八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标综合模拟测评检测试卷

八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标综合模拟测评检测试卷
一、解答题
1．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．
（1）求证：AOE COF ∆≅∆；
（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．
2．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝13S 矩形OBCD ，问：
（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；
（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．
3．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．
（1）求证：四边形BEDF 是菱形；
（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．
4．如图，四边形OABC中，BC∥AO，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x 轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）当t为何值时，四边形BNMP为平行四边形？
（2）设四边形BNPA的面积为y，求y与t之间的函数关系式．
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A做AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为；
（2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．
6．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E、F分别在BC、AB边上且F(1，4)．
(1)求G点坐标
(2)求直线EF解析式
(3)点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由
7．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．
（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；
（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；
（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．
8．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒：
（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示） （2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？
（3）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /秒的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．
9．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；
()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；
CE=，在图②的基础上将CED绕点C继续逆时针旋转一周的过②若25
AB=，2
程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．
10．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）见解析；（2）四边形EGCF为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB．【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF即可证得结论；
∆≅∆得到∠EAO=∠FCO，AE=CF，由此推出AE∥CF，EG=CF即可证（2）利用AOE COF
得四边形EGCF是平行四边形；
（3）AC=2AB，根据平行四边形的性质推出AB=AO，利用点E是OB的中点，得到
AG ⊥OB ，即可得到四边形EGCF 是矩形.
【详解】
（1）四边形ABCD 为平行四边形，
OA OC ∴=，OB OD =，
点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，
12OE OB ∴=，12
OF OD =， 则OE OF =，
在AOE ∆与COF ∆中
OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
AOE COF ∴∆≅∆；
（2）AOE COF ∆≅∆，
EAO FCO ∴∠=∠，AE CF =，
//AE CF ∴，
又GE AE =，
GE CF ∴=，
∴四边形EGCF 为平行四边形；
（3）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形.
∵AC=2AB ，AC=2AO ，
∴AB=AO ，
∵点E 是OB 的中点，
∴AG ⊥OB ，
∴∠GEF=90°，
∴四边形EGCF 是矩形.
故答案为：AC=2AB .
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.
2．（1）P （
103，2）；（2）（52，2）或（﹣52，2） 【分析】
（1）根据已知条件得到C （5，3），设直线OC 的解析式为y ＝kx ，求得直线OC 的解析式为y ＝35x ，设P （m ，35m ），根据S △POB ＝13
S 矩形OBCD ，列方程即可得到结论； （2）设点P 的纵坐标为h ，得到点P 在直线y ＝2或y ＝﹣2的直线上，作B 关于直线y ＝2的对称点E ，则点E 的坐标为（5，4），连接OE 交直线y ＝2于P ，则此时PO +PB 的值最
小，设直线OE的解析式为y＝nx，于是得到结论．【详解】
（1）如图：
∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，
∴C（5，3），
设直线OC的解析式为y＝kx，
∴3＝5k，
∴k＝3
5
，
∴直线OC的解析式为y＝3
5 x，
∵点P在矩形的对角线OC上，
∴设P（m，3
5 m），
∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴1
2
⨯5×
3
5
m＝
1
3
⨯3×5，
∴m＝10
3
，
∴P（10
3
，2）；
（2）∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴设点P的纵坐标为h，
∴1
2
h×5＝
1
3
3
⨯⨯5，
∴h＝2，
∴点P在直线y＝2或y＝﹣2上，
作B关于直线y＝2的对称点E，
则点E的坐标为（5，4），
连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，
设直线OE的解析式为y＝nx，∴4＝5n，
∴n＝4
5
，
∴直线OE的解析式为y＝4
5 x，
当y＝2时，x＝5
2
，
∴P（5
2
，2），
同理，点P在直线y＝﹣2上，
P（5
2
，﹣2），
∴点P的坐标为（5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）．
【点睛】
本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P在位置是解题的关键．
3．（1）见解析；（23；（3）2
【分析】
（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE，BF=DF，可得∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF，可证BE∥DF，DE∥BF，可得四边形DEBF是平行四边形，即可得结论；
（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF的长；
（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH的长度，再利用底乘高得出结果．
【详解】
解：证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，BF=DF，
∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，
∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，
∴BE∥DF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF=DE=2，
∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，
∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，
∴DH=1
2
DF=1，FH=3DH=3，
∵∠C=45°，DH⊥BC，
∴∠C=∠CDH=45°，
∴DH=CH=1，
∴FC=FH+CH=3+1；
（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，
∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，
∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，
∴∠DFH=∠ABC=30°，
∵DE=DF=2，
∴DH=1，
∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．
4．（1）3
4
；（2）y=4t+2；（3）存在，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．
【分析】
（1）因为BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形，此时点M在点P的左侧，求解即可；
（2）y=1
2
（BN+PA）•OC，即可求解；
（3）①当∠MQA为直角时，则△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，即可求解；②当∠QMA为直角时，则NB+OM=BC=3，即可求解．
【详解】
（1）∵BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形．
此时点M在点P的左侧时，即0≤t＜1时，
MP=OP﹣OM=3﹣t﹣2t=3﹣3t，BN=t，
即3﹣3t=t，解得：t=3
4
；
（2）由题意得：由点C的坐标知，OC=4，
BN=t，NC=PO=3﹣t，PA=4﹣OP=4﹣（3﹣t）=t+1，
则y=1
2
(BN+PA)•OC=
1
2
(t+t+1)×4=4t+2；
（3）由点A、C的坐标知，OA=OC=4，
则△COA为等腰直角三角形，故∠OCA=∠OAC=45°，①当∠MQA为直角时，
∵∠OAC=45°，故△MAQ为等腰直角三角形，
则PA=PM，
而PA=4﹣(3﹣t)=t+1，PM=OP﹣OM=(3﹣t)﹣2t=3﹣3t，
故t+1=3﹣3t，解得：t=1
2
，则OM=2t=1，
故点M（1，0）；
②当∠QMA为直角时，
则点M、P重合，
则NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：t=1，
故OM=OP=2t=2，
故点M（2，0）；
综上，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．
【点睛】
本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．5．（1）OE OF
;（2）成立.理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA，又因为AM⊥BE，所以
∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，从而求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF.（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA，再根据已知条件求证出
Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF.
【详解】
解：（1）正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥BE ，
∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°，
∵∠AFO=∠BFM （对顶角相等），
∴∠OAF=∠OBE （等角的余角相等），
又OA=OB （正方形的对角线互相垂直平分且相等），
∴△BOE ≌△AOF （ASA ），
∴OE=OF.
故答案为：OE=OF ；
（2）成立.理由如下：
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴90BOE AOF ∠=∠=︒，OB OA =
又∵AM BE ⊥，
∴90F MBF ∠+∠=︒，90E OBE ∠+∠=︒，
又∵MBF OBE ∠=∠
∴F E ∠=∠∴BOE AOF ∆≅∆，
∴OE OF =
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，并运用了类比的思想，两个问题都是证明BOE AOF ∆≅∆解决问题.
6．（1）G （0，2）4y =++3）
234,,(1,4M M M -+⎝⎝⎝. 【解析】
【分析】
1（1）由F （1，4），B （3，4），得出AF=1，BF=2，根据折叠的性质得到GF=BF=2，
在Rt △AGF 中，利用勾股定理求出AG =，那么OG=OA-AG=4-
，于是G （0，）；
（2）先在Rt △AGF 中，由tan 1
AG AFG AF ∠===，得出∠AFG=60°，再由折叠
的性质得出∠GFE=∠BFE=60°，解Rt △BFE ，求出BE=BF tan60°，那么CE=4-
2E （3，.设直线EF 的表达式为y=kx+b ，将E （3，F （1，4）代入，利用待定系数法即可求出直线EF 的解析.（3）因为M 、N 均为动点，只有F 、G 已经确定，所以可从此入手，结合图形，按照FG 为一边，N 点在x 轴上；FG 为一边，N 点在y 轴上；FG 为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状.确定平行四边形的位置与形状之后，利用平行四边形及平移的性质求得M 点的坐标.
【详解】
解：（1）∵F （1，4），B （3，4），
∴AF=1，BF=2，
由折叠的性质得：GF=BF=2，
在Rt △AGF 中，由勾股定理得， 223AG GF AF =-= ∵B （3，4
），
∴OA=4，
∴OG=4-3，
∴G （0，4-3）；
（2）在Rt △AGF 中，
∵3tan 31
AG AFG AF ∠=== ， ∴∠AFG=60°，由折叠的性质得知：∠GFE=∠BFE=60°，
在Rt △BFE 中，
∵BE=BF tan60°=23，
.CE=4-23，
.E （3，4-23）.
设直线EF 的表达式为y=kx+b ，
∵E （3，4-23），F （1，4），
∴34234k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得343
k b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ ∴343y x =-++ ；
（3）若以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，则分如下四种情况： ①FG 为平行四边形的一边，N 点在x 轴上，GFMN 为平行四边形，如图1所示. 过点G 作EF 的平行线，交x 轴于点N 1，再过点N ：作GF 的平行线，交EF 于点M ，得平行四边形GFM 1N 1.
∵GN 1∥EF ，直线EF 的解析式为343,(0,43)y x G =+
∴直线GN 1的解析式为34-3y x =-+， 当y=0时，1433433,,033x N ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭
. ∵GFM 1N 1是平行四边形，且G （0，4-3），F （1，4），N 1（
4333- ，0）， ∴M ，（43 ，3）；
②FG 为平行四边形的一边，N 点在x 轴上，GFNM 为平行四边形，如图2所示. ∵GFN 2M 2为平行四边形，
∴GN ₂与FM 2互相平分.
∴G （0，3N2点纵坐标为0
∴GN ：中点的纵坐标为322
-， 设GN ₂中点的坐标为（x ，32. ∵GN 2中点与FM 2中点重合， ∴334322x +=- 439+ ∵.GN 243932+）， .∴N 2点的坐标为（393
，0）. ∵GFN 2M 2为平行四边形，且G （0，3F （1，4），N 2（
4393，0）， ∴M 24363+
③FG为平行四边形的一边，N点在y轴上，GFNM为平行四边形，如图3所示.
∵GFN3M3为平行四边形，.
∴GN3与FM3互相平分.
∵G（0，4-3），N2点横坐标为0，
.∴GN3中点的横坐标为0，
∴F与M3的横坐标互为相反数，
∴M3的横坐标为-1，
-⨯-++=+，
当x=-1时，y=3(1)43423
∴M3（-1，4+23）；
④FG为平行四边形的对角线，GMFN为平行四边形，如图4所示.
过点G作EF的平行线，交x轴于点N4，连结N4与GF的中点并延长，交EF于点M。

，
得平行四边形GM 4FN 4
∵G （0，4-3），F （1，4）， ∴FG 中点坐标为（13,42-）， ∵M 4N 4的中点与FG 的中点重合，且N 4的纵坐标为0，
.∴M 4的纵坐标为8-3.
5-45解方程34383x -++=- ，得6433x -=
∴M 4（643,833
--）. 综上所述，直线EF 上存在点M ，使以M ，N ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，此时M 点坐标为：
23443436643,3,,3,(1,423),,83M M M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝ 。

【点睛】
本题是一次函数的综合题，涉及到的考点包括待定系数法求一次函数的解析式，矩形、平行四边形的性质，轴对称、平移的性质，勾股定理等，对解题能力要求较高.难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有四种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏.
7．（1）平行四边形，理由见解析；（2）9；（3）可为菱形，BD=6或0
【分析】
（1）先证明()EAB DAC SAS ∆≅∆，得60ABE C ∠=∠=︒，可得//AC BE ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BCFE 是平行四边形；
（2）如图2，证明90AEB =︒∠，根据直角三角形30度角所对的直角边为斜边的一半可得BE 的长，根据平行四边形的周长计算方法可得结论；
（3）分两种情况：①当D 在边BC 的延长线上；②当D 在边BC 上时；分别画图可得BD 的长．
【详解】
解：（1）如图1，四边形BCFE 是平行四边形，理由是：
ABC ∆和ADE ∆是等边三角形，
AB AC ∴=，AD AE =，60EAD BAC ∠=∠=︒，
EAB DAC ∴∠=∠，
()EAB DAC SAS ∴∆≅∆，
60ABE C ∴∠=∠=︒，
60BAC ∠=︒，
BAC ABE ∴∠=∠，
//AC BE ∴，
//EF BC ，
∴四边形BCFE 是平行四边形；
（2）如图2，ADE ∆是等边三角形，且DE AB ⊥，
30EAB DAB ∴∠=∠=︒，
由（1）知：60ABE ∠=︒，
90AEB ∴∠=︒， 1322
BE AB ∴==， ∴四边形BCFE 的周长32()2(3)92
BE BC =+=⨯+=；
（3）分2种情况：
①如图3，当四边形BCFE 是菱形时，BE BC =，
由（1）知：3BE CD ==，
336BD ∴=+=；
②如图4，当四边形BCFE 是菱形时，B 和D 重合，A 和F 重合，此时0BD =；
综上，BD 的长为6或0．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质，菱形的性质，平行四边形的判定，正确画图和分类讨论思想的运用是解本题的关键．
8．（1）(10﹣2t )；（2）t ＝2.5；（3）2.4或2
【分析】
（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC ﹣BP 即可得到CP 的长；
（2）当t ＝2.5时，△ABP ≌△DCP ，根据三角形全等的条件可得当BP ＝CP 时，再加上AB ＝DC ，∠B ＝∠C 可证明△ABP ≌△DCP ；
（3）此题主要分两种情况①当BA ＝CQ ，PB ＝PC 时，再由∠B ＝∠C ，可得
△ABP ≌△QCP ；②当BP ＝CQ ，AB ＝PC 时，再由∠B ＝∠C ，可得△ABP ≌△PCQ ，然后分别计算出t 的值，进而得到v 的值．
【详解】
解：（1）点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，点P 的运动时间为t 秒时，BP ＝2t ，
则PC ＝（10﹣2t ）cm ；
故答案为：（10﹣2t ）；
（2）当t ＝2.5时，△ABP ≌△DCP ，
∵当t ＝2.5时，BP ＝2.5×2＝5，
∴PC ＝10﹣5＝5，
∵在△ABP 和△DCP 中，
90AB DC B C BP CP =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ABP ≌△DCP （SAS ）；
（3）①如图1，当BA ＝CQ ，PB ＝PC 时，再由∠B ＝∠C ，可得△ABP ≌△QCP ，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝1
2
BC＝5，
2t＝5，
解得：t＝2.5，
BA＝CQ＝6，
v×2.5＝6，
解得：v＝2.4（秒）．
②如图2，当BP＝CQ，AB＝PC时，再由∠B＝∠C，可得△ABP≌△PCQ，
∵AB＝6，
∴PC＝6，
∴BP＝10﹣6＝4，
2t＝4，
解得：t＝2，
CQ＝BP＝4，
2v＝4，
解得：v＝2；
综上所述：当v＝2.4秒或2秒时△ABP与△PQC全等．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．9．（1）证明见解析；（2）①AF2AE
=②422
【分析】
()1如图①中，结论：AF2AE
=，只要证明AEF是等腰直角三角形即可；
()2①如图②中，结论：AF2AE
=，连接EF，DF交BC于K，先证明
EKF≌EDA再证明AEF是等腰直角三角形即可；
②分两种情形a、如图③中，当AD AC
=时，四边形ABFD是菱形.b、如图④中当AD AC
=时，四边形ABFD是菱形.分别求解即可.
【详解】
()1如图①中，结论：AF2AE
=．
理由：四边形ABFD 是平行四边形，
AB DF ∴=，
AB AC =，
AC DF ∴=，
DE EC =，
AE EF ∴=，
DEC AEF 90∠∠==，
AEF ∴是等腰直角三角形，
AF 2AE ∴=．
故答案为AF 2AE =．
()2①如图②中，结论：AF 2AE =
．
理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．
四边形ABFD 是平行四边形，
AB//DF ∴，
DKE ABC 45∠∠∴==，
EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =，
ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，
EKF ADE ∠∠∴=，
DKC C ∠∠=，
DK DC ∴=，
DF AB AC ==，
KF AD ∴=，
在EKF 和EDA 中，
EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， EKF ∴≌EDA ，
EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，
FEA BED 90∠∠∴==，
AEF ∴是等腰直角三角形，
AF
2AE ∴=． ②如图
③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===，22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，
如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，易知
AE AH EH 32222=-=-=，
综上所述，满足条件的AE 的长为4222
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行
四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．
10．（1）证明见解析；（2）DE BE =或EF BD ⊥，理由见解析；（3）
152 【分析】
（1）根据矩形的性质和点O 是对角线BD 的中点，通过证明OFD OEB △≌△得DF BE =，从而完成四边形DEBF 是平行四边形的证明；
（2）根据菱形的判定定理分析，即可得到答案；
（3）设BE=DE=x ，结合AB=8，AD=6，通过直角三角形勾股定理计算得BE ，再通过BDE 面积建立等式并求解，即可得到答案．
【详解】
（1）∵矩形ABCD
∴//AB CD
∴FDB EBD ∠=∠，DFE BEF ∠=∠
∵点O 是对角线BD 的中点
∴OD OB =
∴()OFD OEB AAS △≌△
∴DF BE =
∵//DF BE
∴四边形DEBF 是平行四边形
（2）∵四边形DEBF 是平行四边形
∴DF BE =,DE FB =
若DE=BE
∴=DF BE DE FB ==
∴四边形DEBF 是菱形
又∵四边形DEBF 是平行四边形，
若EF BD ⊥
∴四边形DEBF 是菱形
∴增加DE=BE 或EF BD ⊥，即可判定四边形DEBF 是菱形；
（3）设BE=DE=x
∵AB=8
∴AE=8-x
∵直角三角形ADE
2226(8)x x +-= 解得：254
x = 25BE 4=
∵直角三角形ABD
∴2222
8610 BD AB AD
∵
111
222
BDE
S BD EF BE AD =⨯=⨯
△
∴11125
106 2224
EF
⨯⨯=⨯⨯
∴
15
2 EF=．
【点睛】
本题考查了矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理、一元一次方程方程、三角形面积等知识；解题的关键是熟练掌握矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理的性质，从而完成求解．。