24.3正多边形和圆.ppt
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（60°）.
正多边形：
四条边都相等，四个角也 相等（90°）.
__各__边__相__等___，__各_角__也__相__等____的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做
正n边形.
第6页，共26页。
【想一想】
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
A
求证：正五边形的对角线相等
·O
∴AB=
B
D
C
∴S△ABC=
第21页，共26页。
连接OB，OC 作OE⊥BC，垂足为E，∠OEB=90°，
∠OBE=∠BOE=45°，
Rt△OBE为等腰直角三角形，
A
D
O
·
B
E
C
第22页，共26页。
四、当堂检测 巩固新知
1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八 边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平行四边 形.是轴对称图形的有___①__②__③_④__,是中心对称图形的 有__③__④__⑤___,既是中心对称图形，又是轴对称图形的 有___③___④___.
24.3 正多边形和圆
第1页，共26页。
学习目标
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角 之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边 形．
第2页，共26页。
• 学习重点：了解正多边形的概念，并能进 行有关的计算。
• 学习难点：探索正多边形与圆的关系。
第3页，共26页。
A
B O
A
E
B
F
O
C
C
D
E
D
第17页，共26页。
【归纳】 正多边形的性质 1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成 n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个
圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.
第18页，共26页。
B
E
C
D
第7页，共26页。
怎样找圆的内接正三角形？
A
D
怎样找圆的外切正三角形？
H
B
C
A
D
怎样找圆的内接正方形？
E
0
G 怎样找圆的外切正方形？
B
C
怎样找圆的内接正n边形？
F
怎样找圆的外切正n边形？
第8页，共26页。
【例题】
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正 五边形；
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还 是中心对称图形.
6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n，每
个内角都等于(n-2)·180°/n .
7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径 比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比 等于相似比的平方.
第19页，共26页。
第26页，共26页。
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
第10页，共26页。
（2）连接OA，OB，OC，则
P
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.
B
∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切 Q
点的⊙O的切线，
C
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
A
T
E O
S
D R
第11页，共26页。
【定理】 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且
这两个圆是同心圆.
第14页，共26页。
正多边形的中心:
E
D
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
F
. 中心角
O.
半径R
C
正多边形的中心角:
边心距r
正多边形的每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
A
B
中心到正多边形的一边的距离.
E
心距
亭子地基的面积
A
O
D
rR
B
P
C
第20页，共26页。
三、后教环节 突出重点 突破难点
【跟踪训练】分别求出半径为R的圆内接正三角形、
正方形的边长、边心距和面积.
【解析】作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D 连接OB，则OB=R 在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
A
边心距＝OD=
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆 以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?
第15页，共26页。
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
中心角 E
.O
F
R
设正多边形的边长为a,边数为n，
A
圆的半径为R,它的周长为L=na.
G
D
C
a
B
第16页，共26页。
正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴. 若n为偶数，则其为中心对称图形.
又∵A⌒B=B⌒C， ∴AB=BC， ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T， QR=RS=ST=TP=2PA，
∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
第12页，共26页。
【定理】
把圆分成n（n≥3）等份：
【例题】【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求
地基的周长和面积(精确到0.1m2).
【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC是等边 三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得边 F
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形 的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心距． 2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的
边心距之间的等量关系．
第25页，共26页。
六、家庭作业
• 1、必做 • 2、选作
p108-109页 4、6题 109页 拓广探究8题
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点 的五边形是这个圆的外切正五边形.
第9页，共26页。
⌒ ⌒ ⌒⌒ ⌒ 证明:(1）∵AB=BC=CD=DE=EA，
Aห้องสมุดไป่ตู้
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵B⌒CE=⌒CDA=⌒3AB，
1
B2
5E
∴∠1=∠2， 同理∠2=∠3=∠4=∠5，
3
4
C
D
又∵顶点A，B，C，D、E都在⊙O上，
2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比
为__3_:4__，面积比为___9_:1_6，外接圆周长比是_____3_:，4 中 心角度数比是___1_:1__.
第23页，共26页。
3.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的_____中_．心
4.正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的
__边__心__距__．
5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是____度，60
半径是___1，边心距是
，它的每一个内角是
_1_2_0_°． 6.正n边形的一个外角度数与它的______中角心的度数相等．
7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转
7度2,
才能与原来的图形位置重合.
第24页，共26页。
依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形 是这个圆的外切正n边形.
一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？
第13页，共26页。
【类比联想】
正三角形 有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？
正方形
有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？ 那么，正n边形呢？
自学指导
认真看书105-107页，独立完成以下问 题，看谁做得又对又快？
1、什么是正多边形?什么是边心距，中心角？ 2、正n边形的每一个内角是多少度？每一个
中心角呢？
第4页，共26页。
一、 情境引入 导入新课
你还能举出更多正多边形的例子吗？
第5页，共26页。
二、先学环节 教师释疑
三条边相等，三个角也相等
正多边形：
四条边都相等，四个角也 相等（90°）.
__各__边__相__等___，__各_角__也__相__等____的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做
正n边形.
第6页，共26页。
【想一想】
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
A
求证：正五边形的对角线相等
·O
∴AB=
B
D
C
∴S△ABC=
第21页，共26页。
连接OB，OC 作OE⊥BC，垂足为E，∠OEB=90°，
∠OBE=∠BOE=45°，
Rt△OBE为等腰直角三角形，
A
D
O
·
B
E
C
第22页，共26页。
四、当堂检测 巩固新知
1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八 边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平行四边 形.是轴对称图形的有___①__②__③_④__,是中心对称图形的 有__③__④__⑤___,既是中心对称图形，又是轴对称图形的 有___③___④___.
24.3 正多边形和圆
第1页，共26页。
学习目标
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角 之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边 形．
第2页，共26页。
• 学习重点：了解正多边形的概念，并能进 行有关的计算。
• 学习难点：探索正多边形与圆的关系。
第3页，共26页。
A
B O
A
E
B
F
O
C
C
D
E
D
第17页，共26页。
【归纳】 正多边形的性质 1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成 n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个
圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.
第18页，共26页。
B
E
C
D
第7页，共26页。
怎样找圆的内接正三角形？
A
D
怎样找圆的外切正三角形？
H
B
C
A
D
怎样找圆的内接正方形？
E
0
G 怎样找圆的外切正方形？
B
C
怎样找圆的内接正n边形？
F
怎样找圆的外切正n边形？
第8页，共26页。
【例题】
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正 五边形；
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还 是中心对称图形.
6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n，每
个内角都等于(n-2)·180°/n .
7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径 比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比 等于相似比的平方.
第19页，共26页。
第26页，共26页。
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
第10页，共26页。
（2）连接OA，OB，OC，则
P
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.
B
∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切 Q
点的⊙O的切线，
C
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
A
T
E O
S
D R
第11页，共26页。
【定理】 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且
这两个圆是同心圆.
第14页，共26页。
正多边形的中心:
E
D
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
F
. 中心角
O.
半径R
C
正多边形的中心角:
边心距r
正多边形的每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
A
B
中心到正多边形的一边的距离.
E
心距
亭子地基的面积
A
O
D
rR
B
P
C
第20页，共26页。
三、后教环节 突出重点 突破难点
【跟踪训练】分别求出半径为R的圆内接正三角形、
正方形的边长、边心距和面积.
【解析】作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D 连接OB，则OB=R 在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
A
边心距＝OD=
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆 以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?
第15页，共26页。
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
中心角 E
.O
F
R
设正多边形的边长为a,边数为n，
A
圆的半径为R,它的周长为L=na.
G
D
C
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B
第16页，共26页。
正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴. 若n为偶数，则其为中心对称图形.
又∵A⌒B=B⌒C， ∴AB=BC， ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T， QR=RS=ST=TP=2PA，
∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
第12页，共26页。
【定理】
把圆分成n（n≥3）等份：
【例题】【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求
地基的周长和面积(精确到0.1m2).
【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC是等边 三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得边 F
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形 的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心距． 2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的
边心距之间的等量关系．
第25页，共26页。
六、家庭作业
• 1、必做 • 2、选作
p108-109页 4、6题 109页 拓广探究8题
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点 的五边形是这个圆的外切正五边形.
第9页，共26页。
⌒ ⌒ ⌒⌒ ⌒ 证明:(1）∵AB=BC=CD=DE=EA，
Aห้องสมุดไป่ตู้
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵B⌒CE=⌒CDA=⌒3AB，
1
B2
5E
∴∠1=∠2， 同理∠2=∠3=∠4=∠5，
3
4
C
D
又∵顶点A，B，C，D、E都在⊙O上，
2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比
为__3_:4__，面积比为___9_:1_6，外接圆周长比是_____3_:，4 中 心角度数比是___1_:1__.
第23页，共26页。
3.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的_____中_．心
4.正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的
__边__心__距__．
5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是____度，60
半径是___1，边心距是
，它的每一个内角是
_1_2_0_°． 6.正n边形的一个外角度数与它的______中角心的度数相等．
7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转
7度2,
才能与原来的图形位置重合.
第24页，共26页。
依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形 是这个圆的外切正n边形.
一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？
第13页，共26页。
【类比联想】
正三角形 有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？
正方形
有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？ 那么，正n边形呢？
自学指导
认真看书105-107页，独立完成以下问 题，看谁做得又对又快？
1、什么是正多边形?什么是边心距，中心角？ 2、正n边形的每一个内角是多少度？每一个
中心角呢？
第4页，共26页。
一、 情境引入 导入新课
你还能举出更多正多边形的例子吗？
第5页，共26页。
二、先学环节 教师释疑
三条边相等，三个角也相等