广东省2022年普通高等学校专升本招生考试《高等数学》试题和答案解析(回忆版)

机密★启用前
广东省2022年普通高等学校专升本招生考试
高等数学
本试卷共4页，20小题，满分100分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1．考生必须在答题卡上作答，否则答案无效。

2．答卷前，考生务必按答题卡要求填写考生信息栏、粘贴条形码。

3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应试题答案的信息点涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔在答题卡各题目指定区域内作答；如需改动，先
划掉需改动部分，再重新书写；不得使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，每小题只有一项符合题目要求）
1.
若函数1,1
(),1x x f x a x +≠⎧=⎨=⎩，
1x =在处连续，则常数a =（ ）
A.-1
B.0
C.1
D.2
2.
1
lim(13)x
x x →-=（
）
A.3
e - B.
13
e
-
C.1
D.3
e 3.
1
lim 0n n x n u u ∞
→==∑是级数收敛的（ ）
A.充分条件
B.必要条件1
C.充要条件
D.即非充也非公必要条件
得分阅卷人
4.
2+1
()()1f x f x dx x
∞=⎰已知
是函数的一个原函数，则（ ）A.2
B.1
C.-1
D.-2
5.
x
f (x 2+y 2)dy 化为极坐标形成的二次积分，则 I =（）
11
0I dx =⎰⎰将二次积分 A.2
sec ()400d f p dp π
θθ⎰⎰ B.2c ()40
cs d pf p dp π
θ
θ⎰⎰B.2sec 2
()0
4d f p dp π
θθπ⎰⎰ D.2csc 2
()0
4
d pf p dp π
θθπ⎰⎰二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6.
若0→x 时，无穷小量x 2与x x m 32+等价，则常数m =
7.
22
25,log t x t t dy dx y t
=⎧=-=
⎨=⎩设则
8.椭圆
13
42
2=+y x 所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为9.
微分方程2'=-y e
x
的通解是
10.ln (,)
(,)y
e e Z x
e e dz
==
函数在点处的全微分得分
阅卷人
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
12.22
1
2
=tan ,x d y
y arc x dx
=设求13.设函数21sin ,00,0
x x x x ⎧≠⎪
⎨⎪=⎩，利用导数定义(0)f '.
14.
求不定积分2.
15.已知tan ln cos xdx x C =-+⎰，求定积分
24
0sec x xdx π
⎰.
16.2(,)2z z z Z f x y Z x y e y x y
∂∂==--∂∂设是由方程所确定的隐函数，计算
.17.cos ,sin (0)0,2D
xd D y x x y π
σ=≤≤=⎰⎰计算二重积分
其中是曲线和曲线得分阅卷人
2
x π
=
围成的有界闭区域。

18.1
3(
)32
n n n n ∞
=-∑判断级数
的敛散性。

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小
题12分，共22分）
19.设函数1()2ln 2f x x x x x
=--
+（1）()y f x =求曲线的拐点；
（2）讨论曲线()y f x =上是否存在经过坐标原点的切线。

20.()f x 设函数连续
（1）证明0
−B =0
B ;（2）若满足=3+1+0
B B − 0
−B ，求.
得分阅卷人
广东省2022年普通高等学校专升本招生考试
高等数学参考答案
一、单项选择题
1.
【答案】D
【解析】0111(1),lim ()lim(1)2,lim ()()x x x f a f x x f x f x →→→==+==若函数，1
lim ()2(1), 2.
x f x f a a →====则所以2.【答案】A
【解析】3
3
1
11
333000
lim(13)lim (1(3))lim(1(3))x
x x
x x x x x x e -----→→→⎡⎤⎡⎤-=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
3.【答案】B
【解析】级数收敛，一般项趋于零；一般项趋于零，级数不一定收敛；一般项趋于零是级数收敛的必要条件，非充分条件。

4.【答案】C
【解析】22111
()lim 1111x f x dx x x
→+∞+∞
+∞=
=-=-⎰
5.
【答案】D
【解析】
作出积分区域
由图可知，111
11sin ,csc sin r r θθθ===。

已知θ的积分区域为[,]42ππ，y 的积分区域为]1s 0,in [θ，即
[0,csc ]θ，故1
1
cos 2
2
222004
csc 2204
()((cos )(sin ))()x I dx f x y dy d f r r rdr
d rf r dr
π
θππ
θπθθθθ=+=+=⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
二、填空题
6.
【答案】2
【解析】20033lim lim ,lim 1 2.2222x x x Mx M M x M x β
α→→+=+===又为等价无穷，所以7.
【答案】1
2ln 2
【解析】2
1
1ln 252,,,ln 252t dy dx dy dy dy dt t t dx dt dt t dx t dx
dt
==-====-所以1
11
ln 2.542ln 2ln 4
t ===-8.
【答案】8π
【解析】
22212240020V dx y ππ=⋅==⎰⎰⎰232222
323(1)2(3)2(3)2(62)8000
444x x dx x dx x πππππ
-=-=-=-=⎰⎰9.
【答案】2x y e C
=+
【解析】
'2,2,2,x x x x dy dy dy
e y e e e dx dx dx
--====⎰⎰化简得对等式两边积分得2,=2x x y e C y e C
=++得即方式通解为10.【答案】dx dy
+【解析】z z dz dx dy x y
∂∂=
+∂∂ln 1ln ln 1ln 1
ln ,ln ,(ln )(ln ),ln 1
y y y y z z y x x x dz y x dx x x dy e x y y --∂∂=⋅==⋅+=∂∂法一：故ln 1ln (,)
1
(ln )(ln ).
e e e e dz
e e dx e e dy dx dy e
-=⋅+=+ln ln ln ln ln ln ln ln ln (,)
ln ln 111ln ,ln ,(ln )1
(ln ).
y y x
y x y x y x
e e y x Z x e z z e y e x dz e y dx x x y y
x
e x dy dx dy y
==∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅+∂∂⋅⋅=+法二：三、计算题
11.【答案】221113693(3)(1)3
lim lim lim 23(1)(1)133x x x x x x x x x x x x →→→+-++-+====++-+-原式12.【答案】4444
42
42
21
1
2
12'=2112(1)26''(1)(1)''
1
x x x
y x x x x x y x x d y y dx
===+++-==++∴==- 由题13.【答案】
220
001
sin
2(0)(0)
1'(0)lim
lim lim(sin 2)2
x x x x x
f x f x f x x
x x
→→→⋅++-===⋅+=根据导数定义得
14.【答案】原式
=
2
233arcsin x C =-⎰⎰=-+ 15.【答案】2
4
sec
x xdx
π
⎰
4
44
00
4
tan
tan tan
ln cos
4
4
1ln2
42
xd x
x x xdx
x
π
ππ
π
π
π
π
=
=-
=+
=+
=-
⎰
⎰
16.【答案】2
(,,)20,'2,'2,
z z
x y
F x y z x y e z F F ye
=--===-
对方程有
2
22
22
2
2222
'22
'1,,
'11
'22
'11
2222
()2
1111
z x
z z z
z
z z
y
z z
z
z z
z z z z
F
z
F y e
x F y e y e
F
z ye ye
y F y e y e
z z ye y e
y y
x y y e y e y e y e
∂
=--=-=-=
∂--+
∂-
=-=-=-
∂--+
∂∂
-=-⋅-=+=∂∂++++
所以
故
17.【答案】由题可知，区域D
为下图
所以sin 200
cos 6cos x D
xd dx xdy π=⎰⎰⎰
⎰
20
20
2
sin cos 0
sin cos sin 2
2
12
xdx dxy x x xdx
x ππ
π
====⎰⎰
18.【答案】由题意知1
3n n n
∞
=∑
为正项级数令3
n n n a =，11131lim lim 1
33n n n x n n a n a n ++→∞→∞+=⋅=<根据正项级数比值审敛法，13
n n n ∞
=∑
是收敛的。

而132
n n ∞
<∑
为等比级数，公比112q =<，也收敛。

故由级数的线性性质可知级数1
3(
32n n
n n ∞
=-∑是收敛的。

四、综合题
19.【答案】（1）由()f x 的定义域为(0,)
+∞22233
11()2ln 212ln 1
2(1)22()f x x x x x x f x x x x '=+-+=++-''=-=
令()0f x ''=，即2
10
x -=121,1x x ==-（舍掉）
代入原式()0f x =，故曲线()y f x =拐点为(1,0)
（2）由于()f x 定义域为(0,)+∞，设y kx =是曲线()y f x =的切线，切点为00(,)
x y 根据题意，可列出方程组000000012ln 212ln 1x x x kx
x x k
x ⎧--+=⎪⎪
⎨
⎪++=⎪⎩
消去k ，可得00
11
x x +
=此方程无实数解，故不存在经过原点的切线。

20.【答案】
（1）证令x t u -=，则t x u =-，dt du
=-令t x =，0t =，u x
=故0
()()()()x
x
x
x
f x t dt f u du f u du f t dt
-=-==⎰⎰⎰⎰故原命题成立
（2）由（1）知0
()31()()x
x
f x x tf t dt x f t dt
=++-⎰⎰①
两边求导得
00()3()()()3()x x
f x xf x x f t dt xf x f t dt
'=+--=-⎰⎰②
求二阶导得()()f x f x ''=-，故()()0f x f x ''+=其特征方程为2
10r +=，解得r i
=±12()cos sin f x C x C x ∴=+12()sin cos f x C x C x
'∴=-+将0x =代入①②两式得，(0)1f =，(0)3f '=并代入()f x 与()f x '得11C =，23C =故()cos 3sin f x x x
=+。