大学物理课后习题答案(赵近芳)下册之欧阳法创编

2021.03.09 欧阳法创编
习题八
时间：2021.03.09
创作：欧阳法
8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解: 如题8-1图示
(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷 解得q q 3
3
-
=' (2)与三角形边长无关．
题8-1图题8-2图
8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止
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时两线夹角为2θ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．
解:如题8-2图示
解得θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2
04r q E πε=
，当被
考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
解:
02
0π4r r q E
ε=
仅对点电荷成立，当0
→r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
8-4在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和
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-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f =
2
024d
q πε,又有人说，因为f =qE ,S
q
E 0ε=
，所以
f =S
q 02
ε．试问这两种
说法对吗?为什么? f
到底应等于多少?
解:题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S
q E 0ε=
看成是一个带电板在
另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S
q E 02ε=，另一板受
它的作用力
S
q S q
q f 02
022εε=
=，这是两板间相
互作用的电场力． 8-5
一电偶极子的电矩为l q p
=，场点到偶
极子中心O 点的距离为r ,矢量r
与l 的夹角
为θ,(见题8-5图)，且l r >>．试证P 点的场强
E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θ
E
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分别为
r E =
3
02cos r p πεθ,
θE =
3
04sin r p πεθ
证:如题8-5所示，将p 分解为与r
平行的分
量θsin p 和垂直于r 的分量θsin p ．
∵l r >>
∴场点P 在r 方向场强分量
垂直于r 方向，即θ方向场强分量 题8-5图题8-6图
8-6 长l =15.0cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C·m -1
的正电
荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强．
解：如题8-6图所示
(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在
P 点产生场强为
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用15=l cm ，9100.5-⨯=λ1m C -⋅, 5.12=a cm 代入得
21074.6⨯=P E 1C N -⋅方向水平向右
(2)同理22
20d d π41d +=
x x E Q λε方向如题8-6图
所示
由于对称性⎰=l Qx E 0d ，即Q E
只有y 分量，
∵22
2
222
20d
d d d π41d ++=
x x x E Qy
λε
以9100.5-⨯=λ1cm C -⋅,15=l cm ,5d 2=cm 代入
得
21096.14⨯==Qy Q E E 1C N -⋅，方向沿y 轴正
向
8-7一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如8-7图在圆上取ϕRd dl =
题8-7图
ϕλλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为
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2
0π4d d R
R E εϕ
λ=
方向沿半径向外 则ϕϕελ
ϕd sin π4sin d d 0R
E E x
=
=
积分R
R E x 000π2d sin π4ελ
ϕϕελπ
==⎰
∴R
E E x
0π2ελ
=
=，方向沿x 轴正向．
8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为
l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中
心为r 处的场强E ；(2)证明：在l r >>处，它相当于点电荷q 产生的场强E ．
解:如8-8图示，正方形一条边上电荷4
q 在P
点产生物强P E
d 方向如图，大小为
∵2
2cos 2
21l r l +
=
θ
∴2
4
π4d 2
22
20l r l l r E P +
+
=
ελ
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P
E d 在垂直于平面上的分量
βcos d d P E E =⊥
∴4
2
4
π4d 2
22
22
20l r r
l r l r l
E +
+
+
=
⊥ελ
题8-8图
由于对称性，P 点场强沿OP 方向，大小为 ∵l
q 4=
λ ∴2
)4(π42
22
20l r l r qr
E P ++
=
ε方向沿OP
8-9(1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q 的电场中取半径为R 的圆平面．q 在该平面轴线上的A 点处，求：通过圆平面的电通量．(x
R
arctan =α)
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解: (1)由高斯定理0
d εq
S E s
⎰=⋅
立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴各面电通量0
6εq e
=Φ．
(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上电通量0
6εq e
=Φ 对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则0
24εq e
=Φ，
如果它包含q 所在顶点则0=Φe ．
如题
8-9(a)图所示．题8-9(3)图
题8-9(a)图题8-9(b)图题8-9(c)图
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(3)∵通过半径为R 的圆平面的电通量等于通过半径为22x R +的球冠面的电通量，球冠面积* ∴)
(π42
2
00
x R S
q +=
Φε0
2εq
=
[2
2
1x
R x +-]
*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图 8-10均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×510-C·m -3求距球心5cm ，8cm ,12cm 各点的场强． 解:高斯定理0d ε∑⎰=⋅q
S E s
,0
2π4ε∑
=q
r E
当5=r cm 时，0=∑q ,0=E
8=r cm 时，∑q 3
π4p
=3(r )3
内r - ∴()
2
02
3π43π4r
r r E ερ
内
-=
41048.3⨯≈1C N -⋅，方向沿半径向外．
12=r cm 时,3
π4∑=ρ
q -3(外r ）内3
r
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∴()
4203
31010.4π43π4⨯≈-=r
r r E ερ
内外1C N -⋅沿半径向外.
8-11半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2)
1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞
2R 处各点的场强．
解:
高斯定理0
d ε∑⎰=⋅q
S E s
取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=
则rl E S E S
π2d =⋅⎰
对(1)1R r <0,0==∑E q (2)21R r R <<λl q =∑ ∴r
E 0π2ελ
=
沿径向向外
(3)2R r >0
=∑q
∴0=E
题8-12图
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8-12 两个无限大的平行平面都均匀带
电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，
电荷面密度分别为1σ与2σ，
两面间， n E )(21210σσε-=1σ面外，
n E )(21210
σσε+-= 2σ面外， n E )(21210
σσε+= n ：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．
8-13 半径为R 的均匀带电球体内的电荷
体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜
R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球
心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的
电场是均匀的．
解:将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带
电ρ-的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．
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(1)ρ+球在O 点产生电场010
=E ， ρ-球在O 点产生电场d π4π343
0320OO r E ερ= ∴O 点电场'd 33
030OO r E ερ= ； (2)ρ+在O '产生电场'd π4d 3430301E ερ
π='
ρ-球在O '产生电场002='E
∴O '点电场0
03ερ='E 'OO 题8-13图(a)题8-13图(b)
(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r
'，相对O 点位矢为r (如题8-13(b)图) 则03ερr E PO =，
3ερr E O P '-=' , ∴0
0033)(3ερερερd r r E E E O P PO P =='-=+=' ∴腔内场强是均匀的．
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8-14 一电偶极子由q =1.0×10-6C 的两
个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm ，
把这电偶极子放在1.0×105N·C -1的外
电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．
解:∵电偶极子p 在外场E 中受力矩
∴qlE pE M ==max 代入数字
8-15两点电荷1q =1.5×10-8C ，
2q =3.0×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之
间的距离变为2r =25cm ，需作多少功?
解: ⎰⎰==⋅=2221021202
1π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε )11(21r r - 外力需作的功61055.6-⨯-=-='A A J
题8-16
图
8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放
有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离
为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经
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过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功．
解: 如题8-16图示 ∴R q q U U q A o C O 00π6)(ε=-= 8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀
分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长
度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O
点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和
CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取
θd d R l =
则θλd d R q =产生O 点E d 如图，由于对称性，
O 点场强沿y 轴负方向
题8-17图
R 0π4ελ=［)2sin(π-2
sin π-］ (2)AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞
U
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同理CD 产生2ln π40
2ελ=U 半圆环产生0
034π4πελελ==R R U ∴0
032142ln π2ελελ+=++=U U U U O 8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线
以2×104m·s -1的匀速率作圆周运动．求
带电直线上的线电荷密度．(电子质量
0m =9.1×10-31kg ，电子电量
e =1.60×10-19C)
解:设均匀带电直线电荷密度为λ，在电子
轨道处场强 电子受力大小r
e eE F e
0π2ελ== ∴r
v m r e 20π2=ελ 得132
0105.12π2-⨯==e mv ελ1m C -⋅ 8-19空气可以承受的场强的最大值为
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E =30kV·cm -1，
超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，
极板间距离为d =0.5cm ，求此电容器可承受的最高电压．
解: 平行板电容器内部近似为均匀电场
∴4105.1d ⨯==E U V
8-20 根据场强E 与电势U 的关系
U E -∇= ，求下列电场的场强：(1)点电荷q 的
电场；(2)总电量为q ，半径为R 的均匀带电
圆环轴上一点；*(3)偶极子ql p =的l r >>处
(见题8-20图)．
解:(1)点电荷r q U
0π4ε= 题
8-20 图 ∴02
00π4r r q r r U E ε=∂∂-=0r 为r 方向单位矢量． (2)总电量q ，半径为R 的均匀带电圆环轴上
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一点电势 ∴()i x R qx i x U E 2/32
20π4+=∂∂-=ε (3)偶极子l q p
=在l r >>处的一点电势 ∴30π2cos r
p r U E r εθ=∂∂-= 8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带
电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面
上，电荷的面密度总是大小相等而符号相
反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是
大小相等而符号相同．
证: 如题8-21图所示，设两导体A 、B 的四
个平面均匀带电的电荷面密度依次
为1σ，2σ，3σ，4σ
题8-21图
(1)则取与平面垂直且底面分别在A 、B 内
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部的闭合柱面为高斯面时，有
∴+2σ03=σ
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符
号相反；
(2)在A 内部任取一点P ，则其场强为零，
并且它是由四个均匀带电平面产生的场
强叠加而成的，即
又∵+2σ03=σ
∴1σ4σ=
说明相背两面上电荷面密度总是大小相
等，符号相同．
8-22 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都
是200cm2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距
2.0 mm ．B ，C 都接地，如题8-22图所示．如
果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效
应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?
以地的电势为零，则A 板的电势是多少?
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解:如题8-22图示，令A 板左侧面电荷面密
度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ
题
8-22图
(1)∵AB AC
U U =，即 ∴AB AB AC
AC E E d d = ∴2d d 21===AC
AB AB AC E E σσ 且1σ+2σS q A =
得,32
S q A =σS q A 321=σ 而711023
2-⨯-=-=-=A C q S q σC C 10172-⨯-=-=S q B σ
(2)
30
1103.2d d ⨯===AC AC AC A E U εσV 8-23两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同
心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计
算：
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新
绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；
*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷
以及外球壳上的电势的改变量．
解: (1)内球带电q+；球壳内表面带电则为-,外表面带电为q+，且均匀分布，其电q
势
题8-23图
(2)外壳接地时，外表面电荷q+入地，外表
面不带电，内表面电荷仍为q-．所以球壳
电势由内球q+与内表面q-产生：
(3)设此时内球壳带电量为q'；则外壳内表
面带电量为q'
-，外壳外表面带电量为-q q'(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，+
且
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得q R R q 2
1
=
' 外球壳上电势
8-24半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量．
解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q '，则球接地时电势0=O U
8-24图
由电势叠加原理有： 得-
='q 3
q
8-25有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0F ．试求：
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；
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(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．
解:
由题意知2
02
0π4r
q F ε=
(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电
2
q q =
', 小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电
∴此时小球1与小球2间相互作用力
(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为
3
2q
. ∴小球1、2间的作用力0029
4
π432322F r q
q F ==ε
*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S ，相距为d ，分别维持电势
A U =U
，B U =0不变．现把一块带有电量q 的
导体薄片平行地放在两极板正中间，片的
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面积也是S ，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．
解:依次设A ,C ,B 从上到下的6个表面的面电荷密度分别为1σ，2σ，3σ，4σ,5σ,6σ如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持U
U AB
=可得以下6个方程
题8-26图
解得S
q 26
1=
=σσ 所以CB 间电场S q
d U E 00
42
2εεσ+==
注意：因为C 片带电，所以2
U
U C ≠，若C 片
不带电，显然2
U U C =
8-27在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q ．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．
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解:利用有介质时的高斯定理∑⎰=⋅q S D S
d
(1)介质内)(21R r R <<场强
3
03π4,π4r r
Q E r r Q D r εε ==内;
介质外)(2R r <场强 (2)介质外)(2R r >电势 介质内)(21R r R <<电势 (3)金属球的电势
8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r ε的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值． 解:如题8-28图所示，充满电介质部分场强为2E ，真空部分场强为1E
，自由电荷面密度分别为2σ与1σ
由∑⎰=⋅0
d q S D
得
11σ=D ，22σ=D
而101E D ε=,202E D r εε=
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∴
r D D εσσ==1
2
12 题8-28图题8-29图
8-29两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为1R 和2R (2R ＞1R )，且l >>2R -1R ，两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q 和-Q 时，求： (1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ＝，厚度为dr ，长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解:取半径为r 的同轴圆柱面)(S
则rlD S D S π2d )
(=⋅⎰
当)(21R r R <<时，Q q =∑ ∴rl
Q
D π2=
(1)电场能量密度2222
2π82l
r Q D w εε==
2021.03.09 欧阳法创编 薄壳中rl
r
Q rl r l r Q w W εευπ4d d π2π8d d 22222===
(2)电介质中总电场能量
(3)电容：∵C
Q W 22
=
∴)
/ln(π22122R R l
W Q C ε=
= *8-30金属球壳A 和B 的中心相距为r ，A 和B 原来都不带电．
现在A 的中心放一点电荷1q ，在B 的中心放一点电荷2q ，如题8-30图
所示．试求： (1)
1q 对2q 作用的库仑力，2q 有无加速度；
(2)去掉金属壳B ，求1q 作用在2q 上的库仑力，此时2q 有无加速度．
解: (1)1q 作用在2q 的库仑力仍满足库仑定律，即
但2q 处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度．
(2)去掉金属壳B ，1q 作用在2q 上的库仑力
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仍是2
210π41r q q F ε=
，但此时2q 受合力不为零，
有加速度．
题8-30图题8-31图
8-31如题8-31图所示，1C =0.25μF ，
2C =0.15μF ，3C =0.20μF ．1C 上电压为
50V ．求：AB U ． 解: 电容1C 上电量
电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q =
∴35
50
25231123232⨯===
C U C C Q U 8-321C 和2C 两电容器分别标明“200pF、500 V”和“300 pF、900 V”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V
的电压，是否会击穿?
解: (1)1C 与2C 串联后电容 (2)串联后电压比
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2
3
1221==C C U U ，而100021=+U U ∴6001=U V ,4002=U V
即电容1C 电压超过耐压值会击穿，然后2C 也击穿．
8-33将两个电容器1C 和2C 充电到相等的电压U 以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求： (1)每个电容器的最终电荷； (2)电场能量的损失．
解: 如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为1q ,2
q
题8-33图
则⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧==
-=-=+2
1221
12121201021U U U C U C q q U C U C q q q q 解得(1)=
1q U C C C C C q U C C C C C 2
1212221211)
(,)(+-=+-
(2)电场能量损失
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8-34 半径为1R =2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为2R =4.0cm 和3R =5.0cm ，当内球带电荷
Q =3.0×10-8C
时，求：
(1)整个电场储存的能量；
(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值．
解:如图，内球带电Q ，外球壳内表面带电
Q -，外表面带电Q
题8-34图
(1)在1R r <和32
R r R <<区域
在21R r R <<时
3
01π4r r
Q E ε =
3R r >时3
02π4r
r
Q E ε
=
∴在21R r R <<区域 在3R r >区域
∴总能量)1
11(π83
210221R R R Q W W W +-=+=ε
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(2)导体壳接地时，只有
2
1R r R <<时
3
0π4r r
Q E ε =
,02=W
∴42
10211001.1)1
1(π8-⨯=-==R R Q W W εJ
(3)电容器电容
)1
1/(π42210
2
R R Q W C -==
ε 习题九
9-1在同一磁感应线上，各点B
的数值是否都相等?为何不把作用于运动电荷的磁力
方向定义为磁感应强度B
的方向?
解: 在同一磁感应线上，各点B
的数值一般不相等．因为磁场作用于运动电荷的磁力
方向不仅与磁感应强度B
的方向有关，而
且与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁场决定的，所以不把磁力方向
定义为B
的方向．
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题9-2图
9-2 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感
应线是平行直线，磁感应强度B
的大小在
沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变
化(即磁场是否一定是均匀的)?
(2)若存在电流，上述结论是否还对?
解: (1)不可能变化，即磁场一定是均匀
的．如图作闭合回路abcd 可证明21B B = ∴21B B =
(2)若存在电流，上述结论不对．如无限大
均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，
但B 方向相反，即21B B
≠.
9-3 用安培环路定理能否求有限长一段
载流直导线周围的磁场? 答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁
场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安
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培环路定理并不适用．
9-4 在载流长螺线管的情况下，我们导出
其内部nI B 0μ=，外面B =0，所以在载流螺
线管
外面环绕一周(见题9-4图)的环路积分
⎰外
B L ·d l =0 但从安培环路定理来看，环路L 中有电流I
穿过，环路积分应为
⎰外B L ·d l =I 0μ
这是为什么?
解:我们导出nl B 0μ=内,0=外B 有一个假设的
前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这
时图中环路L 上就一定没有电流通过，即也是⎰∑==⋅L I l B 0d 0μ 外，与⎰⎰=⋅=⋅L
l l B 0d 0d 外是不矛盾的．但这是导线横截面积为零，
螺距为零的理想模型．实际上以上假设并
不真实存在，所以使得穿过L 的电流为I ，
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因此实际螺线管若是无限长时，只是外B 的
轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量r I B πμ20=⊥
,r 为管外一点到螺线管轴的距离．
题 9 - 4 图
9-5如果一个电子在通过空间某一区域时
不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?
如果它发
生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场?
解：如果一个电子在通过空间某一区域时
不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，
也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子
受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发
生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，
因为仅有电场也可以使电子偏转．
9-6 已知磁感应强度0.2=B Wb·m -2
的均匀磁场，方向沿x 轴正方向，如题9-6
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图所示．试求：(1)通过图中abcd 面的磁通
量；(2)通过图中befc 面的磁通量；(3)通过
图中aefd 面的磁通量．
解：如题9-6图所示
题9-6图
(1)通过abcd 面积1S 的磁通是
(2)通过befc 面积2S 的磁通量
(3)通过aefd 面积3S 的磁通量
24.0545.03.02cos 5.03.0233=⨯⨯⨯=θ⨯⨯⨯=⋅=S B ΦWb (或曰24.0-Wb )
题9-7图
9-7如题9-7图所示，AB 、CD 为长直导线，
C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半
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径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强
度．
解：如题9-7图所示，O 点磁场由AB 、C B 、
CD 三部分电流产生．其中
AB 产生01=B
CD 产生R I B 1202μ=
，方向垂直向里 CD
段产生)231(2)60sin 90(sin 2
4003-πμ=-πμ=︒︒R I R I B ，方向⊥向里 ∴)6
231(203210ππμ+-=++=R I B B B B ，方向⊥向里．
9-8在真空中，有两根互相平行的无限长直
导线1L 和2L ，相距0.1m ，通有方向相反的
电流，1I =20A,2I =10A ，如题9-8图所示．A ，
B 两点与导线在同一平面内．这两点与导
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线2L 的距离均为5.0cm ．试求A ，B 两点处
的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置．
题9-8图
解：如题9-8图所示,A B
方向垂直纸面向里
(2)设0=B 在2L 外侧距离2L 为r 处 则
02)1.0(220=-+r
I r I
πμπμ 解得 1.0=r m
题9-9图
9-9 如题9-9图所示，两根导线沿半径方向
引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电
源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O
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的磁感应强度．
解： 如题9-9图所示，圆心O 点磁场由直
电流∞A 和∞B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所
产生，但∞A 和∞B 在O 点产生的磁场为零。

且 θ-πθ==21221R R I I 电阻电阻. 1I 产生1B 方向⊥纸面向外
π
θπμ2)2(2101-=R I B ， 2I 产生2B 方向⊥纸
面向里
∴1)2(2121=-=θ
θπI I B B 有
0210=+=B B B
9-10 在一半径R =1.0cm 的无限长半圆
柱形金属薄片中，自上而下地有电流I =5.0
A 通过，电流分布均匀.如题9-10图所示．试
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求圆柱轴线任一点P 处的磁感应强度．
题9-10图
解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上
任一点P 的磁感应强度方向都在圆柱截面
上，取坐标如题9-10图所示，取宽为l d 的一无限长直电流l R I I d d π=，在轴上P 点产生B d 与R 垂直，大小为 ∴
520202221037.6)]2sin(2[sin 22d cos -π
π-⨯=πμ=π--ππμ=πθθμ=⎰R
I R I R I B x T
∴i B 51037.6-⨯=T
9-11 氢原子处在基态时，它的电子可看
作是在半径a =0.52×10-8cm 的轨道上作匀
速圆周运动，速率v =2.2×108cm·s -1．求
电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电
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子磁矩的值．
解：电子在轨道中心产生的磁感应强度
如题9-11图，方向垂直向里，大小为
电子磁矩m P
在图中也是垂直向里，大小为
题9-11图题
9-12图
9-12 两平行长直导线相距d =40cm ，每根
导线载有电流1I =2I =20A ，如题9-12图所
示．求：
(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一
点A 处的磁感应强度；
(2)通过图中斜线所示面积的磁通
量．(1r =3r =10cm,l =25cm)．
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解：(1) 52010104)2(2)2(2-⨯=+=
d I d I B A πμπμT 方向⊥纸面向外
(2)取面元r l S d d =
9-13一根很长的铜导线载有电流10A ，设电
流均匀分布.在导线内部作一平面S ，如题
9-13图所示．试计算通过S 平面的磁通量(沿
导线长度方向取长为1m 的一段作计算)．铜
的磁导率0μμ=.
解：由安培环路定律求距圆导线轴为r 处的
磁感应强度
∴202R Ir
B πμ=
题 9-13 图
磁通量60020
)(1042-===⋅=Φ⎰⎰πμπμI dr R Ir S d B R s m Wb
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9-14 设题9-14图中两导线中的电流均为
8A ，对图示的三条闭合曲线a ,b ,c ，分别写
出安培环路定理等式右边电流的代数
和．并讨论：
(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度
B 的大小是否相等?
(2)在闭合曲线c 上各点的B
是否为零?为什
么? 解：⎰μ=⋅a l B 08d (1)在各条闭合曲线上，各点B 的大小不相
等．
(2)在闭合曲线C 上各点B 不为零．只是B 的
环路积分为零而非每点0=B ．
题9-14图
题
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9-15图
9-15 题9-15图中所示是一根很长的长直圆
管形导体的横截面，内、外半径分别为a ,b ，
导体内载有沿轴线方向的电流I ，且I 均匀
地分布在管的横截面上．设导体的磁导率
0μμ≈，试证明导体内部各点)(b r a <<的磁
感应强度的大小由下式给出：
解：取闭合回路r l π2=)(b r a << 则⎰π=⋅l r B l B 2d
∴)(2)(22220a b r a r I B --=πμ 9-16 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱
(半径为a )和一同轴的导体圆管(内、外半径
分别
为b ,c )构成，如题9-16图所示．使用时，电
流I 从一导体流去，从另一导体流回．设
电流都是均匀地分布在导体的横截面上，
求：(1)导体圆柱内(r ＜a ),(2)两导体之间(a
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＜r ＜b )，（3）导体圆筒内(b ＜r ＜c )以及
(4)电缆外(r ＞c )各点处磁感应强度的大小 解：⎰∑μ=⋅L I l B 0d
(1)a r <2202R
Ir r B μπ= (2)b r a <<I r B 02μπ=
(3)c r b <<I b
c b r I r B 0222202μμπ+---= (4)c r >02=r B π
题9-16
图
题
9-17图
9-17在半径为R 的长直圆柱形导体内部，与
轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形
空腔，两轴间距离为a ,且a ＞r ，横截面如
题9-17图所示．现在电流I 沿导体管流动，
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电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求：
(1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小；
(2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小．
解：空间各点磁场可看作半径为R ，电流1
I 均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为
r 电流2I -均匀分布在横截面上的圆柱导体
磁场之和．
(1)圆柱轴线上的O 点B 的大小：
电流1I 产生的01=B ，电流2I -产生的磁场 ∴)(2222
00r R a Ir B -=πμ
(2)空心部分轴线上O '点B 的大小：
电流2I 产生的02='B ，
电流1I 产生的222
022r R Ia a B -πμ=')
(2220r R Ia -=πμ ∴)(22200r R Ia
B -='πμ
2021.03.09 欧阳法创编
题9-18图
9-18 如题9-18图所示，长直电流1I 附近有
一等腰直角三角形线框，通以电流2I ，二
者
共面．求△ABC 的各边所受的磁力．
解：⎰⨯=A B
AB B l I F d 2 d a I I d I a I F AB πμπμ22210102==方向垂直AB 向左 ⎰⨯=C A
AC B l I F d 2方向垂直AC 向下，大小为 同理BC F 方向垂直BC 向上，大小
∵︒=45
cos d d r l ∴⎰++π
μ=︒πμ=a d a BC d a d I I r r I I F ln 245cos 2d 210120 题9-19图
2021.03.09 欧阳法创编
9-19在磁感应强度为B
的均匀磁场中，垂直
于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导
线，电流为I ，如题9-19图所示．求其所受的安培力． 解：在曲线上取l d
则⎰⨯=b a
ab B l I F d ∵l d 与B 夹角l d <，2π>=B 不变，B 是均匀
的．
∴⎰⎰⨯=⨯=⨯=b a
b a ab B ab I B l I B l I F )d (d 方向⊥ab 向上，大小BI F ab =ab
题9-20图
9-20如题9-20图所示，在长直导线AB 内通
以电流1I =20A ，在矩形线圈CDEF 中通有电
流2I =10 A ，AB 与线圈共面，且CD ，EF 都
与AB 平行．已知a =9.0cm,b =20.0cm,d =1.0
2021.03.09 欧阳法创编
cm ，求：
(1)导线AB 的磁场对矩形线圈每边所作用的力；
(2)矩形线圈所受合力和合力矩．
解：(1)CD F 方向垂直CD 向左，大小
同理FE F 方向垂直FE 向右，大小
CF F 方向垂直CF 向上，大小为
ED F 方向垂直ED 向下，大小为
5102.9-⨯==CF ED F F N
(2)合力ED CF FE CD F F F F F +++=方向向左，大
小为
合力矩B P M m ⨯=
∵线圈与导线共面
∴B P m
//
0=M ．
2021.03.09 欧阳法创编
题9-21图
9-21边长为l =0.1m 的正三角形线圈放在
磁感应强度B =1T 的均匀磁场中，线圈平
面与磁场方向平行.如题9-21图所示，使线
圈通以电流I =10A ，求：
(1)线圈每边所受的安培力；
(2)对O O '轴的磁力矩大小；
(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时
磁力所作的功．
解： (1) 0=⨯=B l I F bc
B l I F ab ⨯=方向⊥纸面向外，大小为
B l I F ca ⨯=方向⊥纸面向里，大小
(2)IS P m =
B P M m ⨯=沿O O '方向，大小为
(3)磁力功)(12ΦΦ-=I A
2021.03.09 欧阳法创编
∵01=ΦB l 2243=
Φ ∴221033.443-⨯==B l I A J
9-22 一正方形线圈，由细导线做成，边长
为a ，共有N 匝，可以绕通过其相对两边中
点的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通
有电流I ，并把线圈放在均匀的水平外磁
场B 中，线圈对其转轴的转动惯量为J .求
线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周
期T .
解：设微振动时线圈振动角度为θ
(>=<θB P m ,)，则
由转动定律 θθθB NIa B NIa at
J 2222sin d -≈-= 即
0222=+θθJ B NIa dt d ∴ 振动角频率
2021.03.09 欧阳法创编 J B NIa
2=ω 周
期 IB Na J T 222π
ωπ== 9-23一长直导线通有电流1I ＝20A ，旁边放
一导线ab ，其中通有电流2I =10A ，且两者
共面，如题9-23图所示．求导线ab 所受作
用力对O 点的力矩．
解：在ab 上取r d ，它受力
ab F ⊥ d 向上，大小为
F d 对O 点力矩F r M ⨯=d
M d 方向垂直纸面向外，大小为
题
9-23图题9-24图。