高考数学一轮复习课时作业 第十一章 单元测试卷 理 试题

第十一章 单元测试卷
一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．每一小题中只有(zhǐyǒu)一项符合题目要求)
1．将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子(hé zi)，每个盒内放一个球，假设恰好有三个球的编号与盒子编号一样，那么不同的投放方法的种数为( )
A ．6
B ．10
C ．20
D ．30
答案(dá àn) B
解析 从编号(biān hào)为1,2,3,4,5的五个球中选出三个与盒子编号一样的球的投放方法有C 3
5＝10种；另两个球的投放方法有1种，所以一共有10种不同的投放方法．选择B.
2．(1＋x )10
(1＋1x
)10展开式中的常数项为( )
A ．1
B ．(
C 1
10)2
C ．C 1
20 D ．C 10
20
答案 D
解析 因为(1＋x )10
(1＋1x )10＝[(1＋x )(1＋1x )]10＝(2＋x ＋1x
)10＝(x ＋1x
)20(x >0)，所以T r ＋1
＝C r 20(x )
20－r
(
1
x
)r ＝C r 20x
10－r
，由10－r ＝0，得r ＝10，故常数项为T 11＝C 10
20，选D.
3.如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，那么至少有两个数位于同位或者同列的概率是( )
a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33
A.37
B.47
1414
答案(dá àn) C
解析 所取三数既不同(bù tónɡ)行也不同列的概率为6C 39＝114，所求概率(gàilǜ)为1－1
14＝
13
14
. 4．设随机变量(suí jī biàn liànɡ)ξ服从正态分布N (3,4)，假设P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，那么a 的值是( )
A.73
B.53 C ．5 D ．3
答案 A
解析 由2a －3，与a ＋2关于3对称，故(2a －3)＋(a ＋2)＝6，解得a ＝7
3
.
5．在区间[0，π]上随机取一个数x ，那么事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.23 答案 C
解析 由题意知，此概率符合几何概型所有根本领件包含的区域长度为π，设A 表示取出的
x 满足sin x ＋3cos x ≤1这样的事件，对条件变形为sin(x ＋π
3)≤12
，即事件A 包含的区域长度
为π
2.∴P (A )＝π2π＝12
. 6．一个坛子里有编号1,2，…，12的12个大小一样的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，假设从中任取两个球，那么取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )
2211C.322 D.
211
答案(dá àn) D
解析(jiě xī) 分类：一类是两球号均为偶数且红球，有C 2
3种取法；另一类是两球号码(hàomǎ)是一奇一偶有C 13C 1
3种取法(qǔfǎ)
因此所求的概率为C 23＋C 13C 1
3
C 2
12＝211
7．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为( ) A.1
9 B.
112 C.115 D.
118
答案 B
解析 将一个骰子连抛三次，一共有n ＝63
种不同情形．其中，落地时向上的点数依次成等差数列的有：①公差d ＝±1的有4×2＝8(种)；②公差为±2的有2×2＝4(种)；③公差d ＝0的
有6种，一共有m ＝8＋4＋6＝18(种)，故所求概率为P ＝m n ＝1863＝1
12
.
8．2021年园艺世博会期间，某国旅游团方案从8个他们最喜欢的中国城里选择6个进展游览．假如M ，N ，P 为必选城，并且在游览过程中必须按先M 经N 到P 的次序经过M ，N ，P 三城(游览M ，N ，P 城的次序可以不相邻)，那么他们可选择的不同游览线路有( )
A ．240种
B ．480种
C ．600种
D ．1200种
答案 D
解析 此题分三步完成：先从除M ，N ，P 之外的5个城中选3个，有C 3
5＝10种选法；将选中的6个城全排列A 6
6＝720种排法；由于在游览过程中必须按先M 经N 到P 的次序经过M ，N ，P 三城(游览M ，N ，P 城的次序可以不相邻)，∴需要消序，故一共有C 35A 6
6
A 33
＝1200种的旅游线路．
9．体育课的排球发球工程考试的规那么是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，那么停顿(tíngdùn)发球，否那么一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球(fā qiú)次数为X ，假设(jiǎshè)X 的数学(shùxué)期望E (X )>1.75，那么p 的取值范围是( )
A ．(0，7
12)
B ．(7
12，1)
C ．(0，1
2)
D ．(1
2
，1)
答案 C
解析 发球次数X 的分布列如下表，
所以期望EX ＝p ＋2(1解得p >52(舍去)或者p <1
2
，又p >0，应选C.
10．来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，那么不同的安排方案总数有( )
A ．12种
B ．48种
C ．90种
D ．96种
答案 B
解析 可按照场地号安排，一号场地安排方法是C 2
3C 12C 1
2＝12；二号场地只能从剩余的一个国家的2人中任选一人，有2种选法，另一人从一号场地剩余的两个国家的另两人中任选一人，有2种选法；第三场地由剩余两人当裁判，因此总的选法有12×2×2＝48.
11．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小一样的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，假如两球号码之积是4的倍数，那么获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )
A.16
625
B.96625
C.624625
D.
4625
答案(dá àn) B
解析(jiě xī) 从6个球中摸出两球有C 2
6＝15种方法(fāngfǎ)，两球号码之积是4的倍数有6种方法，那么获奖概率为P ＝25，4人摸奖恰有3人获奖的概率(gàilǜ)是C 3
4·35·(25)3＝96625
.
12．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)假设在△ABC 中，A B →
与
a 同向，C B →
与b 反向，那么∠ABC 是钝角的概率是( )
A.512
B.
712
C.39
D.49
答案 A
解析 要使∠ABC 是钝角，必须满足A B →·C B →
＜0，即a ·b ＝n －m ＞0，连掷两次骰子所得点数m 、n 一共有36种情形，其中15种满足条件，故所求概率是5
12
.
二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上) 13．在神舟八号飞船飞行的过程中，地面上有A 、B 、C 、D 四个科研机构在接收其发回的重要信息．这四个科研机构两两之间可以互相接发信息，但飞船只能随机地向其中一个科研机构发送信息，每个科研机构都不能同时向两个或者两个以上的科研机构发送信息．某日，这四个机构之间发送了三次信息后，都获得了飞船发回的同一条信息，那么是A 机构接收到该信息后与其他机构互相联络的方式一共有________．
答案(dá àn) 16种
解析(jiě xī) 第一类：A 直接(zhíjiē)发送给B ，C ，D 三处，有C 3
3＝1种．第二类：A 直接(zhíjiē)发送给B ，C ，D 中的两处，再由其中一处通知第四处，有C 2
3·C 12＝6种．第三类：A 直接发送给B ，C ，D 中的一处，再由该处通知另两处，有C 1
3·(C 1
2＋1)＝9种．所以由A 机构接收到该信息后与其他机构互相联络的方式一共有1＋6＋9＝16种．
14．2021年奥运会足球预选赛亚洲区决赛(俗称九强赛)，中国队和韩国队都是九强赛中的队，现要将九支队随机分成三组进展决赛，那么中国队与韩国队分在同一组的概率是________．
答案 14
解析 P ＝C 17
×C 36·C 3
3
A 2
2C 39·C 36·C 3
3A 33
＝21C 39
＝1
4. 15．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，那么所得分数ξ的数学期望E (ξ)＝________.
答案 1
解析 由题得ξ所获得的值是0或者2，其中ξ＝0表示获得的球为两个黑球，ξ＝2表示
获得的球为一黑一红，所以P (ξ＝0)＝C 23C 24＝12，P (ξ＝2)＝C 13
C 24＝12，故Eξ＝0×12＋2×12
＝1.
16．为落实素质教育，重点中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题工程，假设重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6
的展开式中，x 4
的系数为________．
答案 54000
解析 用直接法：k ＝C 13C 1
5＋C 13C 2
5＋C 23C 1
5＝15＋30＋15＝60，x 4
的系数为C 26k 2
＝15×3600＝54000. 三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，解容许(róngxǔ)写出文字说明、证明过程或者演算步骤)
17．(本小题满分是10分)为备战2021年伦敦奥运会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击选手100发子弹的射击结果(jiē guǒ)统计如下：
(1)该选手一次射击(shèjī)命中8环以上(含8环)的概率；
(2)该选手射击2发子弹获得19环以上(含19环)成绩的概率． 解析 以该选手射击的频率近似估算概率． (1)射击一次击中8环以上的概率约为
P ＝
20＋35＋25
100
＝0.8.
(2)记一次射击命中10环为事件P 1，那么P 1＝0.2， 一次射击命中9环为事件P 2，那么P 2＝0.35，
于是两次射击均命中10环的概率约为P (A )＝(P 1)2
＝0.04， 两次射击一次命中10环，一次命中9环的概率约为
P (B )＝C 12P 1P 2＝0.14，
即该选手射击2发子弹获得19环以上(含19环)成绩的概率约为0.18.
18．(本小题满分是12分)甲、乙两人各进展3次射击，甲每次击中目的的概率为1
2，乙每次
击中目的的概率为2
3
.
(1)记甲击中目的的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)； (2)求乙至多击中目的2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目的2次的概率．
解析(jiě xī) (1)P (ξ＝0)＝C 03(12)3＝18；P (ξ＝1)＝C 13(12)3＝38；P (ξ＝2)＝C 23(12)3
＝38
；
P (ξ＝3)＝C 33(1
2)3
＝18
.
ξ的概率分布如下(rúxià)表：
E (ξ)＝0×18
＋1×38
＋2×8
＋3×8
＝1.5.
(2)乙至多击中目的(mùdì)2次的概率为1－C 33(23)3
＝1927
.
(3)设“甲恰比乙多击中目的(mùdì)2次〞为事件A ，“甲恰击中目的2次且乙恰击中目的0次〞为事件B 1，“甲恰击中目的3次且乙恰击中目的1次〞为事件B 2，那么A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．
P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝38×127＋18×29＝124
.
所以，甲恰好比乙多击中目的2次的概率为1
24
.
19．(本小题满分是12分)某农学院毕业生为了调查高粱的高度、粒的颜色与产量的关系，对一亩700棵高粱进展抽样调查，高度频数分布表如下：
表1：红粒高粱频数分布表
(2)估计这块地中高粱高(单位：cm)在[165,180)的概率；
(3)在红粒高粱(gāo liang)中，从高度(单位：cm)在[180,190)中任选3棵，设ξ表示(biǎoshì)所选3棵中高(单位：cm)在[180,185)的棵数，求ξ的分布列和数学(shùxué)期望．
解析 (1)样本中红粒高粱为40棵，白粒高粱30棵，由抽样(chōu yànɡ)比例可得这亩地中红粒高粱棵数为400.
频率分布直方图如下图：
(2)由表1、表2可知，样本中高在[165,180)的棵数为5＋14＋13＋6＋3＋1＝42，样本容量为70，∴样本中高在[165,180)的频率f ＝4270＝3
5
.
(3)依题意知ξ的可能值为：1,2,3. ∵P (ξ＝1)＝C 1
4C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 1
2C 36＝3
5，
P (ξ＝3)＝C 3
4C 36＝1
5，
∴ξ的分布列为：
ξ 1 2 3
P
15 35 15
∴ξ的数学期望E (ξ)＝1×5＋2×5＋3×5＝2.
20.
(本小题满分(mǎn fēn)是12分)李先生家在H 小区(xiǎo qū)，他在C 科技园区工作(gōngzuò)，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条道路(dàolù)(如图)，道路L 1上有A 1，A 2，A 3三个
路口，各路口遇到红灯的概率均为1
2；道路L 2上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次
为34，35
. (1)假设走道路L 1，求最多遇到1次红灯的概率； (2)假设走道路L 2，求遇到红灯次数X 的数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯的次数最少〞的要求，请你帮助李先生分析上述两条道路中，选择哪条道路上班更好些，并说明理由．
解析 (1)设“走道路L 1最多遇到1次红灯〞为事件A ，那么P (A )＝C 0
3×(12)3＋C 13×12×(12)2＝
1
2
. 所以走道路L 1最多遇到1次红灯的概率为1
2.
(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.
P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝110
，
P (X ＝1)＝34
×(1－35
)＋(1－34
)×35＝920
，
P (X ＝2)＝34×35＝920
.
随机变量X 的分布列为
所以E (X )＝110×0＋920×1＋20×2＝20
.
(3)设选择(xuǎnzé)道路L 1遇到(yù dào)红灯的次数为Y ，随机变量(suí jī biàn liànɡ)Y 服从(fúcóng)二项分布，即Y ～B (3，1
2
)，
所以E (Y )＝3×12＝3
2
.
因为E (X )<E (Y )，所以选择道路L 2上班更好．
21．(本小题满分是12分)某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为14，8：20发出的概率为1
2，8：40发出的概率为
14；第二班客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为1
4，9：20发出的概率为12，9：40发出的概率为1
4.两班客车发出时刻是互相HY 的，一位旅客预计8：10到
车站．求：
(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率； (2)该旅客候车时间是的分布列； (3)该旅客候车时间是的数学期望．
解析 (1)第一班客车假设在8：20或者8：40发出，那么旅客能乘到第一班客车，其概率为
P ＝12＋14＝34
.
(2)该旅客候车时间是的分布列为：
(3)10×12＋30×14＋50×116＋70×18＋90×116
＝5＋152＋258＋354＋45
8
＝30.
∴该旅客候车(hòu chē)时间是的数学期望是30 min.
22．(本小题满分(mǎn fēn)是12分)2011年12月25日某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏(yóuxì)：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品(jiǎngpǐn)；点数之和为11或者10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或者8点获三等奖，奖价值为30元的奖品：点数之和小于8点的不得奖．求：
(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；
(2)假设该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值．
解析(1)设掷两颗正方体骰子所得的点数记为(x，y)，其中1≤x，y≤6，那么获一等奖只
有(6,6)一种可能，其概率为1 36
；
获二等奖有(6,5)、(5,6)、(4,6)、(6,4)、(5,5)，一共5种可能，其概率为5
36
.
设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖〞，那么由(1)知P(A)＝C13
×1
36
×(
5
36
)2＝
25
15552
.
(2)设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，那么ξ的可能取值为30－a，－70,0,30，其分布列
为：
ξ30－a －70030
p 1
36
5
36
1
4
7
12
那么Eξ＝(30－a)×1
36＋(－70)×
36
＋0×
4
＋30×
12
＝
36
，由Eξ＝0，得a＝310.
1．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，且a1＋a2＋…＋a n－1＝29－n，那么n＝________.
答案 4
解析(jiě xī)令x＝0，那么(nà me)有a0＝n，令x＝1，那么(nà me)a0＋a1＋a2＋…＋a n－1＋a n＝2n＋1∵C n n·10·x n＝a n x n，∴a n＝1.∴29－n＝2n＋1－2－1－n，那么(nà me)n＝4.
2．(2021·一中)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A.1
3
B.1
2
C.23
D.34
答案 C
解析 从4张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为4C 24＝2
3.
3．甲、乙、丙3人进展擂台赛，每局2人进展单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛完毕以后，经统计，甲一共打了5局，乙一共打了6局，而丙一共当了2局裁判，那么整个比赛一共进展了( )
A ．9局
B ．11局
C ．13局
D ．18局 答案 A
解析 由题意甲与乙之间进展了两次比赛，剩余赛事为甲与丙或者乙与丙进展，因此比赛场数为5＋6－2＝9.
4．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为2
3
.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋
a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望Eξ＝( )
A.827
B.16
81 C.113 D.
6581
答案(dá àn) C
解析(jiě xī) ξ＝1时，P 1＝C 04(13)4(23)0
＝13
4，
ξ＝2时，P 2＝C 14(1
3)3
·23＝834，
ξ＝3时，P 3＝C 24·(1
3)2·(23
)2
＝243
4，
ξ＝4时，P 4＝C 34(1
3)·(23)3
＝323
4，
ξ＝5时，P 5＝C 44(23
)4
＝16
3
4，
Eξ＝1×134＋2×834＋3×2434＋4×3234＋5×1634＝113
.
5.
某人设计一项单人游戏，规那么如下(rúxià)：先将一棋子放在如下图正方形ABCD (边长为3个单位(dānwèi))的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，假如掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，那么棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．那么某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法一共有( )
A ．22种
B ．24种
C ．25种
D ．36种
答案 C
解析 抛掷三次(sān cì)骰子后棋子恰好又回到点A 处是指三次投掷骰子(tóu zǐ)之和为12，第一颗骰子点数为1时，有2种方法；第一颗骰子点数为2时，有3种方法；第一颗骰子点数为3时，有4种方法；第一颗骰子点数为4时，有5种方法；第一颗骰子点数5时，有6种方法；第一颗骰子点数为6时，有5种方法，一共有2＋3＋4＋5＋6＋5＝25(种)方法．
6．某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进展的调查统计(tǒngjì)结果
如下表所示：
休假次数 0 1 2 3
人数 5 10 20 15
(1)从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f (x )＝x 2
－ηx －1在区间(4,6)上有且只有一个零点〞为事件A ，求事件A 发生的概率P ；
(2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
解析 (1)函数f (x )＝x 2
－ηx －1过(0，－1)点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，那么必
有⎩⎪⎨
⎪⎧
f 4<4f
6>0
即：⎩⎪⎨
⎪
⎧
16－4η－1<036－6η－1>0
，解得154<η<35
6
，所以，η＝4或者η＝5，
当η＝4时，P 1＝C 2
20＋C 1
10C 1
15C 2
50＝68
245， 当η＝5时，P 2＝C 1
20C 1
15C 250＝12
49
，
η＝4与η＝5为互斥事件，所以有一个发生的概率公式 P ＝P 1＋P 2＝
68245＋1249＝128245
. (2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，那么ξ的可能取值分别是0,1,2,3.
于是(yúshì)P (ξ＝0)＝C 2
5＋C 2
10＋C 2
20＋C 2
15C 2
50＝2
7， P (ξ＝1)＝C 15C 1
10＋C 1
10C 1
20＋C 1
15C 120C 2
50＝22
49， P (ξ＝2)＝C 15C 1
20＋C 1
10C 1
15C 2
50＝10
49， P (ξ＝3)＝C 15C 115C 250＝3
49
.
从而(cóng ér)ξ的分布(fēnbù)列：
ξ的数学(shùxué)期望：Eξ＝0×7
＋1×49
＋2×49
＋3×49＝49
.
7．在世博会期间中国馆和HY 馆异常火爆，10月1日中国馆内有2个旅游团和2个旅游团，HY 馆内有2个旅游团和3个旅游团．现从中国馆中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从HY 馆中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进展互换．
(1)求互换后中国馆恰有2个旅游团的概率； (2)求互换后中国馆内旅游团数的期望．
解析 (1)记A ＝{互换后中国馆恰有2个旅游团}，
①互换的都是旅游团，那么此时中国馆恰有2个旅游团为事件A 1的概率为 P (A 1)＝C 12C 1
2C 14C 15＝1
5
.
②互换的都是旅游团，那么此时中国馆恰有2个旅游团事件A 2的概率为P (A 2)＝C 12C 1
3C 14C 15＝3
10.
又A ＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥事件，那么P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝15＋310＝1
2.
∴互换后中国馆恰有2个旅游团的概率(gàilǜ)为1
2
.
(2)设互换后中国(zhōnɡ ɡuó)馆内旅游团数为ξ，那么(nà me)ξ的取值为1,2,3. P (ξ＝1)＝C 12C 1
3C 14C 15＝310，P (ξ＝2)＝12，P (ξ＝3)＝C 12C 1
2C 14C 15＝1
5，
∴ξ的分布(fēnbù)列为：
∴Eξ＝310×1＋12×2＋15×3＝19
10.
∴互换后中国馆内旅游团的期望为19
10
.
8．某班同学利用国庆节进展社会理论，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进展了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，假设生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族〞，否那么称为“非低碳族〞，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 分组 低碳族的人数
占本组的频率
第一组 [25,30) 120
第二组 [30,35) 195 p
第三组 [35,40) 100
第四组 [40,45) a
第五组 [45,50) 30 第六组
[50,55]
15
(1)补全频率(pínlǜ)分布直方图，并n 、a 、p 的值；
(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族〞中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中(qízhōng)选取3人作为邻队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布(fēnbù)列和期望EX .
解析(jiě xī) (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，∴高为
,5)＝0.06.频率直方图如下：
第一组的人数为120
0.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，
∴n ＝
200
0.2
＝1000.由题可知，第二组的频率为0.06×5＝0.3，∴第二组的人数为1000×0.3＝300，∴p ＝195
300
＝0.65.
第四组的频率(pínlǜ)为0.03×5＝0.15，∴第四组的人数(rén shù)为1000×0.15＝150，∴a ＝150×0.4＝60.
(2)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族〞与[45,50)岁年龄段的“低碳族〞的比值(bǐzhí)为60∶30＝2∶1，∴采用(cǎiyòng)分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人．
∵随机变量X 服从超几何分布，
∴P (X ＝0)＝C 0
12C 3
6C 318＝5204，P (X ＝1)＝C 1
12C 2
6C 318＝15
68，
P (X ＝2)＝C 2
12C 1
6C 318＝3368，P (X ＝3)＝C 3
12C 0
6C 318＝55
204.
∴随机变量X 的分布列为
X 0 1 2 3
∴EX ＝0×5204＋1×1568＋2×68＋3×204
＝2.
9．四个纪念币A 、B 、C 、D ，投掷时正面向上的概率如下表所示(0<a <1).
(1)求ξ的分布列与数学期望；
(2)在概率P (ξ＝i )(i ＝0,1,2,3,4)中，假设P (ξ＝2)的值最大，求a 的取值范围． 解 (1)P (ξ)是ξ个正面向上，4－ξ个反面向上的概率．其中ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
P (ξ＝0)＝C 02(1－1
2)2C 02(1－a )2＝14
(1－a )2
，
P (ξ＝1)＝C 12·1
2(1－12)C 02(1－a )2＋C 02(1－12)2C 1
2a (1－a )＝12
(1－a )，
P (ξ＝2)＝C 22·(1
2)2C 02(1－a )2＋C 12·12(1－12)C 12a (1－a )＋C 02(1－12)2C 22a 2＝14
(1＋2a －2a 2
)，
P (ξ＝3)＝C 22(12)2C 12a (1－a )＋C 1
2·12
(1－12
)C 22a 2＝a 2
，
P (ξ＝4)＝C 22(1
2
)2C 22a 2＝14
a 2
.
∴ξ的分布(fēnbù)列为
Eξ＝0×14
(1－a )2＋1×12
(1－a )＋2×14
×(1＋2a －2a 2)＋3×a 2
＋4×1
4
a 2＝2a ＋1.
(2)∵0<a <1，∴P (ξ＝0)<P (ξ＝1)，P (ξ＝4)<P (ξ＝3)．
那么(nà me)P (ξ＝2)－P (ξ＝1)＝14(1＋2a －2a 2)－1－a 2＝－14(2a 2
－4a ＋1)≥0，
P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝14
(1＋2a －2a 2)－a 2
＝－1
4
(2a 2－1)≥0，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
2a 2
－4a ＋1≤0，2a 2
－1≤0，得222≤a ≤22，即a 的取值范围(fànwéi)是[2－22，2
2
]．
10．四个大小一样的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x ，y ，记ξ＝x ＋y .
(1)求随机变量ξ的分布列及数学期望；
(2)设“函数f (x )＝x 2
－ξx －1在区间(2,3)上有且只有一个零点〞为事件A ，求事件A 发生的概率．
解析 (1)由题知随机变量ξ的可能取值为2,3,4. 从盒子中摸出两个小球的根本领件总数为C 2
4＝6.
当ξ＝2时，摸出的小球所标的数字为1、1，∴P (ξ＝2)＝1
6.
当ξ＝4时，摸出的小球所标的数字为2、2，∴P (ξ＝4)＝1
6.
∴可知(kě zhī)当ξ＝3时，P (ξ＝3)＝1－16－16＝2
3，
∴ξ的分布(fēnbù)列为：
∴Eξ＝2×16＋3×23＋4×6
＝3.
(2)∵函数(hánshù)f (x )＝x 2
－ξx －1在区间(qū jiān)(2,3)上有且只有一个零点，∴
f (2)f (3)＜0，即(3－2ξ)(8－3ξ)＜0，
∴32＜ξ＜8
3
，且ξ的所有可能取值为2、3、4，
∴ξ＝2，∴P (A )＝P (ξ＝2)＝16
， ∴事件A 发生的概率为16
.
内容总结。