，x2=1，
经检验，x=0不是原方程的解，
x=1是原方程的解
x=．
故答案为1
【点睛】
此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答，要注意解答后一定要检验．
8．的根是____．
【答案】x＝．
【解析】
【分析】
二次根式的值为非负数，被开方数也为非负数．
【详解】 211x -=Q
211x ∴-=
22x ∴=
2x ∴=±经检验 x ＝±2是原方程的根，
∴x ＝±2．
故答案为x ＝±2．
【点睛】
此题考查了二次根式有意义的条件，要明确，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9．如果关于x 的方程
的一个根为3，那么a= ．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据方程的解的意义，把x=3代入原方程，然后解关于a 的方程，解答后，一定要验根.
【详解】
∵关于x 2x a x +=的一个根为3，
∴x=3一定满足关于x 2x a x +=，
63a +=，
方程的两边同时平方，得
6+a=9，解得a=3；
检验：
将a=3代入原方程得，
左边2333?=，
右边=3，
∴左边=右边，
∴a=3符合题意，
故填：3.
10．14x +的解是_____．
【答案】15x =
【解析】
【分析】
两边同时平方，即可求出方程的解.
【详解】
=,
4
x+=
两边同时平方可得：116,
x=
解得：15.
x=符合题意.
经检验，15
x=
故答案为15
【点睛】
考查无理方程的解法，两边同时平方是解题的关键.
=的解是_____________.
11．0
【答案】x=2
【解析】
【分析】
根据题意可得x=2或x=1，然后根据二次根式的性质舍去x=1.
【详解】
=，
∴x﹣2=0或x﹣1=0，
解得x=2或x=1，
当x=1时，x﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，
则原方程的解为x=2.
故答案为：x=2.
【点睛】
本题主要考查解方程，二次根式的性质，解此题的关键在于求出的方程的解要使二次根式有意义.
12．x
=-的解是_____．
【答案】x＝﹣1．
【解析】
【分析】
把方程两边平方后求解，注意检验．
【详解】
把方程两边平方得x+2＝x2，
整理得（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣1．
【点睛】
本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
13．0=的解是________；
【答案】4x =
【解析】
【分析】
0=得30x -=或40x -=，解出x 的值并检验即可．
【详解】
0=
∴30x -=或40x -=
123,4x x ==
经检验，3x =为原方程的增根，应舍去
所以，原方程的根是4x =．
故答案为：4x =．
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是掌握解法，并注意检验．
14．-x 的值相等，那么x=__________．
【答案】-5
【解析】
【分析】
两边平方得到2
30()x x +=-，求出方程的解，把此方程的解代入原方程检验即可得出答案．
【详解】
x =-，
两边平方得：230()x x +=-，
即2300x x --=， (6)(5)0x x -+=，
(6)0x -=或(5)0x +=，
解得125,6x x =-= ，
检验：当5x =-5x ==-，
当6x =6x =≠-，
所以x =-5，
故答案为：-5．
【点睛】
本题考查无理方程，解一元二次方程．能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关键．需注意：因为一个数的算术平方根是非负的，所以一元二次方程的解中可能有不符合
无理方程的解，结果一定要检验．
15．如图，ABC ∆中，AB AC =, 点D 在线段BC 的延长线上， 连接AD ，CD=1，BC=12，∠DAB=30°， 则 AC =__________．
【答案】439
【解析】
【分析】
过点B 作BE ⊥AD 于点E ，AH ⊥BC 于H ．设AB=AC=x ．根据AE+DE=AD ，分别利用勾股定理求出AE ，DE ，AD ，构建方程即可解决问题．
【详解】
解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，AH ⊥BC 于H ．设AB=AC=x ．
在Rt △ABE 中，
∵∠BAE=30°，AB=x ，
∴BE=12AB=12x ，33， ∵AB=AC ，AH ⊥BC ，
∴CH=BH=6，
在Rt △AHB 中，AH 2=x 2-62，
在Rt △DBE 中，22221134BD BE x -=-
， 在Rt △ADH 中，2222267AH DH x +-+
∵AE+DE=AD ，
∴2x += 整理得：x 4-13×51x-(12×13)2=0，
解得x 2=13×48或13×3（舍去），
∵x ＞0，
∴，
经检验：是无理方程的解，
∴
故答案为．
【点睛】
本题考查勾股定理，解直角三角形，无理方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．若方程4m +
=无实数根，则m 的取值范围是_________． 【答案】m>4
【解析】
【分析】
4m =-，由非负数的算术平方根不是负数求得答案．
【详解】
解：因为：4m =
4m =-，
因为原方程无实根，所以：4m -＜0
解得：m ＞4．
故答案为：m ＞4．
【点睛】
本题考查无理方程的实数根的情况，掌握算数平方根不是非负数的性质是解题的关键．
17．方程(x 0-=的解是_____________________
【答案】4x =
【解析】
【分析】
因为(x 0-=可以得出x−2＝0，x−4＝0且x−4≥0，由此求得原方程的解即可．
【详解】
解：(x 0-=Q
20,40x x ∴-=-=，且40x -≥
解得2,4x x ==且4x ≥
4x ∴=
故答案为4x =
【点睛】
此题考查解无理方程，注意被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．
18．0=的根是__________________． 【答案】x=2 【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件求出x 的取值范围，再根据乘法法则转化为一元一次方程求解即可．
【详解】
∵x+1≥0，x-2≥0，
∴x ≥2．
0=，
∴x+1=0或x-2=0，
∴x 1=-1（舍去），x 2=2．
故答案为：x=2．
【点睛】
本题考查了无理方程的解法，根据代数式有意义的条件求出未知数的取值范围是本题的易错点．
19．2x =的解是__________．
【答案】1x =
【解析】
【分析】
先左右两边同时平方，然后解整式方程即可，注意检验求出的整式方程的根是否为原方程的增根．
【详解】
2x =，
∴22(2)x =，
即2234x x += ，
解得1x =或1x =-．
当1x =-2,22,22x ==-≠- ，
x=-是原方程的增根，
∴1
x=．
∴原方程的解为1
x=．
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查无理方程的解法，掌握无理方程的解法是解题的关键．
20．3的解是：x＝_____．
【答案】±2
【解析】
【分析】
对方程左右两边同时平方，可得x2+5＝9，进而可解x的值，答案注意根式有意义的条件【详解】
=，左右两边同时平方可得x2+5＝9；解之，可得：x＝±2．
3
故答案为：±2．
【点睛】
本题的关键是将方程化为二次方程，答案注意根式有意义的条件。