高教版积分变换12Fourier 变换课件

0
f ( t )cos t d t
sin

二、单位脉冲函数及其Fourier变换
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0) 进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电 流i(t)、 以q(t)表示上述电路中到时刻t为止通过 导体截面的电荷函数, 则
0, q( t ) 1,
e
s2
ds 0
当 R 时,有
e
s2
ds e
RR t2源自dt e
t2
dt
π


l BC
e
s
2
ds

R R
j 2
e
s
2
ds
e
R
2

2
0

2
0
e
R ju
2
d R ju
0，t 0 其中u( t ) 称为单位阶跃函数、 1，t 0
5 时间尺度变换性质:
1 a δ(bt a ) δ(t ). 其中 a , b 为任意正数. b b
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
6 卷积性质

t2
t1
δ(t b )δ( a )d δ(t b a ).
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
对于任何一个无穷可微的函数f(t),如果满足



δ(t ) f (t )d t lim δ ( t ) f ( t )d t
0


其中
1 , 0 t δ ( t ) 其他 0,
则称δ ( t ) 的弱极限为d -函数, 记为d(t).
为的偶函数,虚部为的奇函数. 3)f(t) 为t 的虚值函数的充要条件是F ()的实
部为的奇函数,虚部为的偶函数.
一、 Fourier变换的概念 3.Fourier正弦变换及正弦逆变换: 当f(t)为奇函数时 ,
2 sin t d f (t ) f ( )sin d 0 π 0
即 Fc ( ) F c f t .
2 f ( t ) Fc ( )cos t d π 0
即 f t Fc Fc ( ) .
1
Fourier余弦逆变换
0, t 0 f (t ) t e , t 0 其中 0.

F ( ) F [ f (t )]
A e

2 j t t
f (t )e
j t
dt
dt
Ae
令

4
2



e
j t 2
2
dt
j t s, 则 2



e
j t 2
记作: f t F
1
F ( )，f (t) 叫做 F ()的
象原函数.
象函数F()和象原函数 f (t) 构成了一个 Fourier变换对.
一、 Fourier变换的概念
2、 Fourier变换的奇偶虚实性质 1)F ()和 f (t)有相同的奇偶性 . 2)f (t) 为t 的实值函数的充要条件是F ()的实部
t0 0, cos t sin t d π / 2, t 0 2 2 0 π e t , t 0
f (t ) A e
1)由 F ( )

t2
其中A 0， 0.

f (t )e jt d t



δ( t ) f ( t )d t f (0)

证明:


δ(t ) f (t )d t lim δ (t ) f (t )d t
0


lim

0 0
1 1 f ( t )d t lim f ( t )d t 0 0
二、单位脉冲函数及其Fourier变换 由于 f ( t ) 为无穷次可微的函数,则f (t)是连 续函数,由积分中值定理,有 1 δ(t ) f (t )d t lim f (t )d t
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
如果我们形式地计算这个导数, 则得
q(0 t ) q(0) 1 i (0) lim lim t 0 t 0 t t 这表明在通常意义下的函数类中找不到一 个函数能够表示上述电路的电流强度、 为了 确定这种电路上的电流强度, 必须引进一个新 的函数,这个函数称为 Dirac函数, 简单地记 成d-函数、
e
u 2 2 R uj
du
e
R
2

2
0
e
u2
du 0.
s2
同理,当 R 时,有 l e
DA
ds 0.
即

l BC
e
s2
ds 0,

l DA
e
s2
ds 0.
R lCD
lim

e
s2
π s2 ds lim e ds 0 lCD R

0

0
lim f ( ) 0 1 0
因此 δ(t ) f (t )d t f (0).


二、单位脉冲函数及其Fourier变换
同理可得



δ( t t0 ) f ( t )d t f ( t0 ).
2 d -函数的导数 若 f(t)为无穷次可微的函数,则有
Fs ( )


0
f ( t )sin t dt
Fourier正弦变换
一、 Fourier变换的概念
即 Fs ( ) F s f t .
2 f ( t ) Fs ( )sin t d π 0
Fourier正弦逆变换
即 f ( t ) Fs Fs ( ) .
设 F ( )


f (t )e
j t
dt
f(t)的Fourier变换
记作:F ( ) F F()叫做 f (t) 的象函数. f t ，
一、 Fourier变换的概念
则
1 j t f ( t ) F ( )e d 2π
F ()的Fourier逆变换
一、 Fourier变换的概念
二、 单位脉冲函数及其Fourier变换
三、 非周期函数的频谱 四、 小结
一、 Fourier变换的概念 1.若函数 f(t) 满足Fourier积分定理的条件,则在f(t)的 连续点处, 有
1 j e j t d f (t ) f ( )e d 2π
1, 0 t 1 f (t ) 的正弦变换和余弦变换. 0, t 1
由 Fs ( )


0
f (t )sin t d t 正弦变换为
Fs ( ) Fs f (t )


0
f ( t )sin t d t
1 cos

余弦变换为
Fc ( ) Fc f (t )
2
dt
j 2 j 2
e
s2
ds
e
s2
为复平面s上的解析函数,取如图的闭曲线 l :
矩形 ABCD, 由Cauchy积分定理有:
2
虚轴
C
D
A R
B
O
R
实轴


l AB
e
l
l AB
s2
ds 0
l DA

l BC

lCD

1 j t f (t ) F ( )e d, 2π
f (t ) F
1
1 j t [ F ( )] F ( )e d 2π
1 j j t e d 2 2 2π
1 cos t sin t d 2 2 π 0
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
即 δ ( t ) δ( t )或 lim δ ( t ) δ( t ).
表明d -函数可以看 成一个普通函数序 列的弱极限. 任何 0 ，有 1 δ(t )d t d t 1
0
0
弱
d -函数的定义:
1
一、 Fourier变换的概念
当 f (t) 为偶函数时 ,
2 f ( t ) f ( )cos d cos t d 0 π 0
Fc ( )

0
f ( t )cos t dt
Fourier余弦变换
一、 Fourier变换的概念
t0 t0
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,
即
d(q( t )) q ( t t ) q ( t ) i(t ) lim t 0 dt t
所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的, 从而 在普通导数意义下, q(t)在这一点的导数不存在、
1
F ()
1 j t F ( )e d 2π
1 2π
π

A


e
2 4
cos t j sin t d

A π

0
e
2 4
cos t d

2 4
0
e
π t2 cos t d A f (t ) π e
π

j 2 j 2
e
s2
ds
π

钟形脉冲函数的Fourier变换为
F
π

Ae
2 4
.
2) 钟形脉冲函数的积分表达式
1 j t f ( t ) F ( )e d , 利用奇偶函数的 由 2π
积分性质,有
f (t ) F


δ( ) f ( )d f (0).
δ(t ) f ( t )d t f (0). 因此
δ(t ) δ( t ).
二、单位脉冲函数及其Fourier变换 4 d -函数是单位阶跃函数的导数:

t

δ( )d u( t ),
d u( t ) δ( t ) dt
由 F ( )

f (t )e
j t
d t,
F ( ) F [ f (t )]


f (t )e
0
j t
dt
e e
0

t j t
dt e

( j ) t
dt
1 j 2 2 j
7 乘以时间函数的性质
( t )δ(t a ) (a )δ(t a )
其中
a 为任意常数. ( t ) 为在 a 处连续的任意函数.
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
2.d -函数的Fourier变换
1 f (t ) δ(t ) 的Fourier变换对
F ( ) F [δ( t )] δ( t )e j t d t e j t
0



δ( t )d t 1
δ ( t )
二、单位脉冲函数及其Fourier变换 工程上,常将d -函数称为 单位脉冲函数. 可将d -函数 用一个长度等于1的有向线 段表示, 这个线段的长度表 示d-函数的积分值, 称为d 函数的强度.
二、单位脉冲函数及其Fourier变换 1.d -函数的性质: 1筛选性质: 若 f t 为无穷次可微的函数,则有



δ(t ) f ( t )d t f (0).
同理可得



δ ( t ) f (t )d t ( 1)n f（n）(0).
n
二、单位脉冲函数及其Fourier变换 3 d -函数是偶函数:
δ( t ) δ( t )
证明:

又



δ( t ) f (t )d t