数系的扩充

整数（Z） 分数
有理数（Q） 无理数 实数（R）
数的发展史总结
(1)人们为什么要不断扩充数系? (2)数系是怎样扩充的?
(3)扩充前后的数集之间有何关系?
提出问题
16世纪，意大利数学 家卡尔丹研究的问题： “将10分成两部分， 使两者的乘积等于 40” 。
x(10 x) 40
x 10 x 40 0
2+？=1
自然数（N） 整数（Z） 负整数
数的发展史——有理数
分数的产生经历了一个漫长的过程。开 始人们只使用简单的分数，如一半，一 半的一半等。大约在2000年前，古希腊 人已经开始用分子和分母表示分数。分 数在我国很早就有了，它是在用算筹做 除法运算的基础上产生的。继中国的筹 算分数之后，又过了五六百年的时间， 印度才出现了有关分数理论的论述。再 往后，阿拉伯人发明了分数线，分数的 表示法就成为现在这样了。
结绳计数 自然数（N）
数的发展史——整数
中国是世界上最早认识应用负数的国 家。早在2000多年前的《九章算术》 中,就有正数和负数的记载。在古代人 民生活中,以收入钱为正,以支出钱为负。 在粮食生产中,以产量增加为正,以产量 减少为负。古代的人们为区别正、负数, 常用红色算筹表示正,黑色算筹表示负。
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下课！同学们再见！
a bi c di
a c b d
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问题延伸
问题:已知 ( x y) ( x 2 y)i (2 x 5) (3x y)i 求实数x，y的值．
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问题延伸
问题：实数m取什么值时， 复数 Z m(m 1) (m 1)i 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
算,进行四则运算时,原有的加法、
解决问题
回到卡尔丹的问题，求解方程：
x 10 x 40 0
2
x1 5 15i x2 5 15i
你能例举出其它的复数吗？ 或
i
问题延伸——复数的概念
(1)形如 a bi, (a, b R) 的数叫做复数, 通常用字母 Z 表示。 记作：Z
2
卡尔丹Cardano 意大利
简化问题
为了解决上述问题，考虑更为简单的方程：
x 1 02ຫໍສະໝຸດ 你能给出一个解决问题的方案吗?
解决问题
1777年，瑞士数学家欧拉在其论 文中首次用符号“i”，笛卡尔把 这些新数称为虚数，i叫做虚数单 位,并规定：
（1）i2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运 Leonhard Euler 乘法运算律仍然成立。 瑞士 欧拉 公元1707-1783年 （3）虚数与实数合称为复数。
自然数（N） 3个苹果怎样平均 整数（Z） 有理数（Q） 负整数 分给5个小朋友？ 分数
数的发展史——实数
公元前6世纪末，毕达哥拉 斯学派认为宇宙间的一切 都可以归结为整数或整数 之比（有理数），但其中 一个学生希帕索斯提出问 题：边长为1的正方形对角 线的长度是多少？ 自然数（N） 负整数
1
1
毕达哥拉斯(约公元前580年～公元 前500年)古希腊哲学家、数学家
a bi (a R, b R)
实部 虚部
（2）当 b 0 时, Z 是实数； 当 b 0 时, Z 是虚数； Z 特别的，当 a 0 且 b 0 时， bi 叫作纯虚数． (3)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般 用字母 C 表示。
问题延伸
讨论：关于本节课内容同学们还有什么
问题导学公开课
苏教版 选修2-2
数系的扩充
省镇江一中 马斌
数的发展史——自然数
结绳计数在原始社会,人类智 力低下,进行计算的方法十分 简单。人们把石块放进皮袋 或用贝壳串成珠子,需用时只 要进行“一一对应”,就可以 计算需要计数的物品。后来, 人们又发明了在长绳上打结 记事或计数。采用这样的 “结绳计数”方法,比用石块 贝壳要轻便许多。
疑问？
关系
相等
纯虚数
应用
下课
问题延伸
问题：现在数集的关系是怎样的？
N Z Q R C ≠ ≠ ≠ ≠
C
R Q Z N
自然数（N） 负整数
整数（Z） 分数
有理数（Q） 无理数
实数（R）
虚数
复数（C）
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问题延伸——复数的相等
问题：复数可以比较大小吗？
复数可以相等吗？
对于复数 Z1 a bi 和 Z 2 c di ， (a, b, c, d R) 在什么情况下相等呢？
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问题延伸
问题:复数在实际生活中有什么应用？
复数为证明机翼上升力的基 本定理起到了重要作用，并 在解决堤坝渗水的问题中显 示了它的威力，也为建立巨 大水电站提供了重要的理论 依据。复数在电学、量子力 学、相对论中都有广泛的应 用，可以说没有复数就没有 同学们今天使用的电子产品。
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