(通用版)2019版高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 3 第3讲 圆的方程教案 理

第3讲圆的方程
1．圆的定义及方程
定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹)
标准方程（x－a)2＋（y－b）2＝r2
（r＞0）
圆心：（a,b），半径：r
一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2
＋E2－4F＞0)
圆心：错误!，
半径：错误!错误!
2.点与圆的位置关系
点M（x0,y0）与圆（x－a）2＋（y－b)2＝r2的位置关系：
（1)若M(x0，y0）在圆外，则(x0－a）2＋(y0－b）2＞r2.
（2）若M（x0,y0）在圆上,则（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2。

（3）若M(x0,y0）在圆内，则(x0－a）2＋（y0－b)2＜r2.
判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”）
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．（)
（2)已知点A（x1，y1），B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)（x－x2）＋(y－y1）(y－y2）＝0.( )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0,D2＋E2－4AF〉0。

( )
（4）方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．（）
(5）若点M（x0,y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x错误!＋y错误!＋Dx0＋Ey0＋F〉0.（）答案：(1）√(2)√(3）√（4）×(5）√
圆心为（1，1)且过原点的圆的方程是（)
A．(x－1)2＋(y－1）2＝1
B．(x＋1）2＋（y＋1)2＝1
C．（x＋1）2＋(y＋1）2＝2
D．(x－1）2＋（y－1）2＝2
解析：选D.因为圆心为(1,1）且过原点，所以该圆的半径r＝错误!＝错误!，则该圆的方程为(x －1）2＋(y－1)2＝2，选D。

方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是（）
A.错误!〈m<1 B．m〈错误!或m>1
C．m<错误!D．m〉1
解析：选B。

由(4m）2＋4－4×5m〉0，得m<错误!或m>1。

点（1，1）在圆(x－a）2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(1,1）在圆的内部，
所以(1－a)2＋（1＋a)2<4，
所以－1〈a〈1。

答案:(－1,1)
求圆的方程(高频考点）
求圆的方程是高考命题的热点,多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小．高考对求圆的方程的考查主要有以下两个命题角度:
（1)由圆的方程确定参数的值(范围）；
(2)由已知条件求圆的方程．
［典例引领］
角度一由圆的方程确定参数的值(范围）
（2018·福建厦门联考）若a∈错误!,则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4（2a2＋a－1)〉0,即3a2＋4a－4〈0，解得－2<a〈错误!。

又a∈错误!，所以仅当a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay ＋2a2＋a－1＝0表示圆．
【答案】B
角度二由已知条件求圆的方程
求圆心在直线x－2y－3＝0上,且过点A（2，－3），B（－2，－5)的圆的方程．【解】法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，
所以可设点C的坐标为（2a＋3，a)．
又该圆经过A,B两点，
所以|CA｜＝|CB｜，
即错误!＝错误!，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为（－1，－2），半径r＝10.
故所求圆的方程为（x＋1)2＋（y＋2）2＝10。

法二：设所求圆的标准方程为（x－a)2＋(y－b）2＝r2,
由题意得错误!解得错误!
故所求圆的方程为（x＋1)2＋(y＋2）2＝10.
法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为错误!。

由题意得错误!解得错误!
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
求圆的方程的两种方法
（1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程．
(2）待定系数法
①若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b,r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E,F的方程组，进而求出D，E,F的值．
［提醒］解答圆的有关问题，应注意数形结合,充分运用圆的几何性质．
［通关练习］
1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1）2＝0,若0<a〈1，则原点与圆的位置关系是( ) A．原点在圆上B．原点在圆外
C．原点在圆内D．不确定
解析：选B。

将圆的一般方程化成标准方程为（x＋a）2＋（y＋1)2＝2a，因为0〈a〈1，所以
(0＋a)2＋（0＋1)2－2a＝（a－1)2>0，即错误!>错误!,所以原点在圆外．
2．若圆心在x轴上,半径为错误!的圆O′位于y轴左侧,且与直线x＋2y＝0相切,则圆O′的方程是( )
A．（x－5）2＋y2＝5或(x＋5）2＋y2＝5
B．（x＋5)2＋y2＝5
C．（x－5）2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：选D。

设圆心坐标为（a，0)（a<0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以错误!＝错误!，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
3．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2错误!，则圆C的标准方程为__________________．
解析：设圆C的圆心为(a,b）（b>0），由题意得a＝2b>0，且a2＝（错误!)2＋b2,解得a＝2，b ＝1.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1）2＝4.
答案：(x－2）2＋（y－1)2＝4
与圆有关的最值问题（高频考点）
与圆有关的最值问题是高考命题的热点,多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等．高考中对圆的最值问题的考查主要有以下两个命题角度:
(1）借助几何性质求最值问题；
(2）建立函数关系求最值．
［典例引领］
角度一借助几何性质求最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0。

(1)求错误!的最大值和最小值；
（2)求y－x的最大值和最小值．
【解】原方程可化为（x－2)2＋y2＝3，表示以（2，0)为圆心，错误!为半径的圆．
（1)错误!的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设错误!＝k，即y＝kx。

当直线y＝kx与圆相切时,斜率k取得最大值或最小值，此时错误!＝错误!，
解得k＝±错误!(如图1）．
所以y
x
的最大值为3，最小值为－ 3.
（2）y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值,此时错误!＝错误!，
解得b＝－2±6(如图2)．
所以y－x的最大值为－2＋错误!,最小值为－2－错误!。

在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知，在原点和
圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图)．
又圆心到原点的距离为
错误!＝2，
所以x2＋y2的最大值是（2＋错误!)2＝7＋4错误!，x2＋y2的最小值是（2－错误!）2＝7－4错误!.角度二建立函数关系求最值
(2018·厦门模拟）设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3）2＝1上的动点,定点A（2，0)，B(－2，0),则错误!·错误!的最大值为________．
【解析】由题意,知错误!＝（2－x，－y)，错误!＝(－2－x，－y)，所以错误!·错误!＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以错误!·错误!＝－(y－3）2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，错误!·错误!的值最大，最大值为6×4－12＝12。

【答案】12
错误!
求解与圆有关的最值问题的方法
[通关练习]
1．如果实数x，y满足圆（x－2)2＋y2＝1，那么错误!的取值范围是________．
解析:(x,y）在圆上,错误!表示的是圆上的点(x，y)与点（1，－3）连线的斜率，画出图象，求出过点(1,－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k,切线方程为kx－y －3－k＝0，圆心到直线的距离等于半径，即错误!＝1，k＝错误!,故取值范围是错误!.
答案：错误!
2．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析:切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3，0)到直线的距离为d＝错误!＝2错误!，圆的半径为1，故切线长的最小值为错误!＝错误!＝错误!。

答案：错误!
3．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A,B,当｜AB｜取最小值时，切线l的方程为________________．
解析：设点A，B的坐标分别为A（a，0)，B(0，b）（a〉0,b>0），则直线AB的方程为错误!＋错误!＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d＝错误!＝错误!，即2（a2＋b2）＝(ab）2≥4ab，所以ab≥4,当且仅当a＝b时取等号．又｜AB|＝错误!＝错误!≥22,所以｜AB｜的最小值为2错误!，此时a＝b，
即a＝b＝2,切线l的方程为x
2
＋错误!＝1，
即x＋y－2＝0。

答案：x＋y－2＝0
与圆有关的轨迹问题
［典例引领]
已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B。

(1)求圆C1的圆心坐标；
(2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
【解】（1）由x2＋y2－6x＋5＝0得（x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3，0）．
(2)设M(x，y），
因为点M为线段AB的中点,
所以C1M⊥AB,
所以kC1M·k AB＝－1，当x≠3时可得错误!·错误!＝－1,整理得错误!错误!＋y2＝错误!,
又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立．
设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立,
消去y得：（1＋k2)x2－6x＋5＝0。

令其判别式Δ＝（－6)2－4（1＋k2）×5＝0,得k2＝错误!,此时方程为错误!x2－6x＋5＝0，解上式得x＝错误!,因此错误!<x≤3。

所以线段AB的中点M的轨迹的方程为错误!错误!＋y2＝错误!错误!。

错误!
求与圆有关的轨迹方程的方法
已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2，0),B(1，1)为圆内一点,P，Q为圆上的动点．（1)求线段AP中点的轨迹方程；
（2）若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．
解:(1)设AP的中点为M(x，y),由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y）．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y）2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.
（2)设PQ的中点为N（x，y）,在Rt△PBQ中,｜PN｜＝|BN｜，
设O为坐标原点，连接ON(图略），则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON｜2＋|PN|2＝｜ON|2＋｜BN｜2,所以x2＋y2＋(x－1)2＋（y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0。

错误!
圆的方程选取的原则
(1)已知条件多与圆心、半径有关,或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关，则设圆的标准方程:（x－a)2＋（y－b)2＝r2（r>0);
（2)已知圆上的三个点的坐标时，则设圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F〉0)．
易错防范
(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程；
（2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．
1．圆心在y轴上，半径为1,且过点(1，2)的圆的方程是( ）
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2）2＝1
C．（x－1）2＋(y－3）2＝1 D．x2＋（y－3)2＝1
解析：选A.设圆心为(0，a)，则错误!＝1，
解得a＝2，故圆的方程为x2＋（y－2)2＝1.故选A。

2．方程｜x｜－1＝错误!所表示的曲线是（）
A．一个圆B．两个圆
C．半个圆D．两个半圆
解析：选D。

由题意得错误!即错误!或错误!
故原方程表示两个半圆．
3．(2018·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是（)
A．1＋错误!B．2
C．1＋错误!D．2＋2错误!
解析：选A。

将圆的方程化为(x－1）2＋(y－1）2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝错误!＝错误!，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝错误!＋1,选A。

4．(2018·山西晋中模拟）半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2错误!均相切，则该圆的标准方程为（）
B ．（x －2）2＋（y ＋2)2
＝2 C ．（x －2)2
＋(y ＋2)2
＝4
D ．（x －2错误!)2
＋（y ＋2错误!)2
＝4
解析：选C.设圆心坐标为(2，－a ）（a 〉0)，则圆心到直线x ＋y ＝2错误!的距离d ＝错误!＝2,所以a ＝2，所以该圆的标准方程为（x －2）2
＋(y ＋2)2
＝4,故选C 。

5．（2018·广东七校联考)圆x 2
＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b 〉0）对称,则错误!＋错误!的最小值是( ) A ．2错误! B 。

错误! C ．4
D. 16
3
解析：选D 。

由圆x 2
＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝9，因为圆x 2
＋y
2
＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a 〉0,b >0)对称，所以该直线经过圆心（－1，3)，即－a －3b ＋3＝0，所以a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．所以错误!＋错误!＝错误!(a ＋3b )错误!＝错误!错误!≥1
3
错误!＝错误!，当且仅当错误!＝错误!，即a ＝b 时取等号，故选D 。

6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1),B (1，3), 若M (m ，错误!)在圆C 内，则m 的范围为________．
解析：设圆心为C （a ，0），由｜CA ｜＝｜CB |得 (a ＋1）2
＋12
＝(a －1)2
＋32
.所以a ＝2。

半径r ＝｜CA ｜＝错误!＝错误!. 故圆C 的方程为（x －2）2
＋y 2
＝10。

由题意知（m －2)2
＋(错误!）2<10,解得0〈m 〈4. 答案：（0,4）
7．已知点P (2，2），圆C ：x 2
＋y 2
－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________________． 解析：圆C 的方程可化为x 2
＋（y －4)2
＝16, 所以圆心为C (0，4)，半径为4。

设M (x ，y ），则错误!＝（x ,y －4),错误!＝（2－x ，2－y )． 由题设知错误!·错误!＝0，故x （2－x )＋(y －4）（2－y ）＝0.
由于点P在圆C的内部,所以点M的轨迹方程是（x－1)2＋（y－3)2＝2.
答案：(x－1）2＋（y－3）2＝2
8．已知点P（－2，－3)，圆C:(x－4)2＋(y－2)2＝9，过点P作圆C的两条切线，切点为A，B，则过P、A、B三点的圆的方程为________________．
解析：易知圆C的圆心为C（4，2)，连接AC、BC,
由题意知PA⊥AC,PB⊥BC，
所以P，A,B，C四点共圆，连接PC，则所求圆的圆心O′为PC的中点，所以O′错误!，
所以所求圆的半径r′＝错误!＝错误!.
所以过P,A,B三点的圆的方程为(x－1）2＋错误!错误!＝错误!。

答案：(x－1）2＋错误!错误!＝错误!
9．求适合下列条件的圆的方程．
（1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l:x＋y－1＝0相切于点P(3，－2);
(2)过三点A（1，12)，B(7,10)，C（－9，2)．
解：(1）法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋（y－b）2＝r2,则有错误!
解得a＝1，b＝－4,r＝2错误!.
所以圆的方程为(x－1）2＋(y＋4）2＝8。

法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4）．
所以半径r＝错误!＝2错误!，
所以所求圆的方程为(x－1）2＋（y＋4)2＝8。

(2）设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0)，
则错误!
解得D＝－2,E＝－4，F＝－95.
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
10．已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C 和D,且｜CD｜＝4错误!。

（1)求直线CD的方程;
(2）求圆P的方程．
解：(1)由题意知,直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1），即x＋y－3＝0.
（2）设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0。

①
又因为直径|CD｜＝410，所以|PA|＝210，
所以（a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得错误!或错误!
所以圆心P(－3，6)或P（5，－2)．
所以圆P的方程为（x＋3)2＋(y－6）2＝40或(x－5）2＋（y＋2）2＝40.
1．已知实数x,y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝3x＋y的取值范围是( )
A．(－2错误!，4) B．[－2错误!，4］
C．[－4，4］D．［－4,2错误!］
解析:选B。

由于y≥0，所以x2＋y2＝4(y≥0）为上半圆.错误!x＋y－m＝0是直线（如图)，
且斜率为－错误!,在y轴上截距为m,又当直线过点（－2,0）时,m＝－2错误!，设圆心O到直线3x＋y－m＝0的距离为d,所以错误!即错误!
解得m∈[－2错误!,4]．
2．设命题p：错误!(x，y,k∈R且k＞0）；命题q：（x－3）2＋y2≤25（x，y∈R）．若p是q 的充分不必要条件,则k的取值范围是________．
解析：如图所示：
命题p表示的范围是图中△ABC的内部（含边界）,命题q表示的范围是以点（3，0)为圆心，5
为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件，实际上只需A，B，C三点都在圆内(或圆上）即可．
由题知B错误!,则错误!
解得0＜k≤6。

答案:（0，6］
3。

如图,等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和26,高为3.
（1）求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2），端点M在圆E上运动,求线段MN的中
点P的轨迹方程．
解：(1)由已知可知A（－3，0)，B(3,0），C(错误!，3），D（－错误!,3），设圆心E（0,b）．由|EB｜＝｜EC|，
得（0－3）2＋（b－0)2＝（0－错误!)2＋（b－3)2，
解得b＝1，r2＝(0－3）2＋（1－0)2＝10，所以圆的方程为x2＋（y－1)2＝10。

(2)设P(x，y），由已知得M（2x－5,2y－2)，
代入x2＋(y－1)2＝10，得（2x－5)2＋(2y－3)2＝10，
化简得错误!错误!＋错误!错误!＝错误!.
4．已知以点C错误!(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．
(1）求证：△OAB的面积为定值；
（2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
解：（1）证明：因为圆C过原点O，所以OC2＝t2＋错误!。

设圆C的方程是 (x－t）2＋错误!错误!＝t2＋错误!，
令x＝0,得y1＝0，y2＝错误!；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t,
所以S△OAB＝1
2
OA·OB＝
1
2
×｜2t｜×|错误!｜＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)因为OM＝ON，CM＝CN，
因为OC垂直平分线段MN.
因为k MN＝－2,
所以k OC＝错误!。

所以错误!＝错误!t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1），OC＝错误!，
此时，C到直线y＝－2x＋4的距离d＝错误!<错误!，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
符合题意，此时，圆的方程为（x－2）2＋(y－1)2＝5.
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝错误!〉错误!。

圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
所以t＝－2不符合题意,舍去．
所以圆C的方程为（x－2)2＋(y－1）2＝5。

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