湘大概率论期末习题解答PPT课件

f (x) 0 x0
求随机变量Y=X2的概率密度函数。 解：先求Y的分布函数FY(y)=P{Y y}=P{X2 y} 当y<0时， {Y y}为不可能事件，此时FY(y)=0. 当y0时，
FY(y)= P{X2 y}= P y X y
17
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当y0时，
FY(y)= P{X2 y}= P y X y
7
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解 设A＝{经过校正的枪}, C={射击中靶},
B＝{未经校正的枪}, 由题设可知
P(A)=5/8, P(B)=3/8, P(C|A)=0.8, P(C|B)=0.3.
根据全概率公式得
P(C ) P( A)P(C | A) P(B)P(C | B) 49 . 80
P(A| C)
当0≤z≤1时，
fZ (z)
z e xzdx 1 ez
0
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当z>1时，
fZ (z)
1e xzdx (e 1)ez
0
∴Z=X+Y 的概率密度为
0, fZ (z) 1 ez ,
(e 1)ez ,
z 0, 0 z 1, z 1.
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5
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解 (1)设Ai＝{一箱玻璃杯中含有i个残次品},i=0,1,2; B={从一箱玻璃杯中任取4只无残次品},
由题设可知
P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1.
根据全概率公式得
2
P(B) P( Ai )P(B |Ai ) i0
0.8
C240 C240
0.1
0，
x<0 0≤x<1 1≤x
即:
2x 0 x 1 f ( x) 0 其它
14
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例2 设X~B(2,0.3),求下列随机变量的分布律 1、Y1=X2 2、Y2= X2-2X 3、Y3=3X-X2
解：X的概率分布为P{X=k}=
C
k 2
0.3k0.72-k
k=0,1,2
列表如下：
P83习题3.9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
e y , 0 x y
f (x, y) 0,
其他
(1) 求随机变量X的密度函数； (2) 求概率P{X+Y≤1}.
解: (2) P{X Y 1}
1/ 2
dx
1 x e ydy
0
x
1
e 1
1
2e 2
ey
y= x+xy= 1/21
x1
即P:{Xxlim=11A}x=2F(1F)(－1) F1(1－0)= 1－A =0
所以, A=1
(2)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)= 0.72-0.32=0.4
13
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0 x 0
F(x)
Ax
2
0
x
1
1 1 x
0，
(3) f x F( x) 2x，
y
y f ( x)dx
y e xdx 1 e y .
0
所以Y的概率密度函数为
f
(
x)
2
1
y
e
y
0
y0 y0
18
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例 4 设随机变量 X 的密度函数为
kx(1 x) 0 x 1
f (x)
0
其它
其中常数k 0，试确定 k 的值并求概率 P{ X 0.3}
fY y
1
6
dx 6
1 dy
2 4 x2 9 y2
2 9 y2 4 x2
9
3
y2 .
32
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4、由于
f x, y fX x fY y,
因此X与Y相互独立；
5 、 P0 x 2, y 3
2 3 f x, ydxdy 0
62 1
则 B=A1B+A2B+A3B,
依题意，
P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1
由全概率公式
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)
9
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为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i次射击击中}, i=1,2,3 可求得:
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12
第二章 随机变量及 其分布
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例1 设连续型随机变量X的分布函数为
0 x 0
F(x)
Ax
2
0
x
1
1 1 x
求:(1)A; (2)P{0.3<X<0.7}; (3)X的概率密度f(x)
解:(1)F(x)在x=1点连续,由右连续性得:
lim F( x) F(1)
f (x, y) 0,
其他
(1) 求随机变量X的密度函数； (2)求概率P{X+Y≤1}.
解: (1) 当x≤0时, fX(x)=0; 当x>0时,
fX ( x)
f ( x, y)dy
e ydy e x .
x
ey
y= x
所以,
e x , fX ( x) 0,
x0 x0
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P( A1) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A2 ) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A3 ) P(H1H2H3 )
将数据代入计算得:
P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.
10
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于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 即飞机坠落的概率为0.458.
K 所以由几何概率得:
P
x
y
6/
5
1
1 2
4 5
4 5
17
0.68.
x+y=6/5
1
25
2
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P29习题1.12 把长度为a的棍子任意折成三段，求它们 可以构成一个三角形的概率。
解：设棍子被分成的三段长分别为x,y, a- x- y.
则样本空间Ω为：
x 0, y 0, x y a.
0,
F
(
x)
x
6t(1 t)dt,
0
1,
x 0, 0 x 1,
x 1.
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21
第三章 多维随机变量及其分布
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P82习题3.3 将一枚均匀的硬币抛掷4次(注教材是3次) X表示正面向上的次数, Y表示反面朝上次数, 求(X,Y)的概率分布.
解:X的所有可能取值为0,1,2,3,4, Y的所有可能取值为0,1,2,3,4, 因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:
C={丙译出密码}.
则A,B,C相互独立，且
P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4 则此密码被译出的概率为
P( A B C ) P( A) P(B) P(C ) P( AB)
P( AC ) P(BC ) P( ABC ) 1 1 1 1 1 1 1 0.6.
31
2
0 4 x2 dx 9 y2 dy
3. 16
33
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例1 设随机变量X与Y相互独立，且都服从 b,b
上的均匀分布，求方程
t 2 tX Y 0有实根的概率.
解 方程
t 2 tX Y 0有实根的充要条件是
X 2 4Y 0.
由于随机变量X与Y相互独立，
所以随机变量(X,Y)的
联合概率密度为
f
(
x,
y)
1 4b2
,
b x b,b y b,
0, 其他.
34
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(1) 当 0 b 4 时，如图
如图所示，A为区域：
x+y=a
0 x a, 0 y a,x y a
A
2
2
2
所以由几何概率得:
P( A)
1 (a )2 22 1 a2
1. 4
2
3
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P30习题1.18 甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是1/5， 1/3，1/4，试求此密码被译出的概率。
解：设A={甲译出密码},B ={乙译出密码},
f x, y F x, y
xy
1
2
x
2
arctan
x 2
y
2
arctan
y 3
1
6
2 4 x2 9 y2 .
31
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3 、边缘概率密度为
fX x
1
6
dy 6
1 dy
2 4 x2 9 y2
2 4 x2 9 y20页
XY
04 13 22 31 40
P{X=0,Y=4}= 0.54=1/16
P{X=1,Y=3}=
C41 0.5 0.53 =1/4
P{X=2,Y=2}=
C
2 4
0.52
0.52
=6/16
P{X=3,Y=1}=
C
3 4
0.53
0.51
=1/4
P{X=4,Y=0}= 0.54=1/16
26
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P85习题3.22 设X,Y相互独立，其概率密度分别为
1, fX ( x) 0,
0 x 1,
e y , y 0,
其他.
fY
(
y)
0,
y 0.
求Z=X+Y的概率密度.
解 由已知得
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
当z<0时， fZ (z) 0( 当0 x 1时, z x 0)
C149 C240
0.1
C148 C240
448 475
(2)
P( A0
|
B)
P( A0B) P(B)
0.8 448
95 112
475
6
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例2 设8支枪中有3支未经试射校正， 5支已经试射校正，一射手用校正的枪射 击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3，现假定从 8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。
X
0
1
2
X2
0
1
4
X2-2X
0
-1
0
3X-X2
0
2
2
概率
0.49
0.42
0.09
15
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则有Y1 ，Y2 ，Y3的分布律分别为
Y1 0 1
4
P 0.49 0.42 0.09
Y2 -1 0 P 0.42 0.58
Y3 0 2 P 0.49 0.51
16
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例3 设随机变量X的概率密度函数为 ex x 0
23
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联合概率分布表为:
XY 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 1/16 1 0 0 0 1/4 0 2 0 0 6/16 0 0 3 0 1/4 0 0 0 4 1/16 0 0 0 0
24
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P83习题3.9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
e y , 0 x y
和 X 的分布函数。
解由
1
f ( x)dx
1
kx(1 x)dx k
1
(
x
x2
)dx
k
/
6
0
0
k6
1
P{X 0.3} p( x)dx 6x(1 x)dx 0.784
0.3
0.3
19
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由于密度函数为
f
(x)
6x(1
0,
x),
0 x 1, 其它.
分布函数
1
第一章 随机事 件及其概率
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P29习题1.9 在区间(0,1)中随机地抽取两个数，求事件 “两数之和小于6/5”的概率。
解：用x,y分别表示从(0,1)中取出的2个数，
则样本空间Ω为正方形：
0 x 1, 0 y 1.
如图所示，K为区域：
0 x 1,0 y 1, x y 6 / 5
P( A)P(C
|
A)
40 .
P(C )
49
8
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例3 对飞机进行3次独立射击, 第1次射击的命中率为0.4、 第2次为0.5、第3次为0.7. 飞机被击中1次而坠落的概率 为0.2,被击中2次而坠落的概率为0.6, 若被击中3次飞机 必坠落,求射击3次使飞机坠落的概率.
解: 设B={飞机坠落}，Ai={飞机被击中i次}, i=1,2,3
P84习题3.13 设随机变量(X,Y)的联合分布函数
F
x,
y
A
B
arctan
x 2
C
arctan
y 3
求：
1、系数A,B,C;
2、(X,Y)的联合概率密度；
3、边缘概率密度；
4、判断X与Y是否相互独立；
5、
P0 x 2, y 3.
29
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解 1、由联合分布函数的性质，有
F
,
A
B
2
C
2
0,
F 0,
AB
0 C
2
0,
F
,0
A
B
2
C
0
0,
由A 0, 解得 B ， C .
2
2
又
1 F ,
A
2
2
2
2
,
30
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解得 A 1 , 所以(X,Y)的联合分布函数为
2
F
x,
y
1
2
2
arctan
x 2
2
arctan
y 3
.
2、联合概率密度为
3arctan22arctan212??????????????????????????????yxyxf??????2联合概率密度为????????yxyxfyxf??????????????????????????????????????????????3arctan22arctan212yyxx??????????????9461222yx????????上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院333边缘概率密度为????????????dyyxxfx????????????????2229461??????????dyyx????????????????2229146??????422x??????????????????dxyxyfy????????????????2229461??????????dyxy????????????????2224196??????932y??????上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院344由于????????????yfxfyxfyx??因此x与y相互独立