高一数学下学期第二次月考试题理含解析试题 (2)

砀山二中2021-2021学年度高一下学期第二次月考
数学试题〔理〕
一．选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕
1.某幼儿园为了理解全园310名小班学生的身高情况，从中抽取31名学生进展身高测量、以下说法正确的选项是〔〕
A. 总体是310
B. 310名学生中的每一名学生都是个体
C. 样本是31名小班学生
D. 样本容量是31
【答案】D
【解析】
【分析】
根据样本和样本容量，总体和总体容量的定义判断．
【详解】根据样本和样本容量，总体和总体容量的定义可知
样本是学生的身高，样本容量是31，
总体是310名学生的身高，总体容量是310
应选：D．
【点睛】此题主要考察根据样本和样本容量，总体和总体容量的定义，是根底题．
2.某年级有学生560人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为80的样本，把学生编号为1～560号，编号为20的学生被抽中，那么样本中编号最小的是〔〕
A. 004
B. 005
C. 006
D. 007
【答案】C 【解析】 【分析】
根据系统抽样的定义求出样本间隔即可求解 【详解】样本间隔为560÷80=7，
那么20-7×2=6，那么样本中编号最小的是006 应选：C ．
【点睛】此题主要考察系统抽样的应用，求出样本间隔是解决此题的关键，是根底题
3.某超抽取13袋袋装食用盐，对其质量〔单位：g 〕进展统计，得到如下图的茎叶图，假设
从这13袋食用盐中随机选取1袋，那么该袋食用盐的质量在[]499501，
内的概率为〔 〕
A.
5
13
B.
613
C.
713
D.
813
【答案】B 【解析】 【分析】
由题，分析茎叶图，找出质量在[499,501]的个数，再求其概率即可. 【详解】这13个数据中位于[]
499,501的个数为6，故所求概率为6.13
应选B
【点睛】此题考察了茎叶图得考察，熟悉茎叶图是解题的关键，属于根底题.
4.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如下图，60分以下视为不及格，假设同一组中数据用该组区间中点作代表，那么以下说法中有误的是〔〕
70,80分的考生人数最多
A. 成绩在[]
B. 不及格的考生人数为1000人
D. 考生竞赛成绩的中位数为75分
【答案】D
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图中数据，逐项判断即可得出结果.
【详解】A选项，由频率分布直方图可得，成绩在[70,80]的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；
B选项，由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为⨯=，即B正确；
40000.251000
C选项，由频率分布直方图可得：
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即C正确；平均分等于450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5
D选项，因为成绩在[40,70)的频率为0.45，由[70,80]的频率为0.3，
所以中位数为
0.05
701071.67
0.3
+⨯≈，故D错误.
应选D
【点睛】此题主要考察频率分布直方图，会分析频率分布直方图即可，属于常考题型.
5.如下图，椭圆内切于矩形，其中矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，落在椭圆内的黄豆数为204粒，以此实验数据为根据，可以估计出椭圆的面积约为〔〕
【答案】C
【解析】
【分析】
设椭圆面积为s，利用几何概型列出方程组，可以估计出椭圆的面积．
【详解】设椭圆面积为s，∵椭圆内切于矩形，其中矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，落在椭圆内的黄豆数为204粒，
∴
204
64300
s
=
⨯
，以此实验数据为根据，可以估计出椭圆的面积约为：
24204
16.32
300
s
⨯
==．
应选：C．
【点睛】此题考察了模拟方法求概率和几何概型的计算，属于根底题．
6.从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个是红球，至少有一个是绿球
B. 恰有一个红球，恰有两个绿球
C. 至少有一个红球，都是红球
D. 至少有一个红球，都是绿球
【答案】B 【解析】 【分析】
列举事件所包含的根本领件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可 【详解】根本领件为：一个红球一个绿球；两个红球，两个绿球.
选项A ：这个事件既不互斥也不对立；选项B ，是互斥事件，但是不是对立事件；选项C ，既不互斥又不对立；选项D ，是互斥事件也是对立事件. 故答案为：B.
【点睛】此题考察互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联络与区别．同时要可以准确列举某一事件所包含的根本领件．属简单题
4,45a b A ︒===的三角形的个数是〔 〕
A. 1个
B. 2个
C. 无数
D. 不存在
【答案】B 【解析】 【分析】
由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即216186c c =+-解得c 再判断即可．
【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，且4,45a b A ︒===，即
216186c c =+-，
即2620c c +=-，∴3c =+3c =-
当3c =437a c b +=+=>=；
当3c =437a c b +=+=+>=. 应选：B ．
【点睛】此题考察了余弦定理解三角形，分类讨论法，属于根底题.
8.某7个数的平均数为3，方差为2s ，现又参加一个新数据3，此时这8个数的平均数为x ，方差为
7
2
，那么〔 〕 A. 2
3,2x s == B. 2
3,4x s == C. 2
3,28x s == D. 2
73,2
x s ==
【答案】B 【解析】 【分析】
利用平均数、方差的公式直接求解．
【详解】∵这7个数的平均数为3，方差为2s ，现又参加一个新数据3，
此时这8个数的平均数为x ，方差为72，∴733
38
x ⨯+=
=， 由方差公式得()227173328s ⎡⎤=+-⎣⎦，所以2
718427
s =⨯⨯=．
应选：B ．
【点睛】此题考察平均数、方差公式、性质等根底知识，考察运算求解才能，属于根底题．
9.假设程序框图如下图，那么该程序运行后输出k 的值是〔 〕
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】A 【解析】
试题分析：第一次循环运算：3516,1n k =⨯+=；第二次：16
8,22
n k =
==；第三次：84,32n k =
==；第四次：42,42n k ===；第五次：2
1,52
n k ===，这时符合条件输出5k =，应选A. 考点：算法初步.
10.ABC ∆的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为2的等差数列，那么ABC ∆的周长为〔 〕 A. 15 B. 18
C. 21
D. 24
【答案】A 【解析】 【分析】
设三角形的三边分别为a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ＞0，设公差为d ＝2，推出a ﹣b ＝b ﹣c ＝2，a ＝c +4，b ＝c +2，利用余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．
【详解】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d＝2，三个角分别为、A、B、C，
那么a﹣b＝b﹣c＝2，
a＝c+4，b＝c+2，
∵A＝120°．
∴cos A
222222
(2)(4)61
2222
b c a c c c c
bc bc c
+-++-+-
====-．
∴c＝3，
∴b＝c+2＝5，a＝c+4＝7．
∴这个三角形的周长＝3+5+7＝15．
应选：A．
【点睛】此题考察三角形的周长的求法，考察运算求解才能，推理论证才能；考察函数与方程思想，化归与转化思想．注意余弦定理的合理运用，是中档题．
x〔单位：万元〕与销售额y〔单位：万元〕之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程y bx a
=+，其中11
b=，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为〔〕万元
A. 60
B. 63
C. 65
D. 69 【答案】B
【解析】 【分析】
根据表中数据求出,x y ，然后根据线性回归方程中系数的求法得到a ，进而得到回归方程，然后求出当6x =时的函数值即为所求．
【详解】由表中数据可得
1
(12345)3
5
x =⨯++++=，
1
(1015304550)305
y =⨯++++=，
又回归方程y bx a =+中11b =，
∴ˆ301133a y bx
=-=-⨯=-， ∴回归方程为113y x =-． 当6x =时116363y =⨯-=，
所以可估计当投入6万元广告费时，销售额约为63万元． 应选B ．
【点睛】此题考察线性回归方程的求法和其应用，考察计算才能和应用意识，解题的关键是求出系数a ，属于根底题．
x 的最大整数记为[]x ，那么函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]1,4 上任
取x ，那么[]x =的概率为〔 〕
A.
14
B.
13
C.
12
D.
23
【答案】D 【解析】
【分析】
由题意分类，求得使[x]＝成立的x 的范围，再由长度比计算即可得答案．
【详解】当2≤x ＜3时，[x]＝＝2；
当3≤x ＜4时，[x]＝3，＝2；
当4≤x ＜时，[x]＝4，＝2；
当≤x ＜5时，[x]＝4，＝3．
符合条件的x ∈[2，3〕，由长度比可得，[x]＝的概率为321
523
-=-． 应选：B ．
【点睛】此题主要考察几何概型的概率、分类讨论思想，属于根底题．
二．填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为25，甲获胜的概率为3
10
，那么甲不输的概率为_____． 【答案】
7
10
【解析】 【分析】
利用互斥事件概率加法公式能求出甲不输的概率．
【详解】依题意，甲不输包含甲获胜和甲乙和棋两种情况，∵甲获胜与甲、乙两人和棋是互斥事件．
∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率23751010
P =+=． 故答案为：
710
． 【点睛】此题考察了概率的求法，注意互斥事件的概率公式的合理运用，属于根底题．
2234
01
x x x ---的解集为_____．
【答案】(]
1,4 【解析】 【分析】
由()()222223410340110x x x x x x x ⎧-----⎪⇒⎨--≠⎪⎩，由此解得不等式的解集． 【详解】根据题意，由()()22
2223410340110
x x x x x x x ⎧-----⎪⇒⎨--≠⎪⎩，
变形可得：()
()()2
1410x x x +--≤，且1x ≠±，
解可得：14x <≤，即不等式的解集为(]
1,4； 故答案为：(]
1,4．
【点睛】此题主要考察了分式不等式的解法，表达了转化的数学思想，属于中档题
OP 〔O 在地面〕
，为了测得它的高度h ，在地平面上取一长度为20m 的基线AB ，在A 处测得P 点的仰角为30°，在B 处测得P 点的仰角为45°，又测得30AOB ∠=︒，那么旗杆的高h 等于_____m ．
【答案】20 【解析】 【分析】
由题意，利用直角三角形的边角关系表示出,OB OA 与OP 的关系，再利用余弦定理求得
OP 即h 的值．
【详解】由题意得,PO OA PO OB ⊥⊥，因为在B 处测得P 点的仰角为45°，得
OB OP h ==，
又因为在A 处测得P 点的仰角为30°，即30PAO ∠= ，在PAO ∆中，
tan 30OP
OA ︒
=
=；
在AOB ∆中，由余弦定理可得2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠，
即2240032cos30h h h h =+-⋅⋅︒，解得20h =，∴旗杆OP 的高度为20m ． 故答案为：20．
【点睛】此题主要考察了直角三角形的边角关系和余弦定理解三角形的实际应用．考察了学生运用数学知识解决实际问题的才能，属于根底题．
,x y 满足1x y +=，那么
49
12
x y +++的最小值是_______. 【答案】
254
【解析】 【分析】
由题得124x y +++=，所以49149()[(1)(2)]12412
x y x y x y +=++++++++，再根据根本不等式即可求出答案．
【详解】正数x ，y 满足1x y +=，那么124x y +++=， 那么
49149
()[(1)(2)]12412
x y x y x y +=++++++++ 14(2)9(1)125(49)(1312)41244
y x x y ++=++++=++， 当且仅当
4(2)9(1)12y x x y ++=++时，即3
5x =，25
y =时取等号， 故答案为：
254
．
【点睛】此题考察了条件等式下利用根本不等式求最值，考察了变形的才能，考察了计算才能，属于中档题．
三．解答题〔本大题一一共6小题，其中17题10分，其他每一小题12分，一共70分〕 17.有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全一样的小球，球上分别标有数字1,2,3,4. (1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜〔假设数字一样那么为平局〕，求甲获胜的概率；
(2)摸球方法与〔1〕同，假设规定：两人摸到的球上所标数字一样甲获胜，所标数字不一样那么乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由。

【答案】〔1〕38
；〔2〕不公平
【解析】 【分析】
〔1〕记甲，乙摸出的数字为x y （，） ；那么一共有4416⨯＝种情况，列举出x y ＞的情况，
从而解得．
〔2〕摸到的球上所标数字一样的情况有44223311（，），（，），（，），（，） 一共4种情况，从而求概率．
【详解】〔1〕记甲，乙摸出的数字为(),x y ，那么一共有4416⨯=种情况， 那么x y >的有：()()()()()(),4,1,4,2,4,33,2,3,1,2,1一共6种情况， 故甲获胜的概率为
63168
=； 〔2〕摸到的球上所标数字一样的情况有()()()()4,4,2,2,3,3,1,1一共4种情况，
故甲获胜的概率为
41164=，乙获胜的概率为123
164
=；故不公平． 【点睛】此题考察了古典概型在实际问题中应用，属于中档题．
18.某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额的商品后即可参加一次抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前5天抽奖活动的人数进展统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下：
经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系.
〔1〕假设从这5天随机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过70的概率；
〔2〕请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy
bx a =+，并估计该活动持续7天，一共有多少名顾客参加抽奖？
参考公式及数据：5
5
2
1
22
1
1
1
ˆˆ,,1200,55n
i i
i i i i
n
i i i
i x y nxy
b
a
y bx x y x
x
nx ====-==-==-∑∑∑∑.
【答案】〔1〕7
10
P =；〔2〕ˆ1236y
x =+，588名 【解析】 【分析】
〔1〕列出5天中随机抽取2天的所有情况，一共10种结果，选出满足条件的情况，代入公式，即可求解。

〔2〕求出x ，y 的值，结合题中条件，求出ˆb
，代入即可求出回归直线方程1236ˆy x =+，并预测第6,7天参与抽奖的人数，即可求出总人数。

【详解】〔1〕设第i 天的人数为()1,2,3,4,5i y i =，从这5天中随机抽取2天的情况为：
()12,y y ，()13,y y ，()14,y y ，()15,y y ，()23,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，
()45,y y ，
一共10种结果；这5天中只有第4，5天的人数超70人，至少有1天参加抽奖人数超过70人的情况为：()14,y y ，()15,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ，一共7种结果；
那么所求事件的概率为710
P =
. 〔2〕依题意1234535x ++++=
=，50607080100
725
y ++++== 5
1
15026037048051001200i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑
5
2
222221
1234555i
i x
==++++=∑，2
1200537212553ˆ5b
-⨯⨯∴==-⨯ 721336ˆ2a
=-⨯= 1236ˆy x ∴=+，6x =时ˆ108y =，7x =时ˆ120y =， 那么此次活动参加抽奖的人数约为50607080100108120588++++++=.
∴线性回归方程1236ˆy
x =+，假设该活动持续7天，一共有588名顾客参加抽奖. 【点睛】此题考察古典概型，回归直线的求解与应用，仔细审题是解题的关键，属根底题
2320ax x -+>的解集为{1}x x x b <>或．
〔1〕求a ，b 的值．
〔2〕当c ∈R 时，解关于x 的不等式()2
0ax ac b x bc -++<．
【答案】〔1〕1
{2
a b == 〔2〕见解析 【解析】 试题分析：
(1)利用韦达定理可得1,2a b == ；
(2)结合(1)的结论分类讨论实数c 的范围即可求得不等式的解集.
试题解析：
解：〔1〕因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或者x>b}
所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根
b>1且a>0
得解得
〔2〕不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；
当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；
当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅
点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的根据
(1)二次项中假设含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
20.执行如下图的程序框图后，记“输出(),a b是好点〞为事件A．
〔1〕假设a 为区间[]0,5内的整数值随机数，b 为区间[]0,2内的整数值随机数，求事件A 发生的概率；
〔2〕假设a 为区间[]0,5内的均匀随机数，b 为区间[]0,2内的均匀随机数，求事件A 发生的概率． 【答案】〔1〕23；〔2〕3
5
【解析】 【分析】
〔1〕由题意，假设a 为区间[0，5]内的整数值随机数，b 为区间[0，2]内的整数值随机数，那么可产生6×3＝18个点，事件A 发生，那么2a b ≥，求出事件数，然后利用古典概型概率计算公式求解；
〔2〕由题意求出点〔a ，b 〕所构成的矩形面积，再由线性规划知识求出满足2a b ≥的区域面积，由测度比是面积比求概率即可．
【详解】〔1〕由题意，假设a 为区间[]0,5内的整数值随机数，b 为区间[]0,2内的整数值随机数，那么可产生6318⨯=个点， 事件A 发生，那么2a b ≥，好点为
()()()()()()()()()()()()0,0,1,0,2,0,2,1,3,0,3,1,4,0,4,1,4,2,5,0,5,1,5,2，一共12个
点， ∴122()183
P A =
=； 〔2〕由题意，试验的全部结果构成的区域(){|,05,0}2D a b a b =≤≤≤≤，其面积为10； 构成事件A 的区域(),05,,2{|2}0A a b a b a b =≤≤≤≤≥，其面积为15
262
+⨯=， ∴63()105
P A =
=．
【点睛】此题考察了古典概型及其概率计算公式，考察了几何概型的概率，属于根底题.
21.从某高三年级一共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm 到195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[
)155,160；第二组
[)160,165；…；第八组[]190,195．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一局
部．第一组与第八组人数一样，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
〔1〕估计这所高三年级全体男生身高在180cm 以上〔含180cm 〕的人数； 〔2〕求第六组、第七组的频率并补充完好频率分布直方图；
〔3〕假设从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为
x y 、，求满足“5x y -≤〞的事件的概率．
【答案】〔1〕144人 〔2〕略 〔3〕
【解析】
试题分析：〔1〕由频率分布直方图得前五组频率为0.82
后三组频率为0.18
身高在
180cm 以上〔含180cm 〕的人数为8000.18144⨯=；
〔2〕由频率分布直方图第六组、第七组的频率分别等于
，
频率
组距
分别等于．即可补充完好的频率分布直方图如图；
〔3〕由〔2〕知身高在[
)180185
，内的人数为，设为a b c d 、、、，易得所有根本领件总数为61815++=，事件“5x y -≤〞所包含的根本领件个数有
617
+=()7
515
P x y -≤=
． 试题解析：〔1〕由频率分布直方图得：
前五组频率为()0.0080.0160.040.040.0650.82++++⨯=， 后三组频率为10.820.18-=，人数为0.18509⨯=，
这所高三年级全体男生身高在180cm 以上〔含180cm 〕的人数为
8000.18144⨯=．
〔2〕由频率分布直方图得第八组频率为0.00850.04⨯=，人数为0.04502⨯=， 设第六组人数为m ，那么第七组人数为927m m --=-， 又()227m m +=-，解得4m =，所以第六组人数为，
第七组人数为，频率分别等于，
频率
组距
分别等于．其完好的频率分
布直方图如图，…
〔3〕由〔2〕知身高在[
)180185
，内的人数为，设为a b c d 、、、， 身高在[]190,195内的人数为，设为A B 、，假设[
),180,185x y ∈时，有
ab ac ad bc bd cd 、、、、、一共种情况；
假设[]
,190,195x y ∈时，有AB 一共种情况；
假设,x y 分别在[)180,185和[]
190,195内时，有aA bA cA dA aB bB cB dB 、、、、、、、，一共种情况．
所以根本领件总数为61815++=，…．
事件“5x y -≤〞所包含的根本领件个数有617+=，
()7
515
P x y -≤=
．…
考点：1、频率分布直方图；2、古典概型.
ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
3sin sin sin B C A B
b a c
-+=
-. 〔1〕求角A 的大小；
〔2〕假设等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1a A =，且2a ，4a ，8a 成等比数列；假设
1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】〔1〕6A π=
；〔2〕=44
n n S n +. 【解析】
【分析】 〔1〕
运用正弦定理整理sin sin sin B C A B b a c
-+=-
可得222b c a +-=，再利用余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=可得cos A ，进而得到所求角A ； 〔2〕设等差数列的公差为d ，求得首项12a =，运用等比数列定义和等差数列的通项公式，
解方程可得公差2d =，可得数列{}n b 的通项公式，整理得：11141n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
，由裂项相消求和，化简可得所求和.
【详解】解：〔1
〕由sin sin sin B C A B b a c
-+=-，
b a c
+=
，即222b c a +-=，
所以222cos 2b c a A bc +-==， 由0A π<<，得6A π
=；
〔2〕设{}n a 的公差为()0d d ≠，由1sin 1a A =，即111sin 162
a a π
⋅==，得12a =， 2a ，4a ，8a 成等比数列，可得2428a a a =.即()()()211137a d a d a d +=++，
又0d ≠，可得2d =，那么2n a n =，
()11111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭
， 那么1111111111=422314+144n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】此题主要考察了三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考察等差数列的通项公式和
等比数列定义，还考察了裂项相消求和方法，考察化简运算才能，属于难题.。