郑州市高中毕业班数学第三次质量检测试题答案.doc

郑州市高中毕业班数学第三次质量检测试题答案
一、1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.C 7.D 8.B 9.A 10.C 11.D 12.A
二、13.a <-1或a >51 14.18 15.5-2
16.T =⎩
⎨⎧>-≤≤-)11(47),110(619h h h 三、17.解：令x =1,则3n =a
2n +a 2n -1+…+a 1+a 0. 2
令x =-1，则5n =a
2n -a 2n -1+…-a 1+a 0 4 ∴a 2n -1+a 2n -3+…+a 1=2
53n
n -=f (n ) 6分 而S n =f (1)+f (2)+…+f (n )=21［(3-5)+(32-52)+…+(3n -5n )］=21［(3+32+…+3n )-(5+52+… +5n )］=8
1 (2×3n +1-5n +1-1) 8分 ∴
855
1532lim 815lim 11-=--⨯=++∞→∞→n n n n n n n S . 10 18.设0<x 1<x 2<2π,则有f (x 1)<f (x 2),即2
211sin 3cos 2sin 3cos 2x x a x x a -<-. ∵0<sin x 1<1,0<sin x 2<1,
∴3a sin x 2-6sin x 2cos x 1<3a sin x 1-6sin x 1cos x 2.
即a (sin x
1-sin x 2)>2sin(x 1-x 2). 3
∴2a cos 2
sin 22121x x x x -+ >2×2sin
221x x -cos 221x x -.而sin 221x x -<0, ∴(a +2)sin 21x sin 22x >(a -2)cos 21x cos 2
2x . 即(a +2)tg
21x tg 2
2x >a -2总成立. 6
∵0<tg 21x tg 2
2x <1, ①若a +2=0,即a =-2,上式成立； 7
②若a +2>0,由tg 21x tg 22x >22+-a a 恒成立，得2
2+-a a ≤0, ∴-2<a ≤
2. 9
③若a +2<0,tg
21x tg 22x <22+-a a 恒成立，得2
2+-a a ≥1. 11分 ∴a <-2. 综上，a 的取值范围是(-∞,2]
. 12
19.解：(Ⅰ)如图，取PA 的中点为E ，连结EF ，由F 是 PD 的中点，得EF 2
1AD . 而BC ∥AD ，且BC =21AD
∴EF BC .从而四边形BCFE 是平行四边形. ∴CF ∥BE .
而BE ⊂平面PAB ，∴CF ∥平面PAB
. 4
(Ⅱ)过D 作DM ⊥AC ，垂足为M ，连结PM ，由PA 、AB 、AD 两两互相垂直，得PA ⊥平面 ABCD .
∴DM ⊥PA .
但PA ∩AC =A ，
∴DM ⊥平面PAC .从而∠DPM 就是PD 与平面PAC 所成的角
6
由PA =4，AD =2，知PD =25.
又AB =AD =2，BC =1，BC ⊥
AB
∴AC =5
.
∴DM =5
4=⋅AC AB AD . 在Rt △DMP 中，有sin DPM =PD
DM
, ∴sin DPM =5
25254
=. 故∠DPM =arcsin 52为所求
8
(Ⅲ)延长AB 、DC ，相交于点N ，则PN 是平面CDP 与平面BAP 的交线，过A 作AH ⊥PN 于H ，连结DH ，由DA ⊥平面PAB ，知DH 在平面PAB 内的射影为AH ，由三垂线定理，得DH ⊥PN .从而∠AHD 就是平面CDP 与平面BAP 所成二面角的平面角，即∠AHD =45°. 10分
由已知，得AN =2AB =4.但AD =2，则AH =2.
∥ = ∥ =
∥ =
∴∠PNA =30°,于是PA =AN tg30°=3
34. ∴V P —ABCD =2
131⨯(BC +AD )×AB ×PA =334(体积单位).为所求 12分 20.解：设经销商按三种价格营销三种型号的电脑的利润都是p 元，A 、B 、C 三种型号 电脑的销量分别是
x z p y z p x y p ---,,.如果A 、B 两种型号电脑的销量之和是C 型电脑销量的m 倍
. 依题意，有x
z mp x z p x y p -=-+-. 4分 ∴m =y
z x z x y x z --+-- 分8.2)()()()(y z x y x y y z y z x y y z x y x y y z --+--+=--+-+--+-=
又x <y <z ,则y -x >0,z -y >0,
∴m ≥2+2=4,当且仅当z -y =y -x ,即x 、y 、z 成等差数列时，A 、B 两种型号电脑的销量之 和最少是C 型销量的4倍. 12分
21.解：(Ⅰ)方程f (x )+4=0即为x 2-(m +1)x +m +4=0.
⎪⎩
⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆.04,
01,0)4(4)1(2m tgB tgA m tgB tgA m m 且A 、
B
则2
π<A +B <π,从而tg(A +B )<0⇒tg(A +B )= .0311<--+=-+m m tgAtgB tgB tgA ∴503
1040101522≥⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++>+>+≥--m m m m m m m . 6分 (Ⅱ)∵f (x )=x 2
-(m +1)x +m =(x -1)(x -m ),对任意α有-1≤cos α≤1,
∴1≤2+cos α≤3时，恒有f (2+cos α)≤0.
即1≤x ≤3时，恒有f (x )≤0,即(x -1)(x -m )≤
0.
∴m ≥x ,但x max =3.∴m ≥x max =3. 10分
(Ⅲ)∵f (sin α)=sin 2α-(m +1)sin α+
m
=(sin α-21+m )2+m -4)1(2+m ,且2
1+m ≥
2, ∴当sin α=-1时，f (sin α)有最大值8，即1+(m +1)+m =8.
∴m
=3. 14
22.解：(Ⅰ)以AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系. 2分
由|PA |+|PB |=|AC |+|CB |=22+222
23222)22(22=+=+，知曲线E 是以O 为中心，半长轴a =2，半焦距为1，焦点分别为A (-1，0)和B (1，0)的椭圆，其方程为22
2y x +
=1. 6
(Ⅱ)联立方程组)22,1()0(221222
D x x y y x ⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥==+
. 8 设直线DM 的方程为y =k (x -1)+
22,由已知，得直线DN 的方程为y =-k (x -1)+ 2
2. 联立方程组 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-==+.22)1(,1222
x k y y x 消y , (1+2k 2)x 2-(4k 2-22k )x +2k 2-22k -1=0.
设M 点的坐标为(x M ,y M ),则x M =22211222k
k k +--
, y M =k (x M -1)+ 2
2. 同理，N 点的坐标为x N =2
2211222k k k +-+,y N =-k (x N -1)+ 22 ∴MN 的斜率k 1=N
M N M N M N M x x x x k x x y y --+=--)2(
22211
2221222)22112221222(2
22222=++-----+-++--=k k k k k k k k k k k . 10分 (Ⅲ)设直线MN 的方程为y =2
2x +m ,联立方程组 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==+.22,1222
m x y y x 消y ，得x 2+2mx +m 2-1=0. ∴|MN |=,)2(3)442)(211(222m m m -=+-+ D 点到MN 的距离为d =32m . ∴S △DMN =2
1|MN |·d =22)2(2222≤-m m .当且仅当m =±1时，S △DMN 取最大值22，此时直线MN 的方程为y =
22x +1或y =22x -1. 14分。