浙江省杭州市富阳市场口中学高一数学下学期3月月考试

浙江省杭州市富阳市场口中学2014-2015学年高一下学期3月月考数
学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）
A．B∪C=C B．B=A∩C C．A⊊C D．A=B=C
2．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（）
A．B．C．D．
3．函数是（）
A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数
C．周期为π的偶函数D．周期为π的奇函数
4．已知=（1，n），=（﹣1，n），若2﹣与垂直，则||=（）
A．1 B．C．2 D．4
5．已知=﹣5，那么tanα的值为（）
A．﹣2 B．2 C．D．﹣
6．要得到函数y=cos（）的图象，只需将函数y=sin的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
7．函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）
A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）
8．已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4（a，b，α，β为非零实数），f=5则f 等于（）
A．1 B．3 C．5 D．不能确定
9．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC 的面积（）
A．3 B．C．D．3
10．定义新运算“a※b”为a※b=，例如1※2=1，3※2=2，则函数f（x）=sinx※cosx 的值域是（）
A．B．C．[﹣1，1] D．
二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）
11．与﹣2002°终边相同的最小正角是．
12．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．
13．已知向量=（1，2），=（x，4），且∥，则实数x=．
14．已知sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，则sin（α﹣β）=．
15．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积，则角C=．
16．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．
17．函数的图象为C，则以下结论中正确的是．（写出所有正确
结论的编号）．
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③函数）内是增函数；
④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
三、解答题（本题共4小题，共42分）
18．已知tanα=2
（1）求的值；
（2）求2sin2α﹣sinαcosα+cos2α的值．
19．已知
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值．
20．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，
b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
21．设，，记．
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．
浙江省杭州市富阳市场口中学2014-2015学年高一下学期3月月考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）
A．B∪C=C B．B=A∩C C．A⊊C D．A=B=C
考点：并集及其运算．
专题：计算题．
分析：由集合A，B，C，求出B与C的并集，A与C的交集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．
解答：解：∵A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，
∴B∪C={小于90°的角}=C，即B⊂C，B⊂A，
则B不一定等于A∩C，A不一定是C的子集，三集合不一定相等，
故选A
点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键．
2．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（）
A．B．C．D．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：计算题．
分析：观察所求的式子发现满足两角和与差的正弦函数公式sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin （α﹣β），故利用此公式及特殊角的三角函数值化简即可求出原式的值．
解答：解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°
=sin（43°﹣13°）
=sin30°
=．
故选A
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
3．函数是（）
A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数
C．周期为π的偶函数D．周期为π的奇函数
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由诱导公式可得y=2cos2x，利用三角函数的周期性及其求法可求周期，由f（﹣x）=f（x）可得函数是偶函数．
解答：解：∵=2cos2x，
∴周期T==π，
∴由f（﹣x）=2cos[2（﹣x）]=2cos（﹣2x）=2cos2x=f（x）可得，函数是偶函数．
故选：C．
点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，诱导公式的应用，属于基础题．
4．已知=（1，n），=（﹣1，n），若2﹣与垂直，则||=（）
A．1 B．C．2 D．4
考点：平面向量数量积的性质及其运算律．
专题：计算题．
分析：2﹣=（3，n），由2﹣与垂直可得：
，||=2
解答：解：∵=（1，n），=（﹣1，n），
∴2﹣=（3，n），
∵2﹣与b垂直∴
∴||=2
故选C．
点评：本题主要考查向量的数量积的坐标表示．要注意两向量垂直时，二者点乘为0．
5．已知=﹣5，那么tanα的值为（）
A．﹣2 B．2 C．D．﹣
考点：同角三角函数基本关系的运用．
分析：已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．
解答：解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，
得=﹣5，
∴tanα=﹣．
故选D．
点评：同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．
6．要得到函数y=cos（）的图象，只需将函数y=sin的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：常规题型．
分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数到
的路线，即可得到选项．
解答：解：==，
只需将函数的图象，向左平移个单位长度得到函数
=的图象．
故选A
点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的应用．
7．函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）
A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
分析：根据已知中函数y=Asin（ωx+ϕ）在一个周期内的图象经过（﹣，2）和（﹣，
2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin（ωx+ϕ）的解析式．
解答：解：由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）
则A=2，T=π即ω=2
则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（﹣，2）代入得
﹣+ϕ=+2kπ，k∈Z，
即φ=+2kπ，k∈Z，
当k=0时，φ=
此时
故选A
点评：本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象确定其解析式，其中A=|最大值﹣最小值|，|ω|=，φ=L•ω（L是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量）．
8．已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4（a，b，α，β为非零实数），f=5则f 等于（）
A．1 B．3 C．5 D．不能确定
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：把x=2008代入f（x）中，求出的f=5，利用诱导公式化简，得到一个关系式，然后把x=2009代入f（x），表示出f，利用诱导公式化简后，将得到的关系式代入即可求出值．解答：解：把x=2008代入得：f=asin+bcos+4
=asinα+bcosβ+4=5，即asinα+bcosβ=1，
则f=asin+bcos+4
=﹣（asinα+bcosβ）+4=﹣1+4=3．
故选：B．
点评：此题考查了诱导公式及整体代入的数学思想．本题用到的诱导公式有sin（π+α）=﹣sinα，cos（π+α）=﹣cosα及sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα．熟练掌握这些公式是解本题的关键．
9．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC 的面积（）
A．3 B．C．D．3
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．
解答：解：∵c2=（a﹣b）2+6，
∴c2=a2﹣2ab+b2+6，
即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，
∵C=，
∴cos===，
解得ab=6，
则三角形的面积S=absinC==，
故选：C
点评：本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键．10．定义新运算“a※b”为a※b=，例如1※2=1，3※2=2，则函数f（x）=sinx※cosx
的值域是（）
A．B．C．[﹣1，1] D．
考点：函数的值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：由“a※b”运算的定义便有f（x）=，可利用三角函数线求出
sinx≤cosx与sinx＞cosx两种情况下的x的范围，根据求得的x的范围求出对应的sinx及cosx的取值范围，这样便可得出函数f（x）的值域．
解答：解：根据该新运算的定义：f（x）=；
①若sinx≤cosx，则，k∈Z；
∴；
②若sinx＞cosx，则，k∈Z；
∴；
∴综上得函数f（x）的值域为．
故选A．
点评：考查对新运算“a※b”定义的理解，对三角函数线的运用，分段函数值域的求法．
二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）
11．与﹣2002°终边相同的最小正角是158°．
考点：终边相同的角．
专题：计算题．
分析：把﹣2002°写成α+k×360°（k∈Z）（0＜α＜360°）形式，则α即为所求．
解答：解：∵﹣2002°=158°﹣6×360°，∴与﹣2002°终边相同的最小正角是158°，故答案是158°．
点评：与α终边相同角的集合为{β|β=α+k×360°，k∈Z}，其意为终边相同的角相差360°的整数倍，即周角的整数倍，注意所给的范围．
12．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．
考点：两角和与差的正切函数．
专题：计算题；压轴题．
分析：利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．
解答：解：tan60°=tan==
tan20°+tan40°+tan20°tan40
故答案为：
点评：本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题．13．已知向量=（1，2），=（x，4），且∥，则实数x=2．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：平面向量及应用．
分析：直接由向量共线的坐标表示列式计算x的值．
解答：解：由向量=（1，2），=（x，4），
∵∥，
∴1×4﹣2x=0，
解得：x=2．
故答案为：2．
点评：共线问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0．是基础题．
14．已知sinα+cosβ=，s inβ﹣cosα=，则sin（α﹣β）=﹣．
考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．
专题：计算题．
分析：把已知的两等式左右两边平方，利用完全平方公式展开后，分别记作①和②，然后将①+②，左边利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简，右边计算，整理后即可求出sin（α﹣β）的值．
解答：解：∵sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，
∴（sinα+cosβ）2=，（sinβ﹣cosα）2=，
即sin2α+2sinαcosβ+cos2β=①，sin2β﹣2sinβcosα+cos2α=②，
①+②得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β+sin2β﹣2sinβcosα+cos2α
=（sin2α+cos2α）+（cos2β+sin2β）+2（sinαcosβ﹣sinβcosα）
=1+1+2sin（α﹣β）=2+2sin（α﹣β）=，
则sin（α﹣β）=﹣．
故答案为：﹣
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．
15．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积，则角C=45°．
考点：余弦定理的应用．
专题：计算题．
分析：先利用余弦定理，将面积化简，再利用三角形的面积公式，可得cosC=sinC，根据C 是△ABC的内角，可求得C的值．
解答：解：由题意，
∵
∴cosC=sinC
∵C是△ABC的内角
∴C=45°
故答案为：45°
点评：本题重点考查余弦定理的运用，考查三角形的面积公式，属于基础题．
16．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则
φ的最小正值是．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin （2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．
解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，
则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，
故答案为：．
点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．
17．函数的图象为C，则以下结论中正确的是②③．（写出所有正确结论的编号）．
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③函数）内是增函数；
④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：利用正弦函数f（x）=3sin（2x﹣）的性质，对①②③④四个选项逐一判断即可．
解答：解：∵f（x）=3sin（2x﹣），
①：由2x﹣=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），
∴f（x）=3sin（2x﹣）的对称轴方程为：x=+（k∈Z），
当k=0时，x=，k=﹣1时，x=﹣，
∴图象C关于直线x=对称是错误的，即①错误；
②：∵f（）=3sin（2×﹣）=0，
∴图象C关于点（，0）对称，即②正确；
③：由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），
∴f（x）=3sin（2x﹣）的增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），
当k=0时，[﹣，]为其一个增区间，故③正确；
④：将y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到y=3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣）
≠3sin（2x﹣）=f（x），故④错误．
综上所述，②③正确．
故答案为：②③．
点评：本题考查正弦函数的周期性、对称性、单调性及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握正弦函数的性质是解决问题之关键，属于中档题．
三、解答题（本题共4小题，共42分）
18．已知tanα=2
（1）求的值；
（2）求2sin2α﹣sinαcosα+cos2α的值．
考点：三角函数的恒等变换及化简求值；弦切互化．
专题：计算题．
分析：把所要求的式子得分母添项并作代换： 1=sin2α+cos2α，然后分子、分母同时除以cos2α，把已知代入可求
解答：解：∵tanα=2
（1）
=
（2）
=
点评：本题主要考查了同角平方关系sin2θ+cos2θ=1在三角化简中变换的技巧：若已知三角函数的正切值，求有关正余弦的二次三角函数值，常在原式上添1，并作代换
1=sin2θ+cos2θ，然后分子、分母同除以cos2θ，从而化为”切“
19．已知
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值．
考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题．
分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，直接求函数f （x）的最小正周期；
（2）结合正弦函数的最值，求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值．
解答：解：=2sin（x+）
（1）函数f（x）的最小正周期：T==2π．
（2）函数f（x）=2sin（x+）≤2，所以函数的最大值为：2；
此时x+=2k，k∈Z，即x=，k∈Z
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，周期的求法，最值的求法等基本知识，考查计算能力．
20．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，
b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，
再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；
（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，
∴c•acosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，
∴a2+c2=13②，
联立①②得：a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，
由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC===，
则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
21．设，，记．
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．
考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．
专题：综合题．
分析：（1）先利用向量数量积的坐标运算写出函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，最后由周期公式即可得f（x）的最小正周期
（2）由（1）f（x）=，利用五点法，即将2x+看成整体取正弦函数的
五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象，用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行
（3），，求此函数的最值可先将2x+看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方
程可得m的值，进而求出函数最大值
解答：解：（1）
=
∴
（2）
x
0 π2π
sin（）0 1 0 ﹣1 0
y
y=sinx向左平移得到，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的变为最后再向上平移个单位得到
（3），
∵，
∴
∴，
∴，
∴m=2，
∴
当即时g（x）最大，最大值为．
点评：本题综合考察了三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，三角函数图象变换，及复合三角函数值域的求法．。